高中数学-空间向量基本定理（原卷版）

空间向量基本定理

考，点；工空间向鼠用木定理

1、空间向;立基木定理

如果向后三个向量aAc,不共面，那么对空间任意向呆p,存在有序实数组k，y,二｝，使得「=M+）3+二0.

2、基底与基向量

如果向量三个向量还］，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是｛丽=焉+）++五”二对.这个

集合可看作是由向量£范,&生成的，我们把｛3L可叫做空间的一个基底£6/都叫做基向量.

对基底的正确理解，有以卜三个方面：

<1）空间中任意三个不共面的向做都可以作为空间的•个基底;

（2）因为6可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共而，就隐含

着它们都不是6；

（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量,

二者是不同的概念.

考点工空间向H的正交分解

1、单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1,那么这个基底叫做单位正交基底，常用

（ij,%｝表示.

2、正交分解

由空间向量基本定理可知,对空间任一向量a,均可以分解为三个向H'-xi，.优，zk使得a=xi+yj-^-zk-

像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

我们把“'，2称作向量p在单位正交基底区1,a卜♦的坐标.记作*=｛、,乂二｝此时向量"的坐标恰是点［在

空间内角坐标系。师中的坐标｛xj,二｝，其中分别叫做点3的横坐标、纵坐标、竖坐标.

3、特殊向后的坐标衣示

（1）当向量"平行于x轴时，纵坐标、竖坐标都为o,即i=a.o.o）：

（2）当向量£平行于y轴时，纵坐标、横坐标都为0,即1=Qy,0）：

（3）当向量［平行于二轴时，横坐标坐标、纵坐标都为0,BPa=（0.0.z）;

（4）当向量工平行于宜"平面时，竖坐标为0,即"=（xj,o）：

（5）当向量为平行广〃为平面时,横坐标为0,即3=（0,乂制：

<6）当向量1平行于x°z平面时,纵坐标为0,即°=（x,0，z）；

考点2空间向n屎木定理的应用

1.求异面直线的夹角：cos<a,b>=^41.

2.证明共线（平行）、共面、垂直问题：

（1）对于空间任意两个向量a、b（b*O）,Q11b的充要条件是存在实数3使Q=M.

（2）如果两个向最a,b不共线，那么向僦夕与向炭a,b扶面的充要条件是存在唯一的有序实数对5,

分，使。=xa+yb.

（3）若a、b是非零向量,则al*>@b=O.

3.知叫（长度）问题：|a|=后天|而|=>/而・L）.

题型•：基底的判断

I.若pzq是空间的一个基底，则下列各组向盘中一定能构成空间的一个基底的是（）

A.a,a+b.a-bB.-+2反

C.a+b,a-\-c^b—cD.c,a+g、a—g

2.已知｛反尻可为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（）

A.a.a-2b,a+bB.a+b.a-b^c

C.2a+2b.a+b.2cD.a+c.b+c,a+b+2c

3.（多选）若｛瓦B，@构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

A.b+ctbib-cB.a,a+b>a—b

C.3+3，a-b，CD.a+b，方+5+d，C

4.（多选）设;•=3+33=办+工］=工+3,11弧处｝是空间的一个基底，则下列向质组中，可以作为空阿一

个基底的向量组有（）

A.,咐B.丘正｝

C.｛Ac.?D.k，y.d+b+c｝

5.｛瓦5,可为空间的一组基底，则卜.列各项中能构成基底的一组向量是（）

A.a,a+b,a—bB.b»a+b,a-b

C.C,a+b»a—bD.<J+26>a+bta—b

6.（多选）｛瓦尻可是空间的一个基底，与3+3、G+5构成基底的一个向最可以是（）

A.b+EB.b―三C.bD»c

7.正方体48CD—4DiGDi中的切句线段，不能作为空间中的基底的是()

A.｛AB,AC,AD｝B.｛AB,AD,AA［｝C.前福，而｝D.｛福，石耳｝

8.己知空间向量5=(1,—2,2),%=(2,2,-3)7=(—3,1,吗，若3,b,区可以构成空间向量的一个基底,

则实数x的取值范围为.

题型：：空间基底表不向最

1.已知正方体458-4与。］。］中，侧面CG2。的中心是尸，若Q=与+G5+〃四，则加=

“=.

