北师大版高一数学必修第一册 第7章：第七章概率（单元测试卷）（原卷版+解析）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第一部分（选择题共58分）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。）

I.在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子

中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）

A.摸出的是3个白球B.摸出的是3个黑球

C.摸出的球中至少有1个是黑球D.摸出的是2个白球、1个黑球

2.在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打

分依据.若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm,会获得“优秀飞行员”称号.现随机抽取了

1（X）名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表：

降落时距靶心距离（单位：

［。，4）[4,8)[&12)[12,16]

cm）

人数18213922

用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（）

A.0.18B.0.21C.0.39D.0.40

3.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A=｛至少I枚正面朝上｝,8=｛至多2枚正面朝上｝,事件C=（没有

硬币正面朝上｝,则下列正确的是（）

A.C=B.C=A\JB

C.CcAD.CjB

4.下列实验中，是占典概型的有（）

A.某人射击中靶或不中靶

B.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个

C.四名同学用抽签法选一人参加会议

D.从区间上任取一个实数，求取到1的概率

5.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次

命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定L2,3,4表不命中，5,6,7,8,9,。表不不命

中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：

137,960,197,925,271,815,952,683,829,436,730,257,据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为

()

A.-B.-C.—D.—

48128

6.东风5c液体洲际战略核导弹，打击范围覆盖全球.某火箭军部队在试验中用甲、乙两款东风导弹各一

枚独立射击3000公里处同•目标，甲款导弹命中目标的概率为0.9,乙款导弹命中目标的概率为0.8,甲

和乙是否命中相互没有影响，则目标被击中的概率为()

A.0.08B.0.18C.0.72D.0.98

7.从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为

()

I?45

A.-B.—C.-D.—

3399

8.如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分

别标以数字1到4,正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第•次抛掷正方

体骰子，记骰子朝上的面上的数字为小若。为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若。为偶数，则第二

次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为〃.根据以上规定，的概率为

()

二、选择题(本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)

9.先后投掷一枚质地均匀的硬币两次，记事件A=｛第一次投掷的结果是正面｝,8=｛第二次投掷的结果

是反面｝,｛两次投掷的结果不同)，则以下结论正确的是()

A.事件48是必然事件B.事件AC8包含于事件C

C.事件4与事件3互斥D.事件A与事件C相互独立

10.下列说法不正确的是（）

A.某种福利彩票的中奖概率为焉，那么买1000张这种彩票一定能中奖

B.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

C.某医院治疗•种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈，则第10个病人•定治愈

D.某市气象台预报〃明天本市降水概率为70%〃，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降

水，30%认为不降水

11.一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字力=画画画画画，其中A的各位数字中,

ay€{0,l}（i=l,2,3,4,5）,则（）

A.A的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点

B.若A的各位数字都是等可能地取值为0或1,则八=11100的概率大于人=（XX）11的概率

C.若A的各位数字都是等可能地取值为。或1,则A中各位数字之和是4的概率为《

12

D.若弓=1,4伏=2,3,4,5）出现。的概率为:，出现1的概率为则启动一次出现的数字A中恰有两

个。的概率为合Q

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.已知4B为互斥事件，旦P（A）=0.6,P（8）=0.2,则。（彳耳）=.

13.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就

是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1-9的一种

方法.例J如：3可表示为“”,26可表示为“-1〃，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则

用卜9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是.

_===HJ_J-X=

123456789

14.小白和小高进行乒乓球比赛，先得11分的人为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在

2

10凯0平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在比赛中，小白发球时小白得分的概率为

小高发球时小白得分的概率为了，各球的结果相互独立，在双方10团10平后，小白先发球，则双方战至

13011的概率为.

四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（13分）

已知某高中高•年级150人，高二年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取5人参加该活动.

⑴高一应抽取多少人？

（2）从这5人中随机抽取2人作为本次活动的联络人，求高一、高二年级各有1人的概率.

16.（15分）

黄种人群中各种血型的人所占的比例如下:

血型ABAB0

该血型的人所占比例

2829835

（%）

已知同种血型的人可以输血，。型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是

8型血，若张三因病需要输血，问：

⑴任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？

⑵任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？

17.（15分）

已知〃是一个三位正整数，若〃的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称〃为“三位递增

数”（如135,256,345等）

现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1,2,3,4,5,6

组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数〃是偶数，则甲参加数

学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.

