Z变换期末考试试题及详细参考答案

Z变换期末考试试题及详细参考答案一、考试说明1.本试卷满分100分，考试时间90分钟；2.答题需写出完整步骤，结果保留最简形式；3.若无特殊说明，序列均为因果序列，收敛域默认满足系统稳定条件。二、试题部分（一）单项选择题（每题3分，共15分）1.对于离散因果序列\(x(n)\)，其Z变换的收敛域为（）A.全Z平面B.\(|z|>R_x^+\)C.\(|z|<R_x^-\)D.圆环区域\(R_x^-<|z|<R_x^+\)2.单位阶跃序列\(u(n)\)的Z变换及收敛域为（）A.\(\frac{1}{1-z^{-1}},|z|>1\)B.\(\frac{1}{1-z^{-1}},|z|<1\)C.\(\frac{z}{z-1},|z|<1\)D.\(\frac{1}{1-z},|z|>1\)3.已知序列\(x(n)=\delta(n-2)\)，其Z变换\(X(z)\)为（）A.1B.\(z^{-2}\)C.\(z^2\)D.04.离散系统差分方程\(y(n)-0.5y(n-1)=x(n)\)，其系统函数\(H(z)\)为（）A.\(\frac{1}{1-0.5z^{-1}}\)B.\(1-0.5z^{-1}\)C.\(\frac{1}{1+0.5z^{-1}}\)D.\(1+0.5z^{-1}\)5.若序列\(x(n)\)的Z变换为\(X(z)\)，则\(x(n-1)\)的Z变换为（）A.\(zX(z)\)B.\(z^{-1}X(z)\)C.\(z^{-1}X(z)+x(-1)\)D.\(zX(z)-x(0)\)（二）填空题（每题3分，共15分）1.单位脉冲序列\(\delta(n)\)的Z变换为__________。2.指数序列\(x(n)=a^nu(n)\)的Z变换为__________，收敛域为__________。3.Z变换的时域卷积定理：若\(y(n)=x_1(n)*x_2(n)\)，则\(Y(z)=\)__________。4.已知\(X(z)=\frac{z}{z-2}\(|z|>2)\)，其对应的时间序列\(x(n)=\)__________。5.因果离散系统稳定的充要条件是系统函数\(H(z)\)的所有极点均位于Z平面的__________。（三）简答题（每题5分，共10分）1.简述Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）的关系。2.简述因果序列、反因果序列、双边序列Z变换收敛域的区别。（四）计算题（共60分）1.求下列序列的Z变换并标注收敛域（每题6分，共12分）（1）\(x(n)=2^nu(n)\)（2）\(x(n)=(3^n-2^n)u(n)\)2.求下列Z变换对应的逆Z变换（每题8分，共16分）（1）\(X(z)=\frac{z}{z-0.5}\quad(|z|>0.5)\)（2）\(X(z)=\frac{2z^2}{(z-1)(z-2)}\quad(|z|>2)\)3.利用Z变换求解差分方程（16分）已知离散系统差分方程：\(y(n)-0.8y(n-1)=x(n)\)，输入序列\(x(n)=u(n)\)，初始条件\(y(-1)=0\)，求系统的零状态响应\(y(n)\)。4.离散系统分析（16分）已知离散系统差分方程：\(y(n)-1.2y(n-1)+0.32y(n-2)=x(n)\)（1）求系统函数\(H(z)\)；（2）求系统单位脉冲响应\(h(n)\)；（3）判断系统是否稳定。三、参考答案及详细解析（一）单项选择题（每题3分，共15分）1.B解析：因果序列仅在\(n\geq0\)时有非零值，Z变换收敛域为模大于最大极点模，即\(|z|>R_x^+\)。2.A解析：单位阶跃序列\(u(n)\)Z变换公式：\(\mathcal{Z}[u(n)]=\frac{1}{1-z^{-1}}\)，收敛域\(|z|>1\)。