青海海东市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1青海海东市2025-2026学年高二下学期期中考试试卷注意事项：1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．考试时间120分钟，满分150分第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设，若，则（）A. B.C. D.【答案】B2.记为等差数列的前项和，已知，，则（）A. B.C. D.【答案】B3.已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A.3 B.2C.1 D.【答案】A4.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A5.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为A. B. C. D.【答案】A6.点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A7.函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A8.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.(－∞，0) B. C.(0,1) D.(0，＋∞)【答案】B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在的展开式中，下列说法正确的有（）A.含项的系数为 B.第3项与第4项的二项式系数相等C.所有项的二项式系数之和为32 D.所有项的系数之和为【答案】BCD10.如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（）A.直线与所成的角为B.直线与平面所成角的余弦值为C.二面角的大小为D.点到平面的距离为【答案】BD11.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）A.当时，B.的极大值点是3C.的值域为D.当时，函数有1个零点【答案】BD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在的展开式中，的系数为________．（用数字作答）【答案】1013.从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】14.若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_______.【答案】四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）15.等差数列中，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.因为所以.解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.（2）bn＝＝，所以Sn＝.16.设函数.（1）讨论的单调性；（2）求在区间的最大值和最小值．【答案】解：（1）函数的定义域为，又.令，解得或；令，解得.所以函数在上单调递增；在上单调递减.（2）由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增.所以当时，函数取得最小值，又，，而，所以当时，函数取得最大值为：.即在区间上的最大值为，最小值为.17.已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于.（1）求的值；（2）求函数的单调区间与极值.【答案】解：（1）对求导得，由在点处切线垂直于直线，知解得.（2）由（1）知，则令，解得或.因不在的定义域内，故舍去.当时，故在内为减函数；当时，故在内为增函数；由此知函数在时取得极小值.18.设曲线在点处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为．（1）求切线l的方程；（2）求的最大值．【答案】解：（1），时，，所以切线方程为，即．（2）在中，令得，令得，因为，所以，，所以时，，递增，时，，递减，所以．19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】解：（1），，.，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数在点(1,f(1))处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为．（2）［方法一］：通性通法,，且.设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时，，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此>1,∴∴恒成立；当时，∴不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).［方法二］【最优解】：同构由得，即，而，所以．令，则，所以在R上单调递增．由，可知，所以，所以．令，则．所以当时，单调递增；当时，单调递减．所以，则，即．所以a的取值范围为．［方法三］：换元同构由题意知，令，所以，所以．于是．由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．令，所以．当时，单调递增；当时，单调递减．所以当时，取得最大值为．所以．［方法四］：因为定义域为，且，所以，即．令，则，所以在区间内单调递增．