（1）由1，2,3,4,5,6可组成多少“三位递增数〃？并一一列举出来.

（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.

18.（17分）

科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的。eepSeek.小明、小华两位同学报名参加某公司拟

开展的OeepSo或培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对

或都答错，第3道题均不需要回答）.己知小明答对每道题目的概率均为彳，小华答对每道题目的概率依

次为日且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立.记“小明只回答2道题就结束面试”为事件

JJ4

A,记“小华3道题都回答且通过面试”为事件

⑴求事件A发生的概率P（4）；

（2）求事件A和事件B同时发生的概率尸（4B）；

⑶求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率.

19.（17分）

某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、

杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所

示.

木频率/组距

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

0”5060708090也考诡得分

⑴由频率分布直方图，求出图中/的值，并估计考核得分的第60百分位数：

⑵为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分

配），从得分在［70,90）内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自［70,80）和

［8Q90）的概率：

⑶现已知直方图中考核得分在［7Q80）内的平均数为75,方差为6.25,在［80,90）内的平均数为85,方差为

0.5,求得分在［70,90）内的平均数和方差.

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第一部分（选择题共58分）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。）

1.在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子

中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）

A.摸出的是3个白球B.摸出的是3个黑球

C.摸出的球中至少有1个是黑球D.摸出的是2个3球、1个黑球

【答案】C

【分析】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答.

【详解】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意；

B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意：

C.摸出的球中至少有I个是黑球是必然事件，符合题意；

D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意.

故选：C.

2.在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打

分依据.若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm,会获得“优秀飞行员”称号.现随机抽取了

100名飞行员此次比赛降落时距靶心距禽（单位：cm）的数据如下表：

降落时距靶心距离（单位：

[0,4)[4,8)[&12)[12,16]

cm）

人数18213922

用频率估计概率，若随机抽取I大，则此人为“优秀飞行员”的概率为（）

A.0.18B.0.21C.0.39D.0.40

【答案】C

【分析】根据题意利用频率估计概率进行计算.

【详解】由题可知，样本容量为100人，获得“优秀飞行员”称号的人数为18+21=39人,

所以随机抽取1人，此人为“优秀飞行员”的概率P=W=0.39.

故选：c

3.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A=｛至少I枚正面朝上）,4=｛至多2枚正面朝上）,事件C=｛没有

硬币正面朝上｝,则下列正确的是（）

A.C=A"\BB.C=A"

C.CcAD.C匚B

【答案】D

【分析】合理设出事件，从而得到事件A,B,C三者的关系.

【详解】记事件。=｛1枚硬币正面朝上1,E=｛2枚硬币正面朝上｝,/=｛3枚硬币正面朝上），则

A=DEiF,B=ClDUE,

显然CwAriB,CHA|J8,C^B,C不含于A

故选：D

4.下列实验中，是古典概型的有（）

A.某人射击中靶或不中靶

B.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个

C.四名同学用抽签法选一人参加会议

D.从区间［1,10］上任取一个实数，求取到1的概率

【答案】C

【分析】根据古典概型的性质判崎各项所描述的试验是否满足要求即可.

【详解】由占典概型性质：基本事件的有限性及它们的发生是等可能的，

A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不满足；

B：基本事件坐标系中整数点是无限的，不满足；

C：基本事件是四名同学是有限的，且抽到的概率相等，满足；

D：基本事件是区间［1,10］上所有实数是无限的，不满足：

故选：C

5.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次

命中的概率：先由计算机产生。到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8.9,0表示不命

中；再以三个随机数为一-组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：

137,960,197,925,271,815,952,683,829,436,730,257,据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为

()

A.!B.-C.—D.—

48128

【答案】A

【分析】根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，根据古典概型的概率

公式计算可得.

【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：137,271,436共3组，

故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为菅3=1

故选：A.

