陕西校联考期中测试2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西校联考期中测试2025-2026学年高一下学期期中数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题只有一个选项符合题目要求）1.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】C2.已知函数的图象如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】A3.角满足，则（）A. B. C. D.【答案】A4.将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为，，则几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B5.已知是相交的两个平面，交线为，记一条直线为，则下列命题为真命题的是（）A.若，则与必然无交点B.若，则与必然无交点C.若，则D.若，则【答案】D6.在正四棱锥中，是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（）A. B. C. D.【答案】B7.已知的内角所对的边分别为，若，若与相交于点，则当取最小值时，（）A. B. C. D.【答案】C8.已知中，，，且的最小值为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）9.已知为的垂心，角，，所对的边分别为，，，且，，则一定有（）A.B.C.D.若，则【答案】ABD10.如图，圆内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则下列正确的是（）A.，则的最大值为2B.的最大值为C.的最大值为1D.点为正方形ABCD内一点，则最小值为【答案】ABD11.已知为复数，下列说法正确的是（）A.B.C.若是方程的两根，则D.若，则【答案】AC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知圆台的体积为，上底面半径为1，母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台的下底面半径为________.【答案】213.如图，棱长为的正四面体中，是底面的重心，是棱中点，且有，则线段的长度为____________【答案】14.在凸四边形中，，，，，则AC的最大值为______．【答案】四、解答题：（本题共5小题，共77分；15题13分；16-17题15分；18-19题17分；解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤）15.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．（1）这种“浮球”的体积是多少？(结果精确到0.1)（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）解：（1）该半球的直径，所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径，所以两个半球的体积之和为，而，该“浮球”的体积是．（2）上下两个半球的表面积是，而“浮球”的圆柱筒侧面积为，所以1个“浮球”的表面积为，因此，2500个“浮球”的表面积的和为，因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：（克）．16.如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且.（1）证明：平面；（2）求四棱锥与三棱锥的体积之比.（1）证明：如图，连接交于点，连接.由题可知，且.则易有与相似，且相似比为，也即.又，则，故.且平面，平面，故平面.（2）解：设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为.三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为.由题有.又，故，即，则，即四棱锥与三棱锥的体积之比为.17.已知函数，（）．（1）当时，求函数的对称中心；（2）若为偶函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；（3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，令，得，故函数的对称中心为；（2）因为为偶函数，所以，因为，所以，则，则，若，则，则，因为不等式在上恒成立，所以，，得，故实数m的取值范围为；（3）因为过点，所以，因为，所以，则，得，即，因为，所以，则，因为对任意的，，都有，所以，则对任意的，都有，则，令，则对任意的恒成立，若，则恒成立；若，则，因为在上单调递减，所以，则，即；若，则，因为在上单调递减，所以，则，即；综上，实数a的取值范围是.18.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求B；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．（3）若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值．解：（1）由正弦定理可得：，因为，所以，即，由可得，即，由，可得.（2）因为，所以，由三角形为锐角三角形可知，，解得，所以，，所以.（3）如图，由余弦定理，，即，当且仅当时，等号成立，又，化简可得，，所以，当且仅当时等号成立.故BD长度的最大值为.19.如图，在三棱柱中，，D为的中点，平面平面.（1）求证：是直角三角形；（2）E为的中点，F为与的交点，点M在线段上，，若平面.（i）求侧面与底面所成二面角的正弦值；（ii）若点C到平面的距离为，求三棱柱的体积.（1）证明：因为，D为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为三棱柱中，，所以平面，又平面，所以，即是直角三角形.（2）解：（i）如图，由平面，得平面，因为平面，平面平面，所以，又E为的中点，，所以.由（1）知平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，又，，所以≌，所以，又中，，所以，所以，因为是锐角，所以，所以，得，即侧面