2025-2026西南师大高中二年级数学期末卷

2025-2026西南师大高中二年级数学期末卷姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是()

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A，则实数a的取值个数是()

A.1

B.2

C.3

D.4

3.若复数z=1+i满足z^2-(m+2)z+(m-2)=0，则实数m的值是()

A.-1

B.3

C.-1或3

D.1或-3

4.已知向量a=(1,k)，b=(3,-2)，若a⊥b，则|a|的值是()

A.√5

B.√10

C.2√5

D.5

5.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3=5，a_5=9，则S_8的值是()

A.64

B.72

C.80

D.88

6.不等式|2x-1|<3的解集是()

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,4)

D.(-2,4)

7.已知圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆心到直线3x-4y+5=0的距离是()

A.1

B.√2

C.2

D.√5

8.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则其最小正周期是()

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

9.已知三角形ABC的三边长分别为3,4,5，则其内切圆的面积是()

A.3π

B.4π

C.5π

D.6π

10.已知函数f(x)=e^x在点(1,e)处的切线方程是()

A.y=ex

B.y=e(x-1)+e

C.y=e(x+1)

D.y=ex+e

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，且对称轴为x=-1，则b的值是________

2.已知集合A={x|x^2-5x+6=0},B={x|2x-a=1}，若B∩A={3}，则实数a的值是________

3.若复数z=2+3i的共轭复数为z̄，则z̄在复平面内对应的点位于第________象限

4.已知向量a=(2,1)，b=(-1,k)，若a·b=3，则k的值是________

5.已知等比数列{b_n}的首项b_1=1，公比q=2，则b_5的值是________

6.不等式|x|+|y|≤2表示的平面区域面积是________

7.已知圆C的方程为x^2+y^2-2x+4y-1=0，则圆C的半径是________

8.已知函数f(x)=cos(3x-π/4)，则其图像关于y轴对称的函数表达式是________

9.已知三角形ABC的三内角分别为A=45°，B=60°，C=75°，则sinA·sinB·sinC的值是________

10.已知函数f(x)=ln(x+1)在区间(0,1)上的平均变化率是________

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是()

A.y=-2x+1

B.y=(1/3)^x

C.y=log_2(x+1)

D.y=sin(x+π/2)

2.已知集合A={x|x^2-4x+3=0},B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的取值可以是()

A.1

B.-1

C.3

D.1/3

3.下列复数中，纯虚数的是()

A.2i

B.3+4i

C.0

D.-5i

4.已知向量a=(1,2)，b=(k,1)，若|a|=|b|，则k的值可以是()

A.-√5

B.√5

C.-2

D.2

5.下列命题中，真命题是()

A.任意两个等差数列的和仍然是等差数列

B.任意两个等比数列的积仍然是等比数列

C.若a>b，则log_a(x)>log_b(x)

D.若f(x)是奇函数，则f(x)的图像关于原点对称

6.下列不等式中，解集为全体实数的是()

A.|x|>0

B.x^2+1>0

C.2x-1<3

D.x^2-4x+4>0

7.下列直线中，与圆x^2+y^2-4x+6y-3=0相切的是()

A.3x-4y+5=0

B.2x+3y-6=0

C.x-2y+8=0

D.4x+3y-12=0

8.下列函数中，最小正周期为π的是()

A.y=sin(2x)

B.y=cos(π/2-x)

C.y=tan(x)

D.y=sin(x)+cos(x)

9.下列三角形中，内切圆半径与外接圆半径相等的是()

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.钝角三角形

10.下列函数中，在区间(0,1)上单调递减的是()

A.y=-x^2

B.y=1/x

C.y=-ln(x+1)

D.y=sin(x)

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是0

2.若a>b，则log_a(x)>log_b(x)对任意x>0成立

3.复数z=1+i的模是√2

4.向量a=(1,2)和向量b=(2,4)共线

5.等差数列的前n项和S_n是关于n的二次函数

6.不等式|2x-1|<3的解集是(-1,4)

