浙江省湖州市长兴县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题（含答案）

浙江省湖州市长兴县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题

意要求的，不选、多选、错选均不得分.）

1.下列图形中是轴对称图形的是（）

2.如图,AB1BD,AC1CD,若NA=25。，则ND的度数是（

A.25°B.65°C.55°D.45°

3.如图，已知AB_LBD,CD1BD,若用“HL”判定ABD和RsCDB全等，则需要添加的条件是

（）

AD

BC

A.AD=CBB.ZA=ZCC.ZADB=ZCBDD.AB=CD

4.用直尺和圆规作“一个角等于已知角”的示意图如图所示，则要说明=LAOB,需要证明△COD

和△COD，全等，则这两个三角形全等的依据是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

5.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,连接AE,若AE=4,EC=2,则BC

的长为（）

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D

A.2B.4C.6D.8

6.下列选项中，可以用来说明命题“若a2>b2,则a>b”是假命题的反例是（）

A.a=3,b=-2B.a=2,b=1C.a=-3,b=2D.a=-2,b=3

7.等腰三角形的一个内角为70。，则另外两个内角的度数分别是（）

A.55°,55°B.70°,40。或70。，55°

C.70°,40°D.55°,55。或70。,40°

8.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）

A.ZA+ZB=ZCB.ZA-ZB=ZC

C.ZA：ZB：ZC=i：2：3D.NA=/B=3NC

9.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等

的直角三角形和1个小正方形组成.如图，直角三角形的两直角边长分别为a,h,斜边长为c.若b-a=4,

c=16,则每个直角三角形的面积为（）

A.64B.60C.120D.128

10.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD_LBC于点D,点P是BA延长线上一点，点O是线

段AD上一点，OP=OC有下列结论：©ZAPO+ZDCO=30°；@ZAPO=ZDCO；③△OPC是等边三角

形；④AB=AO+AP.其中正确的是（）

A.①③④B.①②③C.①③D.①②③④

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.命题“两直线平行，内错角相等''的逆命题是.

12.若等腰二角形的两边长分别为2和5.则它的周长为.

13.如图，在Rt^ABC中，ZA=90°,点D在AC上，DE_LBC于点E,且DE二DA,连接DB.若NC

第2页

=20°,则NDBE的度数为.

15.如图，在△ABC中，AC=BC,AB=6,△ABC的面积为12,CD_LAB于点D,线段BC的垂直平分线

EF交AB于点E,交BC于点F,P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是.

16.如图，在^OAB和^BCD中，OA=OB=3,CB=CD=I,/AOB=NBCD=90。.连结AD,取AD的中点

E,连结OE.将△BCD绕点B按顺时针方向旋转，当点O,C,B在同一直线上时，0E的长为.

三、解答题（本大题有8小题，共72分）

17.已知：如图，AB〃DE,AB=DE,点B,E,C,F在同一条直线上，且BE=CF.求证：ZACB=ZF.

即BC=EF

第3页

•・・AB〃DE,

・••ZD=▲(▲)

在4ABC和^DEF中

(48=()

•••J乙B=乙DEFl已证)

IBC=EF(已证)

AAABC^ADEF(A)

・•・ZACB=ZF(A)

18.如图，BE=BA,AB//DE,BC=DE.

(1)求证：△ABC^ABED

(2)若NA=40。，求NDBE的度数.

(1)用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD.(要求：保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法)

(2)若CD=3,AB=10,求△ABD的面积.

20.如图，已知△ABC中，AB=17,BC=13,D是AB上一点，连结CD,且CD=12,BD=5.

(1)求证:CD1AB.

(2)求NA的度数.

21.如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF,BD=CE.

第4页

A

(1)求证：△DEF是等腰三角形;

(2)当NA=40。时，求NDEF的度数;

22.在RsABC中，ZACB=90°,CE是斜边AB上的中线，CD是斜边AB上的高线，AC=3,BC=4.

图2

,高线CD的长为

(2)如图2,在AC的延长线上取一点F,使得AF=BF,求CF的长.

23.如图，在△ABC中，NACB=90。，AB=10,AC=8,点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度

沿折线A-C-B-A运动，设点P的运动时间为t(s)(t>0).

(1)若点P在AC上，则AP二,CP=［用含t的代数式表示).

(2)若点P在NBAC的平分线上(不与点A重合)，求I的值.

(3)在整个运动过程中，直接写出当APBC是等腰三角形时t的值.

