北师大版数学 第三章 位置与坐标（高效培优单元测试·强化卷） 试卷 含答案

第三章位置与坐标（高效培优单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列坐标在第四象限的是（

）A． B． C． D．2．能够表示某岛大致位置的是（

）A．北纬 B．东经 C．海南的东南方向 D．北纬，东经3．在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点A的坐标为（

）A． B． C． D．4．已知点与点关于y轴对称，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．25．如图，这是一所学校的平面示意图，图中小正方形的边长代表m，已知图书馆的坐标是．若报告厅、实验楼的位置恰好在格点上，则下列说法正确的是（

）A．报告厅的坐标为B．实验楼与图书馆之间的实际距离是mC．实验楼的坐标为D．图书馆位于报告厅东北方向m处6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，当以点、，为顶点的三角形为等腰三角形时，点的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，在平面直角坐标系中，，其中，，满足，若在第一象限内有一点，使得，则的值为（

）A．6 B．8 C． D．8．如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（

）A． B． C． D．9．在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（）A．或 B． C．或 D．或10．在平面直角坐标系中，对于不同的两点，若点到轴，轴的距离的较大值等于点到轴，轴的距离的较大值，则称点互为“方格点”．例如：点互为“方格点”；点互为“方格点”．若点与点互为”方格点”，则的值的个数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．若点在y轴上，则．12．如果将电影票“排号”简记为，那么“排号”可简记为．13．如图所示，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的坐标是．14．将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为．15．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到点，．若点的坐标为，点的坐标为．16．已知点A在平面直角坐标系横轴上，且在原点的左边，并距离原点3个单位长度，同一平面直角坐标系的另一点B在纵轴上，与A点直线距离为5个单位长度，则B点的坐标为．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．如图，在方格纸中建立平面直角坐标系．(1)写出图中点，，的坐标；(2)在图中描出下列各点：．18．如图是某植物园的平面示意图（图中每个小正方形边长均为），小兰和小佳分别描述了海棠园．小兰：“它的坐标是”小佳：“它在牡丹亭的西南方向约处．”(1)请以正东、正北方向为x轴、y轴正方向在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出丁香园和忍冬园的坐标；(2)用方向和距离描述牡丹亭相对于海棠园的位置．19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)在图中作出关于x轴的对称图形；(2)请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点、、的坐标：；；；(3)求的面积．20．在平面直角坐标系中，已知点．(1)当点在轴上时，点的坐标为______；(2)当直线平行于轴，且，求出点的坐标；(3)若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标．21．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．(1)点的“短距”为；(2)点的“短距”为3，求m的值；(3)若，两点为“等距点”，求k的值．22．如下图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，依此变换下去．已知．(1)求出三角形各个顶点的坐标．(2)按此图形的变化规律，请你求出三角形的面积与三角形的面积的大小关系．23．在平面直角坐标系中，已知点，，给出如下定义：对于实数，我们称点为两点的“k”系和点．例如，已知点，，则点的“”系和点的坐标为．已知点，．(1)直接写出点的“2”系和点的坐标：_______；(2)若点A为点的“”系和点，求点C的坐标；(3)若点D为点的“k”系和点，三角形的面积为6，求符合条件的k的值．24．在等腰直角三角形中，，，点A，B分别在坐标轴上．(1)如图①，若，，求点C的坐标．(2)如图②，若点C的横坐标为2，求点B的坐标．(3)如图③，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，连接交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的长；若变化，求出的取值范围．25．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．(1)和位置关系是_______；(2)如图（1）当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为．①请分别用含t的式子表示和的面积；②若，求出点P的坐标；(3)在、的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系．

第三章位置与坐标（高效培优单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列坐标在第四象限的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，用到的知识点为：点在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0．根据第四象限点的坐标特点，横坐标为正，纵坐标为负即可得出答案．【详解】解：第四象限点的坐标特点为横坐标为正，纵坐标为负，只有选项D符合条件，故选：D．2．能够表示某岛大致位置的是（