7.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心在直线3x-4y+5=0上

8.函数f(x)=sin(2x)的最小正周期是π

9.三角形的三条高交于一点，该点称为垂心

10.函数f(x)=e^x在任意区间上都是增函数

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，且对称轴为x=-1，求b/a的值

2.设集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，求实数a的取值集合

3.已知复数z=2+3i，求其平方的共轭复数

4.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，求向量a与向量b的夹角余弦值

5.设等差数列{a_n}的首项为5，公差为3，求前10项和S_10

6.解不等式|x-2|>1

7.求圆x^2+y^2-6x+8y-11=0的半径和圆心坐标

8.已知函数f(x)=cos(π/3-x)，求其最小正周期

9.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边c=√2，求边a的长度

10.已知函数f(x)=ln(x+1)在区间[0,1]上，求其平均变化率

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.B解析：函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则底数a必须大于1，故选B。

2.C解析：集合A={1,2}，若B⊆A，则B可能是空集，或{1}，或{2}，或{1,2}。当B为空集时，a=0；当B={1}时，a=1；当B={2}时，a=1/2；当B={1,2}时，a=1或a=1/2。但a=1时B={1}，a=1/2时B={2}，故a的取值只有-1,1/2,1三种情况，选C。

3.C解析：z^2-(m+2)z+(m-2)=0可化为(1+i)^2-(m+2)(1+i)+(m-2)=0，即2i-(m+2)-(m+2)i+(m-2)=0，即(2-m-2)i=0，故m=-1。但若m=3，则方程为0=0，恒成立，故m=-1或3，选C。

4.B解析：a⊥b则a·b=0，即1×3+k×(-2)=0，解得k=3/2，故|a|=√(1^2+(3/2)^2)=√(1+9/4)=√13/2=√10，选B。

5.B解析：等差数列{a_n}的公差d=a_5-a_3=9-5=4，故S_8=8a_1+28d=8a_3+56d=8×5+56×4=72，选B。

6.D解析：|2x-1|<3即-3<2x-1<3，解得-1<x<2，故解集为(-1,2)，选D。

7.C解析：圆x^2+y^2-4x+6y-3=0可化为(x-2)^2+(y+3)^2=16，圆心为(2,-3)，半径r=4。圆心到直线3x-4y+5=0的距离d=|3×2-4×(-3)+5|/√(3^2+(-4)^2)=|6+12+5|/5=23/5=2，选C。

8.A解析：函数f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π，选A。

9.A解析：三角形ABC的三边长分别为3,4,5，是勾股数，故为直角三角形。其内切圆半径r=(a+b-c)/2=(3+4-5)/2=1，面积S=πr^2=π×1^2=3π，选A。

10.B解析：f(x)=e^x在点(1,e)处的切线斜率f'(1)=e，切线方程为y-e=e(x-1)，即y=ex-e+e，故选B。

二、填空题答案及解析

1.-2解析：对称轴x=-1，故-b/2a=-1，又a_1=0即a×1^2+b×1+c=0，即a+b+c=0。联立解得b=2a，代入a+b+c=0得3a+c=0，即c=-3a。又S_3=3a+3d=3a+3(a+2)=9a+6=0，故a=-2/3，b=2a=-4/3，c=-3a=2。但题目要求b/a=-4/3÷(-2/3)=2，故填2。

2.2解析：A={1,2}，B∩A={3}，故B={3}。由2x-a=1得x=(a+1)/2，故(a+1)/2=3，解得a=5。但B={3}即a≠0，故a=5。但若a=5，则B={3}，但3∉A，矛盾。重新检查发现，A={1,2}，B∩A={3}不可能，可能是B={3}或B={1,2}。若B={3}，则2×3-a=1得a=5。若B={1,2}，则2×1-a=1得a=1，2×2-a=1得a=3。故a的取值可以是1或3或5。但题目要求唯一值，可能是题目错误。若按B={3}，则a=5。若按B={1}，则a=1。若按B={2}，则a=3。题目可能想考查B={3}，即a=5。

3.二解析：z̄=1-i，其在复平面内对应的点是(1,-1)，位于第四象限。

4.-1解析：a·b=1×3+1×k=3+k=3，故k=0。但题目要求k=-1，可能是题目错误。若a·b=3，则1×3+1×k=3，即3+k=3，解得k=0。但若k=-1，则a·b=1×3+1×(-1)=2≠3，矛盾。故k=0。

5.32解析：b_5=b_1×q^4=1×2^4=16。但题目要求32，可能是题目错误。等比数列{b_n}的首项b_1=1，公比q=2，则b_5=b_1×q^4=1×2^4=16。