24.请阅读下面的材料.

第5页

cc

图1图2

DC

图3图4

(1)问题：如图1,若NA=60。，ZACB=90°,CD平分/ACB,探究图中线段BC,AC,AD之间的

数量关系.

小明同学的思路是：如图2,在BC上截取CE二CA,连接DE,光证AACDVAECD,可得AD=DE,再

证BE二DE,可得出结论，他的结论是.(直接写出结论，不需要证明).

(2)变式：如图3,在四边形ABCD中，点E是BC的中点，若AE平分上BAD,41EO=90。，请你探

究图中线段AB,AD,CD之间的数量关系并证明.

(3)拓展：如图4,在△ABC中，24=60°,448c和4AC8的平分线交于点P,点M,N分别为

AB,AC上的点，且点P为MN中点，若BM=8,CN=1.5,MN=7,求BC的值.

第6页

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

B选项中的图形能找到•条直线，使图形沿•条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图

形；

故答案为：B.

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这

条直线叫做对称轴进行分析即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解:记AC与BD的交点为O,

VAB1BD,AC1CD,

.\ZB=ZC=90°,

XVZAOB=ZCOD,

.\ZD=ZA=25O,

故答案为：A.

【分析】根据NB=NC=90。、NAOB=NCOD可得答案.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：需要添加的条件是AD二CB.

理由是：-CD1BD,

乙ABD=乙CDB=90°.

在Rt△ABD^WRtACDB中,

(AD=CB

[BD=DB'1

SABDSCDB[HL),

故答案为：A.

【分析】根据垂直定义得出^ABD=^CDB=900„根据图形可知BD是公共直角边，根据直角三角形全等

的判定HL得出需要添加的条件是斜边相等.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：

由作图痕迹可知，OC=OD=O'C'=O'D',CD=C'D',

.*.△COD^AC'OD'(SSS),

第7页

・•・这两个三角形全等的依据是SSS.

故答案为：D.

【分析】由作图痕迹可知，OC=OD=O,C'=OD',CD=CD,可得△COD且△COD(SSS),即可得出答案.

5.【答案】C

【解析】【解答】解:

〈DE是AB的垂直平分线，

・•・BE=AE=4,

/.BC=BE+EC=4+2=6,

故答案为：C.

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到BE=AE=4,结合图形计算即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：能说明命题“若a?解2,则a>b”是假命题的是a=-3,b=2,此时a2>b2,但aVb,

故答案为：C.

【分析】

反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：①当70°的内角为这个等腰三角形的顶角时，

则另外两个内角均为底角，它们的度数为侬7。。=55。;

②当70。的内角为这个等腰三角形的底角时，

则另两个内角一个为底角，一个为顶角，

底角为70。，顶角为180°-70°-70°=40°,

综上，另外两个内角的度数分别是55。，55°或70。,40°.

故答案为：D.

【分析】先根据等腰三角形的性质，分70。的内角为顶角和70。的内角为底角两种情况，再分别根据三角

形的内角和定理即可得.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：A、若NA+NB=NC,可知2NC=180。，NO90。，是直角三角形；

B、若/A-NB=NC,可知2NA=18O。，ZA=90°,是直角三角形；

C、若NA：ZB：ZC=1：2：3,贝］/人=180。:6=30。，ZB=30°x2=60°,ZC=90°,是直角三带形；

D、若/A=/B=3NC,则7NC=180。，NC=(写，，NA=NB二(半，，不是直角三角形；

故答案为：D.

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【分析】根据条件及二角形内角和180。求解即可，ABC中均有角为90。，为直角二角形，D口没有角为

90°,不是直角三角形.

9.【答案】B

【解析】【解答】解:

由勾股定理得小+d=。2=162

乂次+3=(a—b)2+2ab=162,

/.2ab=162-42-240

每个直角三角形的面积为=60,

故答案为：B.

【分析】根据勾股定理可知a2+b2=c2,再根据，a=4,c=16,即可得到a、b的值，然后即可计算出每个直角

三角形的面积.

