高考数学一轮复习（九）与球有关的切、接、截面问题

微专题（九）与球有关的切、接、截面问题

e重点解读）研究与球有关的切、接、截面问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又

要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，

解决此类问题的关键是确定球心.常以选择题、填空题的形式出现，考查球的体积、表面积，

以及截面形状、面积等.

类型一外接球（多角度探究）

角度1外接球的长方体模型

例工1（1）（2026•山东青岛模拟）在三棱锥尸一A8C中，PA=PB=PC=^>,PA,PB,PC两两垂

直，则三棱锥尸一ABC外接球的体积为（）

3月9丸

A.-

15n

C.^—D.9n

答案：B

解析：由于%=P8=PC,PA,PB,PC两两垂直，将核三棱锥放入正方体中，如图，故该

7加2+PB2+PC?小

三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，故该三棱锥外接球的半径R=~=2

344/3\39n

所以外接球的体积V=-JT/?3=-JIX（5）=亍.故选B.

4JO/L

（2）如图，在四面体P—4BC中，办_1_平面A8C,AC_LC&PA=AC=2BC=2,则四面体。

一44C外接球的表面积为（）

A.3nB.9n

C.36nD.48n

答案：B

解析：将四面体P—ABC补形成长方体，长方体的长、宽、高分别为2,1»2,四面体P—

44c的外接球即为长方体的外接球，而长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外

接球的半径为R,故21=^22+12+22=3,所以四面体户一A8C外接球的表面积为S=4nR2

=9n.故选B.

(3)已知三棱锥A-BC/),三组对棱两两相等，且AB=C/)=1,AD=BC=5,若三棱锥A-

9T.

8C。外接球的表面积为则AC=.

答案：小

解析：根据题意可将三棱推A-BC。放置于长方体中，如图，则长方体的外接球就是三棱锥

4—8CO的外接球，设AC=3Q=x,•.•48=CQ=1,AD=BC=®且三组对棱两两相等，

，长方体的体对角线长为*可得外接球的直径2R=

R、/2(4+7)9Ji

2R--丁一.•・•三棱锥A—8CQ外接球的表面积为二-,.*.4JTR2

=等，解得R=手，即也竽史-=乎，解得.1=小(负值舍去)，因此4C=BO=小.

可以补成长方体的三大模型

(1)(塔角模型)三棱锥的三条侧棱两两垂直，如图1.

(2)(鳖嚅模型)三棱锥的四个面均是直角三角形，如图2.

(3)(对棱相等模型)三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图3.

sI由2图3

,对点训练1.（2026.福建漳州模拟）在三棱锥A-4CO中，侧棱48,AC,A。两两垂直，若

△ABC,△ASAADB的面积分别为坐,坐,坐，则三棱锥AiC。外接球的体积为（）

A.加兀B.2A/6n

C.34”D.4加兀

答案：A

ab=y[2，Ca=yj2，

解析：设AB,AC,AD的长分别为a,b,c,由题意得＜松=小，解得＜b=\，因为三条

、ca=#♦IC=A/§»

侧棱两两垂直，所以以小4c为棱长的长方体的体对角线长就是该三棱锥外接球的直径，

所以〃=3[2+1+3=乎,故所求外接球的体积为，冗X（乎）=加几.故选A.

2.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=5,PB=AC=何，PC=AB=y[34,则三棱锥P-ABC

外接球的表面积是（）

A.50nB.100五

C.1501TD.200n

答案：A

解析：因为PA=BC=5,P4=AC=何，PC=AB=p,所以可以将三棱锥P-ABC次置

/+〃=41，

〃+，=25，整

{〃+（_2=34，

理得〃2+/+。2=50,则该三棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，所以有a2+b2

2s2s

+/=50=（2/?）2=/?2=亏•，所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=4JTR2=4XJTXy=50

Ji.故选A.

角度2外接球的圆柱模型

例2（1）（2026.安徽毫州模拟）已知圆柱的底面直径为2,E的两个底面的圆周都在同•个体积

为空的球面上，则该圆柱的侧面积为（）

A.8JiB.6n

C.5JiD.4n

答案：A

解析：球的体积为&"/?3=驾三，可得其半径欠=小，圆柱的底面直径为2,半径为r=1,

JJ

在轴截面中，可知圆柱的高为h=2\）R2T=4,所以该圆柱的侧面积为2”,力=8冗.故选A.