6.东风5c液体洲际战略核导弹，打击范围覆盖全球.某火箭军部队在试验中用甲、乙两款东风导弹各一

枚独立射击3000公里处同一目标，甲款导弹命中目标的概率为0.9,乙款导弹命中目标的概率为0.8,甲

和乙是否命中相互没有影响，则目标被击中的概率为()

A.0.08B.0.18C.0.72D.0.98

【答案】D

［分析］根据相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率关系可得.

【详解】记甲款导弹命中目标为事件A,乙款导弹命中目标为事件8,目标被击中为事件C,

由题知，户(A)=0.9,P(8)=0.8,且A,8相互独立，

则29)二1一2(右)二1一2(可尸(万)三1一(1一0.9)(1_0.8)=0.98.

故选:D

7.从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为

()

I245

A.—B.-C.—D.—

3399

【答案】D

【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.

【详解】从123,4,5中随机选取三个不同的数有(123)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、以4,5)、

(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5),共10种情况，

其中三个数之积为偶数的有。23)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、

(3,4,5),共9种情况，

在上述的9种情况中，它们之和大于8的有(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2.4,5)、(3,4,5),共5种情况，

所以这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为今

故选:D

8.如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体股子六个面分别标以数字I到6、正四面体骰子四个面分

别标以数字1到4,正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第•次抛掷正方

体骰子，记骰子朝上的面上的数字为若。为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若。为偶数，则第二

次抛掷正八面体骰了•，记第二次抛掷的骰了与地面接触的面上的数字为〃.根据以上规定，〃的概率为

()

【答案】C

【分析】将目标事件合理拆分，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可.

【详解】由题意得，我们第一次抛掷正方体骰子，。为奇数的概率为P(A)=g,

此时第二次抛掷正四面体骰了，6=1的概率为P(B)=!，

4

而两次抛掷段子相互独立，故。为奇数时力=I的概率为gx；=g,

我们，第一次抛掷正方体骰子，。为偶数的概率为P(C)=g,

此时第二次抛掷正八面体骰子，力=1的概率为P(D)=g,

O

而两次抛掷骰子相互独立.，故〃为偶数时。=1的概率为2x：=J,

2816

而a为奇数时〃=1和〃为偶数时b=1互斥,

II3

由互斥事件加法公式得人=1的概率为：+白=77,故C止确.

81616

故选：C

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.先后投掷一枚质地均匀的硬币两次，记事件A=｛第一次投掷的结果是正面｝,8=｛第二次投掷的结果

是反而｝,｛两次投掷的结果不同）,则以下结论正确的是（）

A.事件AIJ8是必然事件B.事件AcB包含于事件C

C.事件A与事件S互斥D.事件A与事件。相互独立

【答案】BD

【分析】本题可根据必然事件、互斥事件、相互独立事件的定义，结合古典概型的概率公式逐一分析选项.

【详解】先后投掷一枚质地均匀的硬币两次，所有的基本事件为。=｛（正，正），（正，反），（反，正），

（反,反））.

事件A=｛（正正），（.正，反）｝,事件8=｛（正，反），（反，反）｝,事件。=｛（正，反），（反，正））.

A、8=｛（正，正），（正，反），（反，反））,不是必然事件，A错误，

AB=｛（正，反）｝,所以AcB是。的子集，即Ac8包含FC,B正确，

A'8=｛（正，反）｝工0,所以事件A与事件。不互斥，C错误，

A1C=｛（正，反）｝,P（AcC）=；,又p（A）P（C）=；x；=；,

即P（AcC）=P（A）P（C）,所以事件A与事件C相互独立，D正确.

故选：BD

10.下列说法不正确的是（）

A.某种福利彩票的中奖概率为焉，那么买1000张这种彩票一定能中奖

B.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

C.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈

D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%〃，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降

水，30%认为不降水

【答案】ACD

【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项.

【详解】对于A,中奖概率为*是指买一次彩票，可能中奖的概率为；7工，

1（X）01000

不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误：

对于B,试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确；

对于C,某医院治疗•种疾病的治愈率为10%,是指一位病人被治愈的概率为10%,

不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故c错误.

对于D,“明天本市降水概率为70%”指卜雨的可能性为0.7,故D错.

故选：ACD.