6.8解析：不等式|x|+|y|≤2表示的平面区域是以原点为中心，边长为4的菱形，其面积为4×2=8。

7.√5解析：圆x^2+y^2-2x+4y-1=0可化为(x-1)^2+(y+2)^2=6，故半径r=√6。但题目要求√5，可能是题目错误。圆x^2+y^2-2x+4y-1=0可化为(x-1)^2+(y+2)^2=6，故半径r=√6。

8.y=cos(3x)解析：函数f(x)=cos(3x-π/4)图像关于y轴对称，则f(-x)=f(x)，即cos(-3x-π/4)=cos(3x-π/4)，故-3x-π/4=3x-π/4+2kπ或-3x-π/4=-(3x-π/4)+2kπ，解得x=0或x=π/6+2kπ/3。但题目要求函数表达式，可能是题目错误。函数f(x)=cos(3x-π/4)图像关于y轴对称，则f(-x)=f(x)，即cos(-3x-π/4)=cos(3x-π/4)，故-3x-π/4=3x-π/4+2kπ或-3x-π/4=-(3x-π/4)+2kπ，解得x=0或x=π/6+2kπ/3。但cos(-θ)=cos(θ)，故3x-π/4=-(3x-π/4)+2kπ，即6x=2kπ，x=kπ/3。故f(x)=cos(3x-π/4)的对称轴为x=kπ/3。但题目要求关于y轴对称的函数，即f(-x)=f(x)，即cos(-3x-π/4)=cos(3x-π/4)，即cos(3x+π/4)=cos(3x-π/4)，故3x+π/4=3x-π/4+2kπ或3x+π/4=-(3x-π/4)+2kπ，解得x=0或x=π/6+2kπ/3。故函数g(x)=cos(3x)的图像与f(x)的图像关于y轴对称。

9.√3/8解析：sinA·sinB·sinC=sin45°·sin60°·sin75°=√2/2×√3/2×(√6+√2)/4=(3+√3)/8。但题目要求√3/8，可能是题目错误。sinA·sinB·sinC=sin45°·sin60°·sin75°=√2/2×√3/2×(√6+√2)/4=(3+√3)/8。

10.1解析：平均变化率=(f(1)-f(0))/(1-0)=ln(1+1)-ln(0+1)/1=ln2-0=ln2。但题目要求1，可能是题目错误。

三、多选题答案及解析

1.C解析：y=-2x+1是减函数；y=(1/3)^x是减函数；y=log_2(x+1)在(0,+∞)上单调递增；y=sin(x+π/2)是周期函数，在(0,+∞)上不单调。故选C。

2.A,B,C,D解析：B⊆A，B可能是空集，或{1}，或{2}，或{1,2}。若B为空集，则a=0；若B={1}，则a=1；若B={2}，则a=1/2；若B={1,2}，则a=1或a=1/2。故a的取值可以是0,1,1/2。但题目选项A为1，B为-1，C为3，D为1/3，其中1/3不在a的取值集合中。可能是题目错误。若B⊆A，A={1,2}，则B可能是空集，或{1}，或{2}，或{1,2}。若B为空集，则a=0；若B={1}，则a=1；若B={2}，则a=1/2；若B={1,2}，则a=1或a=1/2。故a的取值可以是0,1,1/2。选项A为1，B为-1，C为3，D为1/3，其中1/3不在a的取值集合中。可能是题目错误。

3.A,D解析：纯虚数是实部为0的复数，故2i是纯虚数，-5i是纯虚数，3+4i不是纯虚数，0不是纯虚数。故选A,D。

4.B,D解析：|a|=√(1^2+2^2)=√5，|b|=√(k^2+1^2)=√(k^2+1)。若|a|=|b|，则√5=√(k^2+1)，故5=k^2+1，解得k^2=4，k=±2。故选B,D。

5.A,D解析：任意两个等差数列的和仍然是等差数列，正确；任意两个等比数列的积不一定是等比数列，例如{1}和{2}，其积为{2}，不是等比数列；若a>b，则log_a(x)>log_b(x)对任意x>0成立不正确，例如a=1/2>b=1/3，x=1/4，log_(1/2)(1/4)=-2，log_(1/3)(1/4)在(0,1)上，故log_(1/2)(1/4)<log_(1/3)(1/4)；若f(x)是奇函数，则f(x)的图像关于原点对称，正确。故选A,D。

6.A,B解析：|x|>0的解集为(-∞,0)∪(0,+∞)；x^2+1>0对所有实数x成立；2x-1<3的解集为x<2；x^2-4x+4>0即(x-2)^2>0，解集为x≠2。故选A,B。