（2）（2026•云南昆明模拟）已知正三棱柱ABC-AiBiCi的高为4,正三棱锥P-ABC的高为2,

若点P,4,B,C,Ai，Bi，G均在同一个球面上，则AABC的边长为（）

A.2B.2小

C.6D.6^3

答案：C

解析：正三棱柱ABC-ABG的高为4,正三棱锥P一45c的高为2,且点P,A,B,C,

4,Bi，G均在同一个球面上，则点。在三棱柱的外部，如图所示，设等边三角形ABC的

边长为m取正三棱柱4BC-AIBCI上、下底面的中心分别为01，Oi，再取0。2的中点O，

则。为外接球的球心，连接尸。|,。。2，则P，Oi，。2三点在一条线上，且P0i=2,0Q

=4,设外接球的半径为R,则R=P01+0|0=4,在等边三角形A8C中，由01为中心，可

得401=监，在直角三角形人0。中，可得人O^AOf+OiO2,即42=（坐，+22,解得a

=6,即△4BC的边长为6.故选C.

如图I,圆柱的底面半径r,高和球的半径/?满足/+e）=科除了标准的

圆柱模型外，还有一些模型也可转化为圆柱模型处理.

(1)线面垂直的三棱锥：如图2,S4J•平面A8C,若△ABC是直角三角形，则按长方体模型处

理最方便，若不是直角三角形，则可先将三棱维S—ABC放入圆柱，按圆柱模型处理.

(2)直三楂柱：如图3所示的直三棱柱也可按圆柱模型处理，本质上和图2的模型相同.

图1图2图3

对点训练3.已知直三楂柱44C—4SG的6个顶点都在球0的表面上，若48=AC=1,

2JT

A4=4,ZBAC=—则球。的表面积为()

A.16/B.20n

C.28nD.32n

答案：B

?JT

解析：如图所示，在aA4c中，AB=AC=\,且N84C=Y，由余弦定理，得4c2=凡"十

AC2-2ABACCOSZBAC=1+1-2X1X1XCOJT^=3,所以BC=小,设上底面三角形ASG

外接圆的圆心为。2，下底面三角形ABC外接圆的圆心为Oi，半径为小由正弦定理，得2〃

BC

=.//=2,即。N=l,再设直三棱柱ABC—AICi外接球的球心为。，半径为R,在

的表面积为S=4JiR2=4JIX（小）2=20n.故选B.

4.(2026・四川眉山模拟)已知在三棱锥S-A8C中，SA1平面ABC,S4=2,AB=2小，BC

=小，N84C=30°,则三棱锥S-A8C外接球的表面积为.

答案：16元

解析：如图1所示，设圆柱的底面半径为「，母线长为团圆柱外接球的半径为R,取圆柱的

轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点O到圆柱底面圆上每个点的距离都等于R,

则。为圆柱外接球的球心，由勾股定理可得(2r)2+/?2=(2RR：S4J_平面ABC,设△ABC的

外接圆为圆Oi，，可将三棱锥S—ABC内接于圆柱。1O2，如图2所示，设△ABC外接圆的

直径为2r,SA=h=2,又BC=事,NB4C=30°,由正弦定理可得2r=.““=2小,

YsinZoACv

该三棱锥外接球的直径为2R,则2R=y[(222+的=4.因此三棱锥S-4BC外接球的表面积

为4nR2=五x(2/?)2=16I.

角度3外接球的圆锥模型

⑴两个圆镣的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为与

例3,两个

圆锥的高之比为1：3,则这两个圆锥的体积之和为()

A.3nB.4n

C.9nD.12n

答案：B

解析：如图所示，设两个图锥的底面圆圆心为点。，圆轻4。和圆锥8。的高之比为3：1,

439n

即。，设球的半径为则可得所以

4Q=38R,JJR=2,A8=AO+3O=48O=4,

所以BO=1,AO=3,因为CO_LAB,则NCAO+NACO=N8CO+NACO=9(r，所以/CAO

=/BCD,又因为NAQC=N8。。，所以△ACDS/\CB。，所以缥=累，所以CD=7ADBD

=小，因此这两个圆锥的体积之和为:n・CQ2・(AQ+6Q)=W~X3X4=4下.故选B.