）A．北纬 B．东经 C．海南的东南方向 D．北纬，东经【答案】D【分析】本题考查了有序数对确定位置，根据坐标定义，确定位置需要两个数据，逐项分析即可求解．【详解】解：A、北纬，不能确定某岛大致位置，故A选项不符合题意；B、东经，不能确定某岛大致位置，故B选项不符合题意；C、海南的东南方向，不能确定某岛大致位置，故C选项不符合题意；D、北纬，东经，能确定某岛大致位置，故D选项符合题意．故选：D．3．在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点A的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了坐标与图形，确定点的坐标．由点A所在的象限确定点A的横坐标与纵坐标的符号，再由点A到轴的距离是3，到轴的距离是5，即可确定点A的两个坐标，从而可得答案．【详解】解：∵点A在第二象限，∴；∵点A到轴的距离是3，到轴的距离是5，∴，∴点A的坐标为；故选：A．4．已知点与点关于y轴对称，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出的值，进而求出代数式的值即可．【详解】解：∵点与点关于y轴对称，∴，∴；故选C．5．如图，这是一所学校的平面示意图，图中小正方形的边长代表m，已知图书馆的坐标是．若报告厅、实验楼的位置恰好在格点上，则下列说法正确的是（

）A．报告厅的坐标为B．实验楼与图书馆之间的实际距离是mC．实验楼的坐标为D．图书馆位于报告厅东北方向m处【答案】B【分析】本题主要考查平面直角坐标系的应用．关键根据已知点坐标确定其他点的坐标，理解坐标中横、纵坐标所代表的位置含义(左右、上下方向的格点变化，根据口诀：左减右加纵不变，上加下减横不变)；根据已知图书馆的坐标建立坐标系，进而确定其他地点的坐标、距离和方向关系．【详解】解：A、图书馆坐标是，在平面直角坐标系中，从图书馆向左移动3个单位(因为横坐标从变为)，向下移动个单位(纵坐标从变为)，所以符合报告厅坐标为；故A选项不符合题意；B、由图可得实验楼坐标与图书馆坐标纵坐标相同，横坐标相差4个单位，因为每个单位代表m，所以它们之间的距离为m，所以“实验楼与图书馆之间的实际距离是m”；故B选项符合题意；C、由图可得实验楼坐标与图书馆坐标纵坐标相同，横坐标相差4个单位，图书馆坐标是，在平面直角坐标系中，从图书馆向左移动4个单位(因为横坐标从变为)，所以实验楼的坐标为；故C选项不符合题意；D、报告厅坐标为，图书馆坐标是；根据两点间距离公式，图书馆与报告厅的距离，故图书馆与报告厅的距离；故D选项不符合题意；故选：B．6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，当以点、，为顶点的三角形为等腰三角形时，点的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：分别求出符合条件的点P的坐标，并验证是否构成三角形即可．【详解】解：①当时：的长度为．设，则的长度为．由，解得或．当时，P与O重合，无法构成三角形，舍去；当时，P有效．②：的长度为，由，解得或．对应的点和均不共线，有效．③：由，平方后解得．点与O、A不共线，有效．综上，符合条件的点P共有4个：、、、．故选D．7．如图，在平面直角坐标系中，，其中，，满足，若在第一象限内有一点，使得，则的值为（

