浙江省杭州市第一中学高一数学第4单元数列练习题及答案

浙江省杭州市第一中学高一数学第4单元数列练习题及答案第1页共1页浙江省杭州市第一中学高一数学第4单元数列练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.某医院统计了2025年1月至6月每月的病床使用率，数据如下表所示。若要绘制反映病床使用率变化趋势的统计图，最适合选择哪种图形？A.饼图B.折线图C.柱状图D.散点图参考答案：B2.医生需要将某种药物原液（浓度为10%）稀释成浓度为2%的溶液，需要加入多少毫升的水才能配制出500毫升的2%溶液？A.4000毫升B.4500毫升C.5000毫升D.5500毫升参考答案：B3.某种疾病的潜伏期服从指数分布，其平均潜伏期为3天。现有一名疑似患者，求其潜伏期超过5天的概率是多少？A.e^(-5/3)B.1-e^(-5/3)C.e^(-3/5)D.1-e^(-3/5)参考答案：B4.某地区空气质量指数（AQI）的日均值数据如下：75,82,88,91,85,79,80。求该地区这7天的平均空气质量指数。A.81.7B.82.1C.83.4D.84.2参考答案：A5.某医院急诊科每小时到达的病人数量服从泊松分布，平均每小时到达3名病人。求1小时内恰好到达5名病人的概率是多少？A.3^5/e^3B.5^3/e^3C.3^5/e^5D.5^3/e^5参考答案：A6.某种传染病的传播过程可以用SIR模型描述，其中S代表易感人群，I代表感染人群，R代表康复人群。若初始时刻易感人群比例为0.7，感染人群比例为0.2，康复人群比例为0.1，且传播率为0.3，恢复率为0.1，求经过一个传染周期后易感人群的比例是多少？A.0.51B.0.53C.0.55D.0.57参考答案：C7.某医院需要采购一批体温计，现有两种品牌可供选择。品牌A的体温计平均测量误差为±0.1℃，标准差为0.05℃；品牌B的体温计平均测量误差为±0.2℃，标准差为0.1℃。若要求体温计的测量误差尽可能小，应选择哪个品牌？A.品牌AB.品牌BC.两种品牌效果相同D.无法确定参考答案：A8.某种药物的半衰期为6小时，现给患者服用了该药物100mg，求6小时后患者体内剩余的药物量是多少？A.50mgB.60mgC.70mgD.80mg参考答案：A9.某医院需要将一批浓度为95%的酒精溶液稀释成浓度为75%的消毒液，需要加入多少体积的水才能将500毫升的95%酒精溶液稀释成75%的消毒液？A.200毫升B.250毫升C.300毫升D.350毫升参考答案：C10.某种疾病的治愈率服从二项分布，每次治疗成功的概率为0.8。现对5名患者进行治疗，求至少有3名患者治愈的概率是多少？A.0.8^3B.C(5,3)×0.8^3×0.2^2C.1-0.2^5D.C(5,3)×0.2^3×0.8^2参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在数列{a_n}中，若a₁=2，a_n+1=a_n+3，则a₅=______。参考答案：112.已知数列{b_n}是等差数列，b₁=5，b₄=14，则该数列的公差d=______。参考答案：33.若数列{c_n}的前n项和S_n=n²+n，则c₃=______。参考答案：74.在数列{d_n}中，若d₁=1，d_n+1=2d_n，则d₄=______。参考答案：85.已知数列{e_n}是等比数列，e₁=3，e₄=81，则该数列的公比q=______。参考答案：36.若数列{f_n}的前n项和S_n=2n²-n，则f₅=______。参考答案：457.在数列{g_n}中，若g₁=4，g_n+1=g_n-2，则g₆=______。参考答案：08.已知数列{h_n}是等差数列，h₂=7，h₅=16，则h₁+h₈=______。参考答案：239.若数列{i_n}的前n项和S_n=3n²+2n，则i₄=______。参考答案：1510.在数列{j_n}中，若j₁=1，j_n+1=j_n+4，则j₁+j₂+j₃+j₄=______。参考答案：20三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.在数列{a_n}中，若a₁=2，a_n+1=a_n+1，则该数列是等差数列。参考答案：√2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n²+3n，则b₃=9。参考答案：×3.数列{c_n}的通项公式为c_n=2^n，则该数列是等比数列。参考答案：√4.在数列{d_n}中，若d₁=1，d_n+1=d_n+2n，则d₅=25。参考答案：√5.若数列{e_n}是等差数列，且e₃=7，e₅=11，则该数列的公差为2。参考答案：√6.数列{f_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则f₅=15。参考答案：√7.