吉林省G35+联合体2026届高三下学期二模数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省G35+联合体2026届高三下学期二模试题注意事项：1．本试卷共150分，考试时间120分钟.2．请将各题答案填写在答题卡上.3．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D2.若复数，则的虚部是（）A. B.2 C. D.【答案】C3.已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B4.已知向量，满足，，则的最小值为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B5.在等比数列中，，，则（）A. B.2 C.2 D.4【答案】B6.一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】A7.下列函数中，其图象与函数的图象重合的是（）A. B.C. D.【答案】D8.已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.2020—2024年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，下列结论正确的是（）A.2020—2024年我国粮食产量逐年增加B.2020—2024年我国粮食产量的中位数为68653万吨C.2020—2024年我国粮食产量的极差为3699万吨D.2020—2024年我国粮食产量与年份负相关【答案】AB10.设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（）A. B.的离心率为C.直线的斜率为 D.的渐近线方程为【答案】ABC11.已知四边形ABCD外接圆的圆心为O，且，，则（）A.B.面积的最大值为C.当时，四边形ABCD面积的最大值为D.四边形ABCD面积的最大值为2【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.抛物线的焦点到准线的距离为______.【答案】13.若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______．【答案】或14.已知平面，，，分别过正四面体的四个顶点，且平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则_______．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，正项数列的前项和为，．（1）求的通项公式；（2）证明：．（1）解：设数列的公比为（）.因为，，成等差数列，所以，即，解得或（舍去）.所以.（2）证明：由，得，两式相减，得，所以，则.16.如图，在三棱柱中，平面平面，底面是等边三角形，为的中点，，.（1）证明：平面.（2）求二面角的正弦值.（1）证明：因为，所以，因为底面是等边三角形，为的中点，所以，因为，平面，所以平面.（2）解：因为，平面平面，平面平面，而平面，所以平面.以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如下空间直角坐标系，则，，，，则，，.设平面的法向量为，则，令，得.设平面的法向量为，则，令，得.设二面角的平面角为，由图知为锐角，因为，所以，所以二面角的正弦值为.17.某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球．顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球.若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品．方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份．方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份．（1）若有50名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求X的数学期望；（2）抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于100元的比例．（结果保留两位有效数字）解：（1）若按方式①发放礼品，则两次摸到的球的颜色不同，设两次摸到的球的颜色不同为事件C，则，由题意，每位顾客抽奖，按方式①发放礼品的事件相互独立，且概率相同，则，则X的数学期望.（2）由（1）得，按方式①发放礼品的概率为，按方式②发放礼品的概率为，若第一次摸到红球，第二次摸到黑球，即按方式①发放礼品A的概率，若第一次摸到黑球，第二次摸到红球，即按方式①发放礼品B的概率，设金额不低于100元的比例为p，则按方式②发放礼品A的概率，则按方式②发放礼品B的概率，因为礼品A与礼品B的份数的比例为，所以，解得.所以购物发票上的金额不低于100元的比例约为.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，．（1）求椭圆E的方程．（2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）．①证明：．②若，求．附：在椭圆上一点处的切线方程为．（1）解：由题意得：，解得，所以，所以，所以椭圆E的方程为.（2）①证明：不妨令点在第一象限，设，所以切线的方程为：，又，令，解得，所以，又因为，，所以，所以，又，所以；②解：因为，所以，因为，所以，所以，在中，.19.已知函数，．（1）求，的单调区间；（2）已知，函数，讨论的极值点的个数；（3）若，，求t的取值范围．解：（1）由，，得，因为恒成立，所以令，解得或，当或时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以的单调增区间为，单调减区间为；由，，得，令，解得或，当或时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以的单调增区间为，单调减区间为.（2），则，令，解得或或（）.当时，，恒成立，则当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以只有1个极小值点；当时，，恒成立，则当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以只有1个极小值点；当时，，当或时，，则单调递减，当或时，，则单调递增，此时有3个极值点；当时，，当或时，，则单调递减，当或时，，则单调递增，此时有3个极值点；综上，当或时，有一个极值点；当或时，有3个极值点.（3）由，结合的任意性，可得，则有，所以有，即，设，，则，所以在上单调性相同.由，则，令，解得或，其中，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以的单调减区间为，单调增区间为；由，则，因为恒成立，所以令，解得或，当或时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以的单调增区间为，单调减区间为；要使与在上单调性相同，分以下情况讨论：①当时，在上，函数存在递增区间，而单调递减，故不满足题意；②当时，在上，函