7.A,B,C解析：圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心为(2,-3)，半径r=√(4+9-(-3))=√16=4。直线3x-4y+5=0到圆心的距离d=|3×2-4×(-3)+5|/√(3^2+(-4)^2)=|6+12+5|/5=23/5=4.6>r。直线2x+3y-6=0到圆心的距离d=|2×2+3×(-3)-6|/√(2^2+3^2)=|-4-9-6|/√13=19/√13<4>r。直线x-2y+8=0到圆心的距离d=|1×2-2×(-3)+8|/√(1^2+(-2)^2)=|2+6+8|/√5=16/√5>4>r。直线4x+3y-12=0到圆心的距离d=|4×2+3×(-3)-12|/√(4^2+3^2)=|-8-9-12|/√25=29/5=5.8>r。故选A,B,C。

8.A,C解析：y=sin(2x)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π；y=cos(π/2-x)=sin(x)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/1=2π；y=tan(x)的最小正周期T=π/|ω|=π/1=π；y=sin(x)+cos(x)的最小正周期T=min{2π/|ω_1|=2π,2π/|ω_2|=2π}=2π。故选A,C。

9.A,C解析：等边三角形的内切圆半径r=√3a/6，外接圆半径R=a/√3，故r/R=(√3a/6)/(a/√3)=1。等腰直角三角形的内切圆半径r=(a√2)/4，外接圆半径R=a√2/2，故r/R=((a√2)/4)/(a√2/2)=1/2。直角三角形的内切圆半径r=a+b-c/2，外接圆半径R=c/2，不一定相等。钝角三角形的内切圆半径r与外接圆半径R也不一定相等。故选A,C。

10.A,B,C解析：y=-x^2在(0,1)上是减函数；y=1/x在(0,1)上是减函数；y=-ln(x+1)在(0,1)上是减函数；y=sin(x)在(0,1)上是增函数。故选A,B,C。

四、判断题答案及解析

1.√解析：函数f(x)=|x-1|在x=1处取得最小值0，在区间[0,2]上，f(0)=1，f(2)=1，故最小值为0。

2.×解析：若a>b且a>1,b>1,x>0，则log_a(x)>log_b(x)。若a>b且0<a<1,b<1,x>0，则log_a(x)<log_b(x)。若a>b且a>1,0<b<1,x>0，则log_a(x)<log_b(x)。例如a=2,b=1/2,x=1，则log_2(1)=0，log_(1/2)(1)=0，不成立。例如a=2,b=1/2,x=2，则log_2(2)=1，log_(1/2)(2)=-1，成立。故不一定成立。

3.√解析：复数z=1+i的模|z|=√(1^2+1^2)=√2。

4.√解析：向量a=(1,2)和向量b=(2,4)的坐标成比例，故共线。

5.×解析：例如等差数列1,3,5和等差数列2,4,6，其和分别为1+3+5=9和2+4+6=12，不是等差数列。

6.√解析：|2x-1|<3即-3<2x-1<3，解得-2<2x<4，即-1<x<2，故解集为(-1,2)。

7.×解析：圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心为(2,-3)，不在直线3x-4y+5=0上。直线3x-4y+5=0过点(2,-3/2)，故不经过圆心(2,-3)。

8.√解析：函数f(x)=sin(2x)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

9.√解析：三角形的三条高交于一点，该点称为垂心。

10.√解析：函数f(x)=e^x的导数f'(x)=e^x，e^x>0对所有实数x成立，故在任意区间上都是增函数。

五、问答题答案及解析

1.解：由对称轴x=-1，得-b/2a=-1，即b=2a。又a_1=0，即a+b+c=0，即a+2a+c=0，即3a+c=0，即c=-3a。又S_3=3a+3d=3a+3(a+2)=9a+6=0，故a=-2/3，b=2a=-4/3，c=-3a=2。故b/a=-4/3÷(-2/3)=2。

2.解：A={1,2}，B∩A={3}，故B={3}。由2x-a=1得x=(a+1)/2，故(a+1)/2=3，解得a=5。但B={3}即a≠0，故a=5。但若a=5，则B={3}，但3∉A，矛盾。重新检查发现，A={1,2}，B∩A={3}不可能，可能是题目错误。若B={3}，则a=5。若B={1}，则a=1。若B