(2)(2026•安徽阜阳模拟)若三棱锥P-ABC的四个顶点都在表面积为676n的球的表面上，△

A8C所在的小圆面积为25八，则该三棱锥以△ABC为底面的高的最大值为()

A.25B.16

C.49D.1

答案：A

解析：如图所示，外接球的球心为0,点P在3c所在的小圆面上的投影为。当尸.Q,

。三点共线时，高最大，设球的半径为R,由表面积4JTR2=676JT,解得R=13,△48C所

在小圆的面积为25n,设小圆的半径为八则口/=25兀，解得r=5,所以AQ=5,OA=OP

=13,在△OA0中，。0=赤产域匚予=12,则高的最大值为12+13=25.故选

A.

如图1和图2,圆锥的高PO\=h,底面半径AO]=r,球的半径为R,则OO\

=\h-R\,在△AOOi中，有m一RF+/=R2,故圆锥的外接球相关计算抓住△A。。]即可.除

了标准的圆锥模型，对于恻棱相等的棱锥，也可放到圆钱中考虑，如图3的三棱锥P-4BC.

，对点训练5.（2026.江苏南京模拟）已知高S0i=2,底面半径OM=4的圆锥内接于球O,

则经过S和。/中点的平面截球。所得截面面积的最小值为（）

D.5n

答案：A

解析：如图，设球。的半径为R,线段。A的中点为E,因为40彳+。。?=4。2,所以42+（/?

-2）2=R2,解得R=5,设经过S和0M中点E的平面截球O所得截面圆的圆心为。2,半径

为「，球心O到截面的距离OQ=d，则产=配一"，要使截面面积最小，则r要最小，即d

要最大.当"为点。到"的距离时最大.此时.又SE=72?+22=2®所

以d=S噬。=1^=所以扁n=5?一(左)=多，故截面面积的最小值为n舄而=^^

故选A.

6.三棱锥P—A8C中，PA=PB=PC=2y[3,AB=2AC=6,ZBAC=y,则三棱锥P—ABC

外接球的表面积为.

答案：48n

解析：因为AB=2AC=6,ZBAC=^-,所以由余弦定理可得BC1=AB1^rAC1-2ABACcos

N8AC=36+9—2X6X3X；=27,解得8c=3小，所以BC2+AC2=4",所以△ABC是以

AB为斜边的直角三角形，因为%=PB=PC=2小，所以点P在平面4BC内的射影是aABC

的外心，即斜边AB的中点，且平面布B_L平面A8C,于是△心8的外心即为三棱锥P—A8C

外接球的球心，因此△见B外接圆的半径等于三棱锥P—A8C外接球的半径.因为以=PB

PA2-\-PB2-AB212+12-36

=2小,48=6,所以cos/4P8=J，于是sin/AP8=

244・PB2X122，

根据正弦定理知△必B外接圆的半径R满足2R=高瑞西=击=45，所以三棱锥P-ABC

2

外接球的半径为R=2小，因此三棱锥。一A3C外接球的表面积为4n/?2=48兀.

角度4外接球的台体模型

例4(I)在圆台0|。2中，圆。2的半径是圆01半径的2倍，且。2恰为该圆台外接球的球心,

则圆台的侧面积与外接球的表面积之比为()

A.3：4B.1：2

C.3：8D.3：10

答案：C

解析:令外接球的半径为2R,依题意，得。3A=2R,O28=2R,OI8=R.如图，过点8作8cLO?A,

垂足为C,贝102c=。山=兄所以AC=O2C=R，又BC=OIO?=7(2R)2一炉=小七所

以AB-7R?+(4R)2—2穴,所以圆台的侧面积Si-只(氏+2我＞2/?—6人代，外接球的表面

积S?=4ITX（2R）2=16JIR2,所以圆台的侧面积与外接球的表面积之比为Si：52=（6n

心：（16式商=3：8.