3.B解析：由Z变换时移性质，\(\mathcal{Z}[\delta(n-k)]=z^{-k}\)，代入\(k=2\)得\(z^{-2}\)。4.A解析：对差分方程两边做Z变换，零状态下\(Y(z)-0.5z^{-1}Y(z)=X(z)\)，整理得\(H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}\)。5.C解析：Z变换左移性质：\(\mathcal{Z}[x(n-1)]=z^{-1}X(z)+x(-1)\)，无初始条件时可简化，通用公式含初始项。（二）填空题（每题3分，共15分）1.1解析：\(\mathcal{Z}[\delta(n)]=\sum_{n=0}^{\infty}\delta(n)z^{-n}=1\)，全平面收敛。2.\(\frac{1}{1-az^{-1}}\)；\(|z|>|a|\)解析：因果指数序列标准Z变换公式，收敛域为模大于底数模。3.\(X_1(z)\cdotX_2(z)\)解析：时域卷积对应Z域乘积，是Z变换核心定理之一。4.\(2^nu(n)\)解析：由指数序列Z变换逆变换公式，匹配形式可得对应因果序列。5.单位圆内解析：因果离散系统稳定的充要条件：所有极点位于Z平面单位圆内部。（三）简答题（每题5分，共10分）1.参考答案：Z变换是离散时间信号的广义变换，DTFT是离散时间信号的频域变换。当Z变换的收敛域包含Z平面单位圆（\(|z|=1\)）时，令\(z=e^{j\omega}\)，即可由Z变换得到DTFT，即\(X(e^{j\omega})=X(z)|_{z=e^{j\omega}}\)。简单来说，DTFT是Z变换在单位圆上的特殊形式。2.参考答案：（1）因果序列：仅\(n\geq0\)有非零值，收敛域为Z平面中某圆外部区域\(|z|>R_x^+\)；（2）反因果序列：仅\(n<0\)有非零值，收敛域为Z平面中某圆内部区域\(|z|<R_x^-\)；（3）双边序列：全时域有非零值，收敛域为Z平面圆环区域\(R_x^-<|z|<R_x^+\)。（四）计算题（共60分）1.序列Z变换求解（12分）（1）解：由Z变换定义：X(z)=等比级数收敛条件：\(|2z^{-1}|<1\)，即\(|z|>2\)级数求和得：X(z)=\frac{1}{1-2z^{-1}}=\frac{z}{z-2}\quad(|z|>2)（2）解：由Z变换线性性质，拆分序列分别变换：ZZ合并计算：X(z)=收敛域取交集：\(|z|>3\)2.逆Z变换求解（16分）（1）解：已知X(z)=z对照指数序列逆变换公式，可得：x(n)=（2）解：对原式做部分分式分解，先对\(\frac{X(z)}{z}\)拆分：X(z)通分求解系数：\(2z=A(z-2)+B(z-1)\)令\(z=1\)，得\(A=-2\)；令\(z=2\)，得\(B=4\)因此：X(z)=由收敛域\(|z|>2\)判定为因果序列，查逆变换公式：x(n)=(−2⋅3.Z变换求解差分方程（16分）解：对差分方程两边做Z变换，零状态下初始条件\(y(-1)=0\)：Y(z)−0.8输入\(x(n)=u(n)\)，其Z变换X(z)=\frac{z}{z-1}\(|z|>1)整理得系统输出：Y(z)=部分分式分解：Y(z)Y(z)=做逆Z变换，得零状态响应：y(n)=(5−4⋅4.离散系统分析（16分）解：（1）求系统函数\(H(z)\)对差分方程两边做零状态Z变换：Y(z)−1.2系统函数定义\(H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}\)，整理得：H(z)=（2）求单位脉冲响应\(h(n)\)对分母因式分解：\(z^2-1.2z+0.32=(z-0.4)(z-0.8)\)部分分式分解：H(z)H(z)=因果系统收敛域\(|z|>0.8\)，逆变换得：h(n)=(2⋅（3）系统稳定性判断系统极点为\(z_1=0.4\)、\(z_2=0.8\)，