10.【答案】A

【解析】【解答】解:

①如图，连接OB,

VAB=AC,AD_LBC,

・,.BD=CD,/BAD4乙8AC=60。，

AOB=OC,ZABC=90°-ZBAD=30:>

VOP=OC,

・・・OB=OOOP,

・・・NAPO=NABO,ZDCO=ZDBO,

:.ZAPO+ZDCO=ZABO+ZDBO=ZABD=30°；

故①正确；

②由①知：ZAPO=ZABO,ZDCO=ZDBO,

丁点O是线段AD上一点，

AZABO与NDBO不一定相等，则NAPO与NDCO不一定相笔,

故②不正确；

③「ZAPC+ZDCP+ZPBC=180。,

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/.ZAPC+ZDCP=150°,

VZAPO+ZDCO=30°,

.\ZOPC+ZOCP=120°,

.,.ZPOC=180°-(ZOPC+ZOCP)=60。,

VOP=OC,

•••△OPC是等边三角形；

故③正确；

④如图，在AC上截取AE=PA,连接PE,

ZPAE=180°-ZBAC=60°,

/.△APE是等边三角形，

・•・ZPEA=ZAPE=60°,PE=PA,

.\ZAPO+ZOPE=60°,

•・•ZOPE+ZCPE=ZCPO=60°,

.\ZAPO=ZCPE,

VOP=CP,

可证AOPA乌ZXCPE,

AAO=CE,

・•・AB:AOAE+CE=AO+AP；

故④正确；

本题正确的结论有：①③④.

故答案为：A.

【分析】①利用等边对等角，即可证得：ZAPO=ZABO,ZDCO=ZDBO,则

ZAPO+ZDCO=ZABO+ZDBO=ZABD,据此即可求解；

②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是NABD的角平分线，可作判断；

③证明NPOC=60。且OP=OC,即可证得^OPC是等边三角形；

④首先证明△OPAgaCPE,贝IJAOCE,AB=AC=AE+CE=AO+AP.

11.【答案】内错角相等，两直线平行

【解析】【解答】解：命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题是内错角相等，两直线平行.

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故答案为：内错角相等，两直线平行.

【分析】原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等，将条件与结论互换就可得到逆命题.

12.【答案】12

【解析】【解答】解：①当等腰三隹形的腰长为2时，底边长为5,

•；2+2V5,

・••不能构成三角形；

②当等腰三角形的腰长为5时，底边长为2,

V2+5=7>5,

••・能构成三角形；

・•・等腰三角形的周长5+5+2=12.

综上所述：等腰三角形的周长为12.

故答案为：12.

【分析】先确定等腰三角形的两种可能边长组合，分别判断是否符合三角形三边关系，排除不符合的情况后

计算周长.

13.【答案】35°

【解析】【解答】解：解法一：VZA=90°,ZC=20°,

.,.ZABC=90°-ZC=70°,

•・・DEJ_BC于点E,

:.ZBED=90°,

在RSEBD和RSABD中,

BD=BD

DE=DA,

?.RtAEBD^RtAABD(HL),

1

-35。

2

故答案为：35.

解法二：*/ZA=90°,ZC=20°,

.\ZABC=90o-ZC=70°,

VZA=90°,

ADA_BA,

VDEIBC,且DE二DA,

・••点D在/ABC的平分线上，

・•・BD平分NABC,

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1

:.乙DBE=/.DBA=54ABe=35°,

故答案为：35°.

【分析】由NA=90。，ZC=20°,求得NABC=70。，然后证明RsEBD且RsABD,推导出

ZDBE=ZDBA,或根据角平分线的性质证明BD平分NABC,求得乙DBE=^ABC=35*于是得到问题

的答案.

14.【答案】-V5

【解析】【解答】解：•・•在RtZkOBC中，£.BCO=90°.OC=2,BC=I,

・•・由勾股定理，得（OB?=0C2+BC2,

•・•OB=>JOC2+BC2=02+M=V5,

v0A=0B,

:.0A—V5,

又丁点A在原点的左侧，

・••数轴上点A表示的数是75.

故答案为：—通.

【分析】在RMOBC中,由题意，根据勾股定理，求出OB的长，再根据OA=OB,可得OA的长，最后由

点A在数轴上的位置得出答案.

15.【答案】7

【解析】【解答】解：连接CP,

VAC=BC,CD1AB,

・・・BD=AD=3,

VSABC=i/l/?XCD=12,

A乙

ACD=4,

•；EF星直平分BC,

APB=PC,

；・PB+PD=PC+PD,

VPC+PD>CD,

第12页

・•・PC+PD>4,

/.PC+PD的最小值为4,

•••△PBD的最小值为4+3=7.

故答案为：7.