2.如图，在直三棱柱-4B£中，E为棱4G的中点.设瓦i=5,BB1-b,BC-c»贝4族=(

1一_一

D.-a+b+c

2

3.如图，在四面体。4BC中，65=瓦丽=石,沆=五点M在线段Q4上，且20乂=用4'为5。中点,

则而等F()

A.1a+1b+|cB.1a-4-1cC.1a+1d-1cD.-1a+|d+|c

4.直三棱柱4。。一A31cl中，若尼=瓦而=及京=乙，则西=()

A.-a+b—~cB.a-b+c

C.a-^-~cD.a+~H-~c

5.在平行六面体488-4与。］。］中，AC,5。相交于。，M为Og的中点，设方=',石乩,AA1=c,

则育=<)

A.-a+-b--cB.-a--b+-c

442442

C.--a--b+-cD.--a+-b--c

442442

6.四棱锥P-48中，底面48CZ)是平行四边形，点E为棱尸。的中点，若石=入方+y而+二万，则

D.2

2&I

7.空间四边形4BCD中,NC是四边形的两条对角线，河，N分别为线段48，上的两点,

-----2——?..-..-..----

几满足=DN=-2)C,若点G在线段儿W上，IL满足标=3而，若向质元满足

4

AG=xAB-I-yAC+ZAD,则、+丁+二=

8.在四面体。-中.PA=2OP,0是“。的中点，且“为尸。的中点.若31二,OB=b^

-

11-111-1

一-

-。+-b+-C--b+-

Ac.644B.622

D.

11111-1C

---b--

-a+-d+-C--+-。

322344

9.如图，在平行六面体488-4与。14中，P是的中点，点。在C4匕且（70:04=4:1,设万=",

,3—3-3—,7—7—71

A.OP=—aH--bH---cB.QP=­a~i--b——c

~101010101010

-3-3-3-—1-1-1-

C.QP=——(1+—b--cD.QP=—(1+—b+—c

101010101010

10已知四面体O—45C,。是A45C的重心,G是。G】上一点，且OG=3GG「若

OG=xOA+yVB+zOC,则(乂丁⑶为()

Q44)B.弓弓高

11.在正四面体在CD中，。为△BCD的求心，记万=Z，AC=b»AD=c-若善=|芯，CM=2MD，

则两=.（川Z，%，）表示）

题型三证明平行或垂直关系

1.己知空向四边形"国中，"0B=4B0C=/A0C,旦/。牛3,MN分别是由，届的中点，G是必r

的中点，求证：OGLBC.

2.如图所示，已知矩形NBCD和矩形4底F所在的平面互相垂直，点”，N分别在对角线B。，AEh,

O.BM=-BDfAN=-AE.求证：MNJ.AD.

33

3.已知空间四边形。48c中，4AOB=4BOC=&OC,且04=03=0。，M>N分别是04,3c的

中点，G是的中点，求证：OG1BC.

4.如图,正方体ABCD-/BUD的棱长为1,E,F,G分别为CD,HD,OZ>的中点.求证:EF//AC.

5.已知四面体中三组相对楼的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直.

己知：如图，四面体疑8,E,F,GH,KM分别为棱丝，BC,CDDABDNC的中点，且

|EG|=|FH|=|KM求证AB±CD,AC1BD,AD±BC.

6.如图所示，三棱柱4BC-4B£中，Q4=o，C5=&,CC;=c,CA=-CO,-1,（叫=色亡”等，

A

⑴用石，B，3表示向量不？；

⑵在线段G4上是否存在点M，使XM_L4N?若存在，求出M的位置，芥不存"匕说明理由.

7.如图，在平行六面体430-44GA中，AB-AD-AAx-\y=ZA^AD=ZBAD=60°,

求证：直线4C_L平面&V)e

8.如图，在底面建8为菱形的平行六面体458-44GB中，河，N分别在棱14，CC,E,且

=—AA^tCN=—CC(,fl.A^AD—A^AB—DAB—60".

(1)用向量且&m48表示向量赤;

⑵求证：D,M,4，N共面；

⑶当今为何值时，AC^A.B.

An

趣邢四：空间向I止基本定理求印禽夹角

1.如图所示，已知空间四边形.®9的每条边和对角线长都等于1,点用F,G分别是加，切办的中点.设

AB=a»AC=b>AD=c-求异而直线AG和绥所成角的余弦值.

2.如图，两个正方形建CD,CDE尸的边长都是3,且二面角d-CQ-E为6（Z，M为对角线.4C靠近点A

3.在平行六而体A8CD-44GR中，48=4,40=4,^4=5,ZLL4B=60°,60°,ZDAA1=60°,

M,N分别为RG，G4的中点.

（1）｛。［.力构成空间的一个基底，用它们表示而，为，设方=£，AD=byA^=c.

（2）求g与MN的夹角.

4.如图，正四面体48co（所有棱长均相等）的棱长为LE、F,G,，分别是正四面体"CD中各棱的中

点，设方=£,AC=b>AD=c.

（2）求声与丽的夹角.

5.如图，在平行六面体展8-4耳。14中，以顶点人为端点的三条楼长都为1,且两两夹角为60。，求

与ZC的夹角的余弦值.

6.如图，在四面体45CZ）中，ABAC=600fZBAD=ACAD=45°,4D=J5,AB=AC=3.