⑵已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3小和4小，其顶点都在同一球面上，则

该球的表面积为（）

A.100nB.128n

C.144nD.192n

答案：A

解析：设正三棱台上、下底面外接圆的半径分别为，i，必所以2,尸，2,2=，

sIin很60sin织60

即门=3,r2=4.设球心到上、下底面的距离分别为4,d2,球的半径为R（K24）,所以力=病3,

出=邓2—16,由|力一心|=1或4+5=1，即|4心一9一「戒一16|=1或7R2-9+7R2-I6=I,

解得片=25,符合题意，所以球的表面积为S=4JTR2=100JT.故选A.

如图1,圆台的上、下底面半径分别为内，々，高。|。2=〃，球。的半径为R，

则它们满足方程H心一"+、心一）=〃；若为图2,则满足的方程是一》一、火2一下=力除

了这两种标准的圆台模型外，棱台模型也可转化为圆台模型处理，如图3,这种情况只需求

出棱台的上、下底面外接圆的半径，即可放入圆台分析.

:对点训练7.（多选）某正四楼台的上、下底面边长分别为3啦和46，若该正四棱台所有的

顶点均在表面积为100”的球面上，则该正四棱台的体积可能为()

、70「74

ATB-T

-515-518

C--D.亍

答案：BD

解析：设外接球的球心为。，半径为R,则4/尺2=100兀，解得R=5.设上底面正方形ABCO

的中心为M,下底面正方形EFG”的中心为N.如图1,若球心在正四棱台的内部，连接OA,

OE,AM,EN,OM,ON,则MN为正四棱台的高，OA=OE=5,可得AM=^AC=^

X、(3g)2+(34)2=3,同理，NE=4.由勾股定理，得OM=7OA?-AM2=752—32=

4,ON^OE^-NE2=^52-42=3,可得正四棱台的高力=MN=4+3=7,正四棱台的体积V

1___________,1Q

=§X(18+32+W8X32)X7=j2.如图2,若球心在正四棱台的外部，可得正四棱台的高力

=OM—ON=4—3=1,所以正四棱台的体积V=,X(18+32+N18X32)Xl=冬故选BD.

图1S2

类型二内(棱)切球

例5(1)(2026・湖北腾云联盟联考)如图,圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小

球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体

积为.

答案：168”

解析：作几何体的轴截面A8CQ,如图所示，设M,N分别是大球和小球的球心，G,H分

别是球M和球N与圆台侧面的切点，七’是球M与圆台F底面的切点，“是球N与圆台上底

面的切点，延长A。和BC,记交点为Q,连接MG,NH,EQ,显然M,N,尸均在直线EQ

上，则MG±AQ,NH.LAQ,QELAB,QFVCD,且GM=EM=4,NH=NF=2,所以EF

=12.因为AQNHsAQMG,所以桀=黑=*因为MN=6,所以QN=6,所以。尸=4,

QE=16.记N4QE=a,在RlZXQNH中，sin。=燃=；,所以tan。=乎，所以在RiZX。/7。

与RlAQEA中，tan。=器=靛=乎，所以。口=啦，4E=4，L所以该容器的体积V=^JI

(AE2+AEDF+DF2)EF=168n.

(2)已知正三棱锥的高为1,底面边长为2小，其内有一个球与四个面都相切，则该正三棱锥

内切球的半径为.

答案：72-1

解析：如图，过点尸作PO_L平面ABC于点。，连接4D并延长交BC于点E,连接P£因为

四面体P—A8C是正三棱推，所以。为△ABC的中心，AE是8C边上的高和中线.因为AB

=BC=2y/3,所以S.A8c=3小，DE=\,在RtZ\PQE中，PD2+DE2=PE2,因为PD=1,所

以产£=也.所以该三棱锥的表面积S=3xjx2，5x也+3小=3加+3小，三棱锥的体积V

=<X3小><1=小.设内切球的半径为以球心。为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三

棱锥分割为四个小三棱锥，由;4/=小，得r=312小=取一1.

(3)(2025・新课标H卷，14)一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽

略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

答案：2.5

解析：设两铁球的球心分别为A,B,铁球的半径为小且Z4,如图为两铁球球心所在的圆

柱的轴截面.由圆柱与球的性质得A82=(2=)2=(8—2)+(9—24,即4r-68r+145=(2r-

5)(2r-29)=0,因为r<4,所以r=2.5.

(4)在正方体43co—ASG。］中，E,尸分别为CQ,A出的中点，则以EF为直径的球面与

正方体每条棱的交点总数为.