【分析】连接PC,利用三角形的面积公式求出CD,由EF垂直平分AB,推出PB=PC,推出

PB+PD=PC+PD,由PC+PD2AD,挂出PC+PDN4,推出PC+PD的最小值为4,由此即可解决问题.

16.【答案】伤或2企

【解析】【解答】解：

①当点C在OB的延长线时，连接BE,设OE交AB于点F,如图1所示：

图1

在AOAB中，OA=OB=3,ZAOB=90°,

.\ZOBA=45°,

由勾股定理得：AB=3或，

在△BCD中，CB=CD=1,ZBCD=90°,

:.ZCBD=45°,

由勾股定理得：BD=V2,

・・•点0,C,B在同一直线上时，

.\ZABD=180o-(Z0BA+ZCBD)=90°,

/.△ABD是直角三角形，

•・•点E是AD的中点，

ABE是RtAABD的斜边AD上的中线,

・・・BE二AE=DE=；4D,

・••点E在线段AB的垂直平分线上，

XVOA=OB=3,

，点O在线段AB的垂直平分线上，

・・・OE是线段AB的垂直平分线，

第13页

•••0E1AB,

，ZAPE=90°,

.\ZAFE=ZABD=90°,

・・・EF〃BD,

AEFfiAABD的中位线,

XAOE1AB,

:.OF=AF=BF二平,

2

.*.OE=EF+OF=2V2;

②当点C在线段OB上时，过点O作OH_LAB于点H,如图2所示:

VCB=CD=1,ZBCD=90°,

•••△CBD是等腰直角三角形，

・••点D在线段AB±,

同①可得，AB=3&，BD=&,

由三线合一得AH二挈，

VAD=AB-DB=2V2,

YE为AD中点，

AAE=V2,

AEH=AH-AE=iZ,

VAOAB为RS,H为AB中点，

・・・OH:AH=HB=I2AB=322,

由勾股定理，得E。=Vo“2+E”2=而;

综上，OE二遍或2a

故答案为：逐或2&.

【分析】先利用勾股定理可求得AB=3四，BD=J2,由分类讨论得到图1和图2两种不同情况，在图I中，

先证明0E垂直平分AB,利用直角三角形斜边上中线的性质可求OF,由三角形中位线性质可求FE,从而得

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到0E的长；在图2中，根据EH=AH-AE,求得EH的长，再由直角三角形斜边上中线的性质求得OH长,

从而利用勾股定理得到OEK.

17.【答案】解：BE=CF（已知）

•••BE+EC=CF+EC

即BC=EF

•••ABIIDE

:.乙B=（DEF（两直线平行,同位角相等）

在△/IBC和△DEF中

'AB=DE（已知）

,乙B=（DEF（己证）

BC=EF（已iiE）

ABC=△OEF（SAS）

:•乙ACB=5（全等三角形的对应角相等）

【解析】【分析】由BE=CF,推导出BC=EF,由AB〃DE,得/B=NDEF,而AB二DE,可根据“SAS”证明

△ABC^ADEF,得NACB=/F.

18.【答案】（1）证明：・・・AB〃DE

AZABC=ZBED

在aABC与aBED中

AB=BE

v{/.ABC=乙BED

BC=ED

・•・△ABC^ABED（SAS）

⑵解：VAABC^ABED

.\ZDBE=ZA=40°

【解析】【分析】（1）由AB〃DE证得/ABC=/BED,进而利用SAS证得△ABC名ABED；

（2）根据全等三角形的性质可得结论.

19.【答案】（1）解：如图，BD即为所求.

B

（2）解：过点D作。E固48于点E,

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:.ED=CD=3,

-AB=10,

・••△4BD的面积为鼻B-DE=|x10x3=15.

乙乙

【解析】【分析】(1)根据角平分线的作图方法作图即可.

(2)过点D作DE用A8于点E,结合角平分线的性质可得ED=CD=3,再结合三角形的面积公式计算即可.

20.【答案】(1)证明：vCD2+BD2=122+52=169,5C2=132=169

222

ACD+BD=BC

・•・△CBD是直角三角形，且NBDC=90°

ACD1AB

(2)解:VAB=17,BD=5

AAD=12

VCD1AB,CD=12

•••△CBD是等腰直角三角形

/.ZA=45°

【解析】【分析】(1)根据勾股定理的逆定理即可得出结论；

(2)求出AD二AB-BD=17-5=12,在RsADC中，由等腰直角三角形的性质即可解决问题.