(1)求就•丽的值;

⑵己知尸是线段CD中点，点E满足而=2而，求线段族的长.

⑴求对角线的长度；

⑵求异面直线与04所成角的余弦值.

8.如图,三棱柱43。-48£中，M,N分别是&S，4G上的点,2AMGN=2AN.设石=3，就=B，

⑴试用a，b»c表不向质MV;

⑵若/BAC=^\/RAAX=/C.4Al=60。.AR=AC=/&=1,求ACV的长.

9.己知在平行六面体ABCD-中，Z8=2,乂4=3,ZD=1FL^DAD="AA「/。.£山

⑴求亚的长；

⑵求向运丽1jAB夹角的余弦值.

10如图所示，已知空间四边形458的每条边和对角线长都等于1,点E，F，G分别是43，AD，

O的中点.设方=［，就=九AD=c-

⑴求证EG_L/5；

⑵求异面直线NG和CE所成角的余弦值.

11.如图所示,在四棱锥M-48中,底面NBCD是边长为2的正方形,侧棱的长为3,IL

NMXB=/M4D=60。，N是CA1的中点，设,=布，@=而，?=JM，用不、b>g表示向景丽，并

求AV的长.

M

12（多选）如图，已知4O_L手的OBC,^BOC=—t04=08=2,OC=3,E为.45的中点，衣=3万，

则以下正确的是（）

C.AB与OC所成角的余弦值为立

4

D.OE与O尸所成角的余弦值为交

13.（多选）在三棱柱建C-48£中，M.N分别是484G上的点，且瓦0=2&笆。囚=2即V.设

方=瓦就=反石=5,^ZBAC=90\ZBA^=ZCAA1=6Q\AB=AC=AAl=1,则下列说法中正确的是

()

------------1

更线用与的所成的角为。

C.AlBAlCi=--D.30

1.在三棱柱48（7-48£中，可以作为空间向后一组基底的是＜）

A.,43»BC»4clB.AB,AB1,

C.AB，AC>N4D.五,AC>4C1

2.三棱锥38中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是＜）

——1—1—2—

A.AM=-AB+—AC+-ADB.

4123

-----1—1—1—

C.AM=-AB+-AC+-ADD.

234

3.已知｛瓦尻耳是空间的一个基底，若万=刁+5,,则（）

A.｛7方.不是空间的•个基底

B.｛尻万同是空间的•个基底

C.0点0｝是空间的•个基底

D.。用与用6云中的任何一•个都不能构成空间的一个基底

4.如图，在空间四边形。四。中，OA=a^OB=b^OC=c＞且。河=2初"BN=NC,则砺等于（）

c1-1r1-

B.-a+—b—c

332222

「2_11_八1一21_

C.~—a+—br+—cD.-a--br+—c

322232

5.己知£,以展是不共面的三个向量，则能构成空间的-♦个基氐的一组向量是（〉

A.3a，a—b»ci+2bB.2b»b-2a»b+2a

—•———

C.a,2b»b—cD.c，a+c，a-c

6.在三棱柱々C-4B£中，*4_L平面为C,44=,45=/C=5C=l,河是5G的中点，则加/=（）

7

A.

皂BC,包D，4

2-f2

7.在平行六面体488-4与GA中，尸是线段ZG上一点，且心=2GP,若与一布+＞万瓦+二衣，则

x+y+z=()

A.之7

B.1

4A7

8./EPMlftl体中,E为。4中点，#=（A,若为=丁丽=B,芯=最，赤=汇+泌+工，则log31号二I-

（）

A.-3B.-2C.2D.3

9.（多选）给出下列命题，其中正确命题有（）

A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一组基底

B.已知向量7",则Z］与任何向量都不能构成空间的一组基底

c.J,8,MN是空间四点，若瓦1育.丽不能构成空间的一组基底，那么点Z,B,M,N共面

D.已知向量｛敲?是空间的一组基底，若雨=［二，则｛标历也是空间的一组基底

10.（多选）在正方体-4方£01中，设45=瓦4/）=3.44］=5,则（）

——7E

A.(«+6)-c=0B.<a+b.b+c>=—

3

C.布•示=/+庐+己2_2a.3D.BD^b+c-a

11.（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（）.

A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B.若标＜0，则（瓦是钝角

C.设｛瓦5,@是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底

D.若对空间中任意一点O,有O尸++则P,42C四点共面

12.（多选）如图，在四面体。4BC中，点M在棱。4上，且满足OM=2M4,点N,G分别是线段5C,

MV的中点，则用向量刀，砺，无表示向量中正确的为（）

—1■111■----1—1----1-----

A.GN=一一OA+-OB+-OCB.OG=-OA——OB+-OC

344344

-----1—1—3—-----11—1—

C.GM=-OA^-OD+-OCD.GM=-OA