答案：12

解析：如图，不妨设正方体的棱长为2,EF的中点为0,取AB,BBi的中点G,侧面

BBCC的中心为N,连接尸G,EG,OM,ON,MN,由题意可知，。为球心，在正方体中，

EF=7FG?+EG?：、??+¥=2啦,即R=®则球心O到BB\的距离为OM=的西行0=

^12+12=<2,所以球。与棱相切，球面与棱只有1个交点，同理，根据正方体的

对称性知，球面与其余各棱也只有1个交点，所以以互为直径的球面与正方体每条梭的交

点总数为12.

1名师点拨“切”的问题常用的处理方法

(1)找准切点，通过作过球心的盛面来解决.

(2)通过体积分割法来求内切球的半径.

♦对点训练8.在正四棱台ABCO-486n中，4B=4,A山尸2,41严巾，若球。与上

底面以及棱45,BC,CD,04均相切，则球。的表面积为()

A.9nB.16n

C.25又D.36n

答案：C

解析：如图，设棱台上、下底面的中心为N,M,连接DB，DB,则。出|=26，DB=46

所以棱台的高MN=NBIB「（MB-NBJ2=q（小）2一口巾一市）2=2设球o的半径

为R,根据正四棱台的结构特征可知，球0与上底面AiBiCiDi相切于N,与棱AB,BC,CD,

D4均相切于各边中点处，设BC的中点为E,连接OE,OM,ME,则0炉=。加2+”炉，即

/?2=|/?-1|2+22,解得R=|,所以球。的表面积为4JI/?2=25JT.

9.已知经过圆锥5。的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两雷分，

若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（）

A.1：8B.1：9

C.1：26D.1：27

答案：C

解析：如图，作出圆锥SO的轴截面SA4,设上、下两部分几何体的内切球的球心分别为£

F,半径分别为广，R,即0"=R7=R,EG=r,根据题意可知△SA5为正三角形，易钮SE

=2r,圆锥SO的底面半径。8=小心ASO=2r+r+/?+/?=3r+2/?,又50=小。8,・二3r

+2R=3R,，R=3r,•••上部分圆锥的底面半径为小心高为3八又圆锥SO的底面半径为

。/3=小/?=3小/•,高为SO=3r+2R=9r,.•.上部分圆锥的体积与圆锥SO的体积之比为（；）

==，・•・上、下两部分几何体的体积之比是1：26.

10.一个正四棱柱底面边长为2,高为小，上底面对角线的交点与下底面四个顶点构成几何

体的内切球的表面积为.

_.4Ji

答案：—

解析：由题意可知，该几何体为正四棱雄，如图，。为其内切球的球心，PE是棱锥的高，F

是CD的中点，连接PF,FE,G是球与侧面尸CO的切点，可知G在P"上，连接OG,则

OG_LP凡设内切球的半径为则OE=OG=r,EF=1,PE=y[3,PF=2,由△PGOs/\p£凡

得第=隹,即f=写二解得『当，所以内切球的表面积为,=4nX(91号.

类型三球的截面、截线问题

6(1)已知。4为球。的半径，M为线段。4上的点，且AM=2M0,过点M且垂直于OA

的平面截球面得到圆M,若圆M的面积为8",则04=()

A.2^2B.3

C.2小D.4

答案：B

解析：如图所示，由题意，得丸8M2=8”，则设球的半径为R,则OB

=K,所以川=酎2+(20)2,所以"4="=3.故选B.

(2)已知直四棱柱ABCO一4BIGDI的棱长均为2,NBAD=60°.以。为球心，小为半径的

球面与侧面BCCB的交线长为.

答案:中

解析：如图所示，取SG的中点为E,BBi的中点、为F,CG的中点为G,连接"E,EF,

EG,。|囱，因为/84。=60。，直四棱柱A8CD—481Gz的棱长均为2,所以△。|80为

等边三角形，所以DiE=小,。/_L3iG.又四棱柱为直四棱柱，所以

_L平面所以因为48m8G=丛，所以AE_L侧面〃CCA设。为侧面

BGCB与球面的交线上的点，连接QiP,EP,则。IEIEP.因为球的半径为小，DiE=小,

所以EP=