11.一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字力=画画画画画，其中A的各位数字中，

410,]}«=1,2,3,4,5),则()

A.A的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点

B.若A的各位数字都是等可能地取值为。或1,则A=11100的概率大于A=00011的概率

C.若A的各位数字都是等可能地取值为。或1,则4中各位数字之和是4的概率为《

D.若q=1,《(火=2,3,4,5)出现0的概率为I:，出现1的概率为2彳，则启动一次出现的数字A中恰有两

JJ

个0的概率为捺

【答案】ACD

【分析】由样本空间的定义判断A,根据占典概型概率计算公式，互斥事件的加法及独立事件的乘法公式

判断BCD.

【详解】对于A,由于A的各位数字中，都可能为。或1,则A的所有实验结果构成的样本空间中有

2$=32个样本点,正确;

对干B,若A的各位数字都是等可能地取值。或1,则P(A=1110())=(=P(A=00011),所以A=U100

的概率等于A=(XX)II的概率，错误；

对于C,若A的各位数字都是等可能地取值为。或1,如果A中各位数字之和是4,即5个数字中有4和

“1〃和1个“0〃，

可能情况有：11110.1110111.01111，共有5种等可能情况，其概率正确；

对『D,由了《=1,数字A中恰有2个0,即在四个数中恰好有2个0,2个1,

可能情况有：0011,1100,1001,1010,0101,0110,共有6种情况，

启动一次出现的数字A中恰有两个0的概率为6=6x(；Jx^|V=A,正确；

故选:ACD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.已知己始为互斥事件,且尸（,4）=0.6,为8）=0.2,则P（而）=.

【答案】0.2/1

【分析】利用互斥名件和的概率公式求得尸（48）,再利用对立事件的概率求解即得.

【详解】因为A4为互斥事件，则Q（AJ4）=Q（A）+P（4）=0.6+0.2=0.8,

所以P（AB）=P（A\JB）=1-0.8=0.2.

故答案为：0.2.

13.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就

是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1-9的一种

方法.例如：3可表示为“〃，26可表示为“-1〃，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则

用广9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是.

_===HJ_1X=

123456789

【答案】|

【分析】根据题意把5根算筹所能表示出的两位数列举出来，然后找出能被4整除的两位，再利用古典概

型的概率公式求解即可.

【详解】因为1根算筹只能表示1：2根算筹可能表示2和6；3根算筹可能表示3和7；

4根算筹可能表示4和8；5根算等可能表示5和9,

所以5根算筹可能表示的两位数有14,18,41,81,23,27,63,67,32,72,36,76,共12个，

其中能被4整除的有32,72,36,76,共4个，

所以用1-9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是l4=/1

故答案为：g

14.小白和小高进行乒乓球比赛，先得11分的人为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在

10B10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在比赛中，小白发球时小白得分的概率为：，

小高发球时小白得分的概率为:，各球的结果相互独立，在双方10团10平后，小白先发球，贝！双方战至

4

13011的概率为.

35

【答案】市

【分析】根据已知条件，将其分成两种情况，利用相G独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公

式计算即得.

【详解】在双方平后，小白先发球，则小白以13:11赢下此局包括两种情况：

⑴后四球胜方依次是小自、小高、小白、小白，则概2率3为2:11

343412

（2）后四球胜方依次是小高、小白、小白、小白，则概率为：乂1乂3、4=占，

在双方平后，小白先发球，则小高以13:11赢下此局包括两种情况：

⑴后四球胜方依次是小高、小白、小高、小高，则概率为g==

343448

（2）后四球胜方依次是小白、小高、小高、小高，则概率为2=313==1

34348

由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为*（='+；；,18=含

故答案为：?35

144

四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（13分）

已知某高中高一年级150人，高二年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取5人参加该活动.

（1）高一应抽取多少人？

（2）从这5人中随机抽取2人作为本次活动的联络人，求而、商二年级各有1人的概率.

【答案】（1）3

【分析】（1）利用分层抽样的抽样比相同，即可计算出每一层抽的样本数；

（2）利用列举法来表示样本空间和事件A的情形，即可求出概率.

【详解】（1）根据分层随机抽样方法，高一应抽取：5xF3（人）；（4分）

150I100

（2）设事件A：高一、高二年级各有一人,设高一的三个人为：%。2，。3，高二两个人为:4也.