21.【答案】(I)证明：VAB=AC,.\ZB=ZC,

在^BDE和^CEF中：

VBD=CE,ZB=ZC,BE=CF,

/.△BDE^ACEF(SAS),

ADE=EF,

•••△DEF是等腰三角形

(2)解：VZDEC=ZB+ZBDE,

即NDEF+NCEF=NB+NBDE,

由(1)知4BDE^ACEF,

贝U/RDF二/CFF.

.\ZDEF=ZB,

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VZA=40°,

.\ZB=ZC=18。°-40°=7（）。，

2

・•・ZDEF=70°

【解析】【分析】（1）通过边角边证得△BDE丝ZXCEF,即可证得DE二EF,从而证得△DEF是等腰三角形；

（2）由（I）知△BDE/Z\CEF即可知由三角形内角和定理与平角定义可知NDEF=/B,从而根据等边对等

角可求得NB即求得/DEF的值.

22.【答案】（1）孝

（2）解：设CF二x,贝ijAF=x+3

VAF=BF

・・.BF=K+3

*/ZBCF=90°

22

X+=X+

3)d2

7

¥得

X--

6

7

6-

【解析】【解答】

（1）在RlZkABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,

由勾股定理得：AB=5,

在Rt/kABC中，CE是斜边AB上的中线,

则CE=0.5AB=2.5,

,/SAABc=iAC*BC=1AB*CD,

.•.CD考，

故答案为:等

【分析】

（1）根据勾股定理求出AB,再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出CE,根据三角形面积公式求出

CD；

（2）根据勾股定理列出方程，解方程得到答案.

23.【答案】（1）2t：8-2t

（2）蟀：点P在RC上时.

过点P作PEJ_AB,贝iJPC=2t-8,PB=14-2t

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TAP平分NBAC

且PC±AC

APE=PC

在4ACP^AAEP中,

zC=^AEP

/-CAP=Z.EAP

AP=AP

.*.△ACP^AAEP(AAS)

/.AE=AC=8

:.BE=2

在RsPEB中，由勾股定理得：PE2+EB2=PB2

即：(2t-8)2+22=(14-2t)2

解得：”学

J

答：点P在/BAC的平分线上时，t的值为学秒

(3)解：由图可知，当4BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上,

①当点P在线段AC上时，此时4BCP是等腰直角三角形，

・•・此时CP=BC=6,

AAP=AC-CP=8-6=2,

A2t=2,

t=1；

②当点P在线段AB上时，若BOBP,

则点P运动的长度为：

AC+BC+BP=8+6+6=20,

/.2t=20,

/.t=10：

若PC=BC,如图，过点C作CH_LAB于点H,则BP=2BH,

在△ABC中，ZACB=90°,AB=10.BC=6,AC=8,

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••・AB・CH=AC・BC,

10CII=8x6,

•••pLinj—-2匚4，

在RtZkBCH中，由勾股定理得：

BH=3.6,

・・・BP=7.2,

・••点P运动的长度为：AC+BC+BP=8+6+7.2=21.2,

.\2t=21.2,

t=10.6；

若PC=PB,如图3所示，过点P作PQ_LBC于点Q,

则BQ=CQ=0.5xBC=3,ZPQB=90°.

.\ZACB=ZPQB=90°,

・・・PQ〃AC,

・・才（？为4ABC的中位线，

/.PQ=0.5xAC=0.5x8=4,

在RsBPQ中，由勾股定理得：BP=5,

点P运动的长度为：AC+BC+BP=8-6+5=19,

A2t=19,

At=9.5.

综上，t的值为1或9.5或10或10.6.

【解析】【解答】（1）•・•点P在AC上，

Z.AP=2t,CP=8-2t,

故答案为：2t,8-2t；

【分析】（I）根据题意列出代数式即可；

（2）如图，当点P在/RAC的角平分线上时可先利用二角形全等，求出AD=AC=8.分别表示各线段.在

直角三角形中，利用勾股定理求出I的值.

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(3)由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，①当点P在线段AC上时，

此时ABCP足等腰直角二角形，②当点P在线段AC上时，乂分二种情况：BC=BP；PC=BC；PC=PB,分

别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案.

24.【答案】(1)BC=AC+AD

(2)解：AD=AB+CD,理由如下：

在AD上截取AF=AB,连接EF,如图，

VAE平分NBAD

.\ZBAE=ZFAE

VAE=AE

・•・△BAE^AFAE(SAS)