）A．6 B．8 C． D．【答案】A【分析】本题考查了三角形的面积，四边形的面积，非负数的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先根据绝对值、平方数的非负性求出a、b、c的值，进而得到A、B、C三点的坐标，然后分别计算和四边形的面积，最后根据面积关系求出m的值．【详解】解：满足，，，，，，，，即点的坐标分别为，，，，解得．故选：A．8．如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查点坐标规律的应用，熟练掌握类比法及点坐标的基础知识，是解题关键．分别对点的横坐标和纵坐标的变化规律进行探讨，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即得．【详解】，，，，，，，，，，…，观察发现，当n为奇数时，，当n为偶数时，，∴点的坐标是．故选：C．9．在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（）A．或 B． C．或 D．或【答案】D【分析】先算出点到两坐标轴距离之差的绝对值，再根据“等差点”定义得出点到两坐标轴距离之差的绝对值表达式，通过绝对值方程求解的值．本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴距离及绝对值方程的求解，熟练掌握点到坐标轴距离的计算方法和绝对值方程的解法是解题的关键．【详解】解：点到两坐标轴的距离之差的绝对值为，点到两坐标轴的距离之差的绝对值为，∴，，∴或，解得或故选：10．在平面直角坐标系中，对于不同的两点，若点到轴，轴的距离的较大值等于点到轴，轴的距离的较大值，则称点互为“方格点”．例如：点互为“方格点”；点互为“方格点”．若点与点互为”方格点”，则的值的个数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】本题考查了点的坐标，一元一次方程，分情况讨论，进而求得符合条件的的值，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．【详解】解：若若点与点互为”方格点”，则，，∴，∴，∴或，当时，（舍去），当时，，∴；，，∴，∴，∴或，当时，，当时，（舍去），∴，综上，或，共个，故选：．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．若点在y轴上，则．【答案】3【分析】本题考查的是坐标轴上点的坐标，一元一次方程，熟知y轴上点的横坐标为0是解题的关键．根据y轴上点的坐标特点解答即可．【详解】解：点在y轴上，，解得故答案为：12．如果将电影票“排号”简记为，那么“排号”可简记为．【答案】【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可知有序数对左边的数表示排，右边的数表示号，据此求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵电影票“排号”简记为，∴“排号”可简记为，故答案为：．13．如图所示，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的坐标是．【答案】【分析】本题考查了点坐标、勾股定理，熟练掌握点的坐标与勾股定理是解题关键．设点的坐标是，利用勾股定理可得，则可得，由此即可得．【详解】解：设点的坐标是，∵，，∴，由作图可知，，∵，点在轴负半轴上，∴，∴，∴点的坐标是，故答案为：．14．将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为．【答案】【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算，正确找出数字变化的规律是解题的关键．如图所示的规律为：第行的最后一个数为，依此规律可以确定答案．【详解】解：第一行的最后一个数是1，第二行最后一个数是，第三行最后一个数是，第四行最后一个数是，第五行最后一个数是．第行最后一个数是．，第63行的最后一个数是2016．2025在第64行从左到右第9个数的位置．正整数2025可以用有序数对来表示．故答案为：．15．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到点，．若点的坐标为，点的坐标为．【答案】【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点坐标规律问题，正确找出规律是解题关键．根据伴随点的定义求出点，，，的坐标，发现规律即可得出答案．【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，即，点的坐标为，即，点的坐标为，即，点的坐标为，即，由此可知，每4个点为一个循环，∵，∴的坐标与点的坐标相同，即为．答案为：．16．已知点A在平面直角坐标系横轴上，且在原点的左边，并距离原点3个单位长度，同一平面直角坐标系的另一点B在纵轴上，与A点直线距离为5个单位长度，则B点的坐标为．【答案】或【分析】此题考查了坐标系中两点间的距离公式．根据题意得到，设，根据点B与A点直线距离为5个单位长度得到，求出或，即可得到答案．【详解】解：∵点A在平面直角坐标系横轴上，且在原点的左边，并距离原点3个单位长度，∴，∵同一平面直角坐标系的另一点B在纵轴上，∴可设，∵点B与A点直线距离为5个单位长度，∴，解得或，∴B点的坐标为或．故答案为：或．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．如图，在方格纸中建立平面直角坐标系．(1)写出图中点，，的坐标；(2)在图中描出下列各点：．【答案】(1)，，(2)见解析【分析】本题主要考查直角坐标系中描点和写出直角坐标系中点的坐标，根据点的坐标的概念，在坐标系中描点，根据坐标系中的点的位置，直接写出坐标即可．（1）根据点的坐标的概念，即可解答．