样本空间有：Q=｛q/，《％，咽，4优,

,勺々，a2b2,岫,a3b2,hxh2},

所以总事件数为10种情况.件分）

满足事件A的有:｛她,（1也，％”，a2b2岫,。也｝,共6种情况,

所以P⑷哈=|.（13分）

16.（15分）

黄种人群中各种血型的人所占的比例如下:

血型ABAB0

该血型的人所占比例

2829835

（%）

已知同种血型的人可以输血，。型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是

3型血，若张三因病需要输血，问：

⑴任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？

⑵任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？

【答案】⑴0.64

（2）0.36

【分析】（1）（2）列出符合要求的事件，利用互斥事件的概率公式求解即可.

【详解】（1）对任意一人，其血型为4a八反0的事件分别记为A,3',C,ZX,由已知得

?（A'）=0.28,P（8）=0.29,P（C）=0.08,P（O'）=0.35,（4分）

因为及。型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件8"。'，

依据互斥事件概率的加法公式得到P（8UZy）=P（8'）+?（。'）=0.29+0.35=0.64.（8分）

（2）由于AAA型血不能输给3型血的人，

则“任找一人，其血不能输给张三"为事件ADC,

依据互斥事件概率的加法公式得到P（AUC）=P（A'）+P（C）=0.28+（）.（）8=（）.36.（15分）

17.（15分）

己知”是一个三位正整数，若〃的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称〃为“三位递增

数”（如135,256,345等）

现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1,2,3,4,5,6

组成的所有“三位递增数〃中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数〃是偶数，则甲参加数

学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.

（1）由1,2,3,4,5,6可组成多少“三位递增数〃？并一一列举出来.

（2）这种选取规则对中乙两名学生公平吗？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析.

【分析】（1）根据定义一一列举出即可；

（2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断.

【详解】解：（1）由题意知，所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数共有20个.

分别是123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,

346,356,456.（6分）

（2）不公平由（1）知，所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数"有20个，记“甲参加数学竞赛〃为

事件A,记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有:124,134,234,126,136,146,156,

236,246,256,346,356,456共13个.

由古典概型计算公式，得

丹用_事件4含有的基本事件的个数_13

，一试验所有基本事件的总数一与‘

B7

乂A与B对立，所以P（8）=I-PG4）=1-幼=与，（13分）

所以P（A）＞P（4）.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.（15分）

18.（17分）

科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的。eepSe次.小明、小华两位同学报名参加某公司拟

开展的OeepSe或培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对

或都答错，第3道题均不需要回答）.已知小明答对每道题目的暇率均为:，小华答对每道题目的概率依

4

次为22;且1小明、小华两人对每道题能否答对相互独立.记"小明只回答2道题就结束面试"为事件

332

A,记“小华3道题都回答且通过面试〃为事件B.

⑴求事件4发生的概率P（A）；

（2）求事件4和事件B同时发生的概率P（AB）：

（3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率.

5

2J\

/一

36

”

3rM一

96

【分析】（1）若事件A发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得

P（A）的值；

（2）若事件8发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出P（8）的值，分析可知，事件

A、8相互独立，由独立事件的概率公式可求得P（A3）的值：

（3）记小明没有通过面试为事件C,小华通过面试的事件记为D,求出这两个事件的概率，记小明、小

华两人恰有一人通过面试的事件记为£，则E=OC+5仁，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得

P⑹的值.

【详解】（1）若事件A发生，则小明前两题都答对或都答错，

所以P⑷=（5分）

（2）若事件8发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，

、9111919

根据题意则小华3道题都回答日.通过面试的概率为P⑻=会：吟+卜彳x

由题意可知，事件A4相互独立，

则P（48）=尸（4），（B）=：X：=2.（12分）

（3）记小明没有通过面试为事件C,

即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况，

则小明没有通过面试的概率为

可得小明通过面试的概率为p（c）=i-^=g.

2222

记小华通过面试的事件为O,由（2）得p（o）=£+:x：=9,

由题意可知，事件C。相互独立，

记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为E,

贝1」尸（上）=尸（。。）+尸（力C）=QX三+'X不=以.（17分）

19.（17分）

某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、

杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所

示.

.频率/组距

0.025