在数列{g_n}中，若g₁=3，g_n+1=g_n/2，则该数列是等比数列。参考答案：√8.若数列{h_n}的前n项和S_n=2^n-1，则h₄=8。参考答案：×9.数列{a_n}的通项公式为a_n=n²，则该数列是等差数列。参考答案：×10.在数列{b_n}中，若b₁=5，b_n+1=b_n-3，则b₅=-7。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.在数列{a_n}中，若a₁=1，a_n+1=a_n+2，求a₅的值。参考答案：92.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3n²-2n，求b₃的值。参考答案：73.在数列{c_n}中，若c₁=2，c_n+1=c_n×3，求c₄的值。参考答案：184.若数列{d_n}的前n项和S_n=n(n+4)，求d₂的值。参考答案：95.在数列{e_n}中，若e₁=5，e_n+1=e_n-1，求e₄的值。参考答案：36.已知数列{f_n}的前n项和S_n=2n²+n，求f₅的值。参考答案：177.在数列{g_n}中，若g₁=3，g_n+1=g_n+4，求g₆的值。参考答案：218.若数列{h_n}的前n项和S_n=n²+2n，求h₃的值。参考答案：7五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某城市公交公司为提高服务质量，计划在一条长20公里的线路上增加若干个公交站点。已知每增加一个站点，该站点到起点的距离依次构成一个等差数列，且第一个站点距离起点2公里，最后一个站点距离终点2公里。如果这条线路上共有n个站点，且站点之间的平均距离不小于1公里也不大于2公里，求n的最大值。参考答案：62.某工厂生产一种零件，每天生产的零件数构成一个等差数列。已知第一天生产了50个零件，第三天生产了70个零件。如果该工厂计划在第五天生产100个零件，问这个计划是否可行？请说明理由。参考答案：不可行3.某城市自来水公司为鼓励节约用水，制定了阶梯水价政策。已知某用户上个月用水量为a立方米，水费为b元。根据政策，如果用水量超过一定标准，超出部分将按更高价格收费。已知该用户上个月的用水量比标准用水量多10立方米，且水费比标准水费多5元。如果该用户这个月用水量为标准用水量的两倍，那么这个月的水费是多少元？参考答案：b+5元4.某农场计划在一片长方形土地上种植两种作物。已知这片土地的长为m米，宽为n米。农场计划将这片土地分成若干个相同的小块，每个小块的形状为正方形。如果每个小块的面积不小于1平方米也不大于4平方米，问这片土地最多可以分成多少个小块？参考答案：45.某商场进行促销活动，规定购买满200元可以打折。已知某顾客购买了若干件商品，总金额为p元。如果该顾客购买了q件商品，且每件商品的价格都不同，问该顾客最多可以享受几折优惠？参考答案：56.某学校组织学生进行植树活动，计划在一条长l米的道路两侧种植树木。已知每侧种植的树木数量构成一个等差数列，且第一棵树距离道路起点1米，最后一棵树距离道路终点1米。如果每侧种植的树木之间的平均距离不小于0.5米也不大于1米，问每侧最多可以种植多少棵树？参考答案：107.某城市地铁线路全长为d公里，计划每隔t分钟发一班车。已知某乘客从起点站出发，到达终点站需要的时间为h小时。如果该乘客在起点站等车的时间不超过5分钟，问该乘客最多可以乘坐多少趟地铁？参考答案：68.某公司计划投资建设一条生产线，预计总投资为c元。已知该生产线建成后的年收益构成一个等差数列，且第一年收益为a元，第二年收益为b元。如果该公司的投资回报率不低于10%，问该生产线至少需要多少年才能收回投资？参考答案：5标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查折线图的应用。折线图适合反映数据的变化趋势，而病床使用率是一个随时间变化的连续变量，因此最适合选择折线图。饼图适合表示各部分占总体的比例，柱状图适合比较不同类别的数据，散点图适合表示两个变量之间的关系。故正确答案为B。2.参考答案：B解析：本题考查溶液稀释的计算。设需要加入x毫升的水，则稀释后的溶液体积为500+x毫升，其中酒精的体积不变，仍为500×10%=50毫升。根据稀释前后酒精的浓度关系，有50/(500+x)=2%，解得x=4500毫升。故正确答案为B。3.参考答案：B解析：本题考查指数分布的概率计算。设潜伏期为X，则X服从参数为1/3的指数分布，即f(x)=1/3e^(-x/3)。潜伏期超过5天的概率为P(X5)=∫_5^+∞(1/3)e^(-x/3)dx=e^(-5/3)。故正确答案为B。4.参考答案：A解析：本题考查算术平均数的计算。该地区这7天的平均空气质量指数为(75+82+88+91+85+79+80)/7=81.7。故正确答案为A。5.参考答案：A解析：本题考查泊松分布的概率计算。设1小时内到达的病人数量为X，则X服从参数为3的泊松分布，即P(X=k)=e^(-3)×3^k/k!。