（2）通过点的横坐标在横轴上对应的点作轴的垂线，然后通过点的纵坐标，在纵轴上对应的点作轴的垂线，两个垂线的交点，就是这个坐标表示的这个点．【详解】（1）解：由图可知，，，．（2）解：如图，点，即为所求．18．如图是某植物园的平面示意图（图中每个小正方形边长均为），小兰和小佳分别描述了海棠园．小兰：“它的坐标是”小佳：“它在牡丹亭的西南方向约处．”(1)请以正东、正北方向为x轴、y轴正方向在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出丁香园和忍冬园的坐标；(2)用方向和距离描述牡丹亭相对于海棠园的位置．【答案】(1)见解析，丁香园的坐标、忍冬园的坐标(2)牡丹亭相对于海棠园的位置是牡丹亭在海棠园的东北方向，距离约为【分析】（1）根据海棠园坐标构造平面直角坐标系即可得到结论；（2）根据“海棠园在牡丹亭的西南方向约处”即可求解．本题主要考查坐标确定位置，平面直角坐标系，方向角，掌握平面直角坐标系的知识是解题的关键．【详解】（1）解：根据海棠园坐标建立的平面直角坐标如图所示：由图可知：丁香园的坐标、忍冬园的坐标；（2）由图可知：牡丹亭相对于海棠园的位置是牡丹亭在海棠园的东北方向，距离约为19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)在图中作出关于x轴的对称图形；(2)请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点、、的坐标：；；；(3)求的面积．【答案】(1)见解析(2)；；(3)4【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得出答案．（3）利用割补法求三角形的面积即可．【详解】（1）解：如图，即为所求．（2）解：∵点、，关于y轴的对称点、、，∴，，．故答案为：；；．（3）解：的面积为．20．在平面直角坐标系中，已知点．(1)当点在轴上时，点的坐标为______；(2)当直线平行于轴，且，求出点的坐标；(3)若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知轴上、平行于轴的直线上及到坐标轴距离相等的点的坐标特征是解题的关键．（1）根据轴上点的坐标特征进行计算即可．（2）根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行计算即可．（3）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征进行计算即可．【详解】（1）解：因为点在轴上，所以，解得，则，所以点坐标为．故答案为：；（2）∵直线平行于轴，且，∴，解得，则，∴点的坐标为；（3）∵点到轴、轴的距离相等，则或，解得或．当时，，，则点坐标为．当时，，，则点坐标为，综上所述，点的坐标为或．21．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．(1)点的“短距”为；(2)点的“短距”为3，求m的值；(3)若，两点为“等距点”，求k的值．【答案】(1)2(2)或2(3)或2【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点到坐标轴的距离，（1）根据定义解答即可；（2）根据定义可知，求出解；（3）根据定义分两种情况讨论可得答案．【详解】（1）解：∵，∴短距是2．故答案为：2；（2）解：由题意可知，解得或2；（3）解：当①，解得或，时，，符合题意；时，，符合题意；②，解得或．当时，点的“短距”为1，点的“短距”为3，二者不相等，故舍去；当时，点的“短距”为1，点的“短距”为3，二者不相等，故舍去．综上，或2．22．如下图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，依此变换下去．已知．(1)求出三角形各个顶点的坐标．(2)按此图形的变化规律，请你求出三角形的面积与三角形的面积的大小关系．【答案】(1)点O的坐标是，点的坐标是，点的坐标是(2)【分析】本题考查了点坐标规律探索，解题的关键是找出点的规律；（1）先得到A的横坐标是，而纵坐标都是3，点的横坐标是，纵坐标是0即可作答；（2）根据三角形的面积公式计算解答即可．【详解】（1）解：由图可知，点O的坐标是．已知，从点，，…，的坐标中找规律，发现点的横坐标是，而纵坐标都是3．同理，点也一样找规律，发现点的横坐标是，纵坐标是0．由上述规律可知，点的坐标是，点的坐标是．（2）解：根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高都是3．由（1），得，所以．又因为，所以．23．在平面直角坐标系中，已知点，，给出如下定义：对于实数，我们称点为两点的“k”系和点．例如，已知点，，则点的“”系和点的坐标为．已知点，．(1)直接写出点的“2”系和点的坐标：_______；(2)若点A为点的“”系和点，求点C的坐标；(3)若点D为点的“k”系和点，三角形的面积为6，求符合条件的k的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用两点的“”系和点的定义，代入公式求解即可；（2）利用两点的“”系和点的定义，代入公式求解即可；（3）利用三角形的面积公式求得点到的距离为2，推得点的纵坐标，代入公式求解，即可．【详解】（1）解：由题意可知：点，；根据“”系和点的定义得：，，故答案为：；（2）解：设，则，；∴，，∴；（3）解：∵，，∴，∵三角形的面积为6，∴点到的距离为2，∵点为，的“”系和点，或，或．【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，三角形的面积公式，理解掌握两点的“”系和点的定义是解题的关键．24．在等腰直角三角形中，，，点A，B分别在坐标轴上．(1)如图①，若，，求点C的坐标．(2)如图②，若点C的横坐标为2，求点B的坐标．(3)如图③，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上，以为直角边在第一象