重庆市江北巴川量子学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市江北巴川量子学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D2.已知的内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C.2 D.【答案】C3.向量与共线，则的值为（）A. B.4 C.9 D.【答案】D4.若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为，则它的母线长为（）A. B. C. D.2【答案】B5.已知函数，设甲：，乙：曲线关于直线对称，则（）A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】A6.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中，点为线段的中点，则为（）A.1 B. C.3 D.【答案】C7.已知的内角所对的边分别为.若，且平分，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A8.已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，则的最大值为（）A. B.1 C.2 D.【答案】B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.已知复数满足，则下列命题为真命题的有（）A. B. C. D.【答案】ABC10.已知向量，则（）A.若，则B.若，则C.向量在方向上的投影向量的坐标为D.若与的夹角为锐角，则的取值范围是【答案】AD11.记的内角的对边分别为边上的中线长为，则下列情形可能发生的是（）A.满足B.满足C.满足D.满足【答案】ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，为上一点，，若用向量表示，则__________.【答案】13.一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为__．【答案】214.如图，在长方体中，分别在棱上，且，则以为直径的球的表面积__________，该球与侧面的交线长为__________.【答案】①.②.四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设，已知是关于的方程的两个虚根.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的值.解：（1）（1）对于实系数一元二次方程，有，又因为，所以，即，因为是关于的方程的两个虚根，所以，即，所以的取值范围为.（2）由韦达定理知，，即，，因为，所以，因为方程有虚根，所以，所以，即.所以方程为，解得，即，所以，故.16.在中，内角的对边分别为为钝角，.（1）求；（2）从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）由题意得，因为A为钝角，所以，则，所以，即，由正弦定理得，所以，解得，又，所以.（2）若选择条件①：则，由（1）知，所以，不存在，不符合题意；若选择条件②：由，，得，则，由正弦定理得，所以，所以的面积，符合题意；若选择条件③：由，由（1）知，则，由余弦定理得，则，即，解得或（舍），所以的面积，符合题意.17.如图，正三棱锥中，底面边长是，棱锥的侧面积等于底面积的倍，是的中点.求：（1）的值；（2）点到面的距离.解：（1）因为是正三棱锥，所以是等边三角形，即，而是的中点，所以.因为是正三棱锥，所以，而是的中点，所以.因为棱锥的侧面积等于底面积的倍，所以，所以.（2）设顶点在底面的投影为，分的比为，因此.在中，三棱锥的高.三棱锥的体积，因此.设点到平面的距离为，，由体积公式，解得.18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某地区的摩天轮的最高点距离地面的高度约为125米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了48个座舱.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，求的解析式；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为42.5米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔7个座舱（即座舱位置差为8），从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值及此时的时间.解：（1）设，则，又，故，，，可取，，，故解析式为．（2）令，则，，，或，解得或，故游客甲坐上摩天轮后分钟或分钟时，距离地面的高度恰好为米．（3）由于乙与甲的座舱位置差为（因间隔座舱对应个位置差），所以乙与甲间隔的时间为分钟，因此乙开始进入需要分钟，因此时间要满足，设经过分钟后，甲距离地面的高度为，此时乙距离地面的高度，则两人的高度差，令，解得，又，所以，当分钟或分钟时，的最大值为米.19.圆内接四边形作为一类特殊的四边形，有着非常好的性质，比如对角互补.如图，中，，，点是外接圆上的一个动点（点在直线两侧），记，则.（1）若，求的值；（2）若，求的最大值；（3）若点满足，求四边形的面积.解：（1）因为，则，，则，结合，，得，则四边形为等腰梯形，则高为，由可得，所以.（2），得，在中，利用余弦定理可得，，则，设的外接圆半径为，则在中，利用正弦定理可得，