1小时内恰好到达5名病人的概率为P(X=5)=e^(-3)×3^5/5!=3^5/e^3。故正确答案为A。6.参考答案：C解析：本题考查SIR模型的计算。设初始时刻易感人群比例为S0=0.7，感染人群比例为I0=0.2，康复人群比例为R0=0.1。传播率为β=0.3，恢复率为γ=0.1。经过一个传染周期后，易感人群的比例为S1=S0-βS0I0=0.7-0.3×0.7×0.2=0.55。故正确答案为C。7.参考答案：A解析：本题考查标准差的比较。标准差越小，数据的波动性越小，测量误差越小。品牌A的体温计标准差为0.05℃，品牌B的体温计标准差为0.1℃，因此品牌A的体温计测量误差更小。故正确答案为A。8.参考答案：A解析：本题考查半衰期的计算。设初始药物量为A0=100mg，半衰期为T=6小时，经过n个半衰期后剩余的药物量为A=A0×(1/2)^n。经过6小时即一个半衰期后，剩余的药物量为A=100×(1/2)^1=50mg。故正确答案为B。9.参考答案：C解析：本题考查溶液稀释的计算。设需要加入x毫升的水，则稀释后的溶液体积为500+x毫升，其中酒精的体积不变，仍为500×95%=475毫升。根据稀释前后酒精的浓度关系，有475/(500+x)=75%，解得x=300毫升。故正确答案为C。10.参考答案：B解析：本题考查二项分布的概率计算。设5名患者中治愈的患者数量为X，则X服从参数为n=5，p=0.8的二项分布，即P(X=k)=C(5,k)×0.8^k×0.2^(5-k)。至少有3名患者治愈的概率为P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C(5,3)×0.8^3×0.2^2+C(5,4)×0.8^4×0.2^1+C(5,5)×0.8^5×0.2^0≈0.8^3。故正确答案为B。二、填空题1.参考答案：11解析：本题考查等差数列的通项公式。由a_n+1=a_n+3可知公差d=3。根据等差数列通项公式a_n=a₁+(n-1)d，代入a₁=2，d=3，n=5，得a₅=2+(5-1)×3=2+12=14。但题干要求a₅，需重新核对题意，发现应为a₅=2+(5-1)×3=2+12=14，但参考答案给11，需修正。正确答案应为14。2.参考答案：3解析：本题考查等差数列的通项公式。由b₁=5，b₄=14，根据等差数列通项公式b_n=b₁+(n-1)d，代入b₁=5，b₄=14，n=4，得14=5+(4-1)d，解得d=3。3.参考答案：7解析：本题考查数列的通项公式。由S_n=n²+n，根据数列通项公式c_n=S_n-S_{n-1}，代入S_n=n²+n，得c_n=n²+n-(n-1)²-(n-1)=n²+n-(n²-2n+1)-n+1=2n。代入n=3，得c₃=2×3=6。但参考答案给7，需重新核对题意，发现应为c₃=2×3=6，但参考答案给7，需修正。正确答案应为6。4.参考答案：8解析：本题考查等比数列的通项公式。由d₁=1，d_n+1=2d_n，可知公比q=2。根据等比数列通项公式d_n=d₁q^{n-1}，代入d₁=1，q=2，n=4，得d₄=1×2^{4-1}=8。5.参考答案：3解析：本题考查等比数列的通项公式。由e₁=3，e₄=81，根据等比数列通项公式e_n=e₁q^{n-1}，代入e₁=3，e₄=81，n=4，得81=3q^{4-1}，解得q=3。6.参考答案：45解析：本题考查数列的通项公式。由S_n=2n²-n，根据数列通项公式c_n=S_n-S_{n-1}，代入S_n=2n²-n，得c_n=2n²-n-[2(n-1)²-(n-1)]=2n²-n-(2n²-4n+2-n+1)=4n-3。代入n=5，得c₅=4×5-3=20-3=17。但参考答案给45，需重新核对题意，发现应为c₅=4×5-3=20-3=17，但参考答案给45，需修正。正确答案应为17。7.参考答案：0解析：本题考查等差数列的通项公式。由g₁=4，g_n+1=g_n-2，可知公差d=-2。根据等差数列通项公式g_n=g₁+(n-1)d，代入g₁=4，d=-2，n=6，得g₆=4+(6-1)×(-2)=4-10=-6。但参考答案给0，需重新核对题意，发现应为g₆=4+(6-1)×(-2)=4-10=-6，但参考答案给0，需修正。正确答案应为-6。8.参考答案：23解析：本题考查等差数列的性质。由h₂=7，h₅=16，根据等差数列的性质h_{m+n}=h_m+h_n+(m+n-2)d，代入m=1，n=7，得h₁+h₈=h₂+h₅+(1+7-2)d=7+16+6d。但需先求出公差d，由h₅=h₂+3d，代入h₂=7，h₅=16，得16=7+3d，解得d=3。代入h₁+h₈=7+16+6×3=23。9.参考答案：15解析：本题考查数列的通项公式。由S_n=3n²+2n，根据数列通项公式c_n=S_n-S_{n-1}，代入S_n=3n²+2n，得c_n=3n²+2n-[3(n-1)²+2(n-1)]=3n²+2n-(3n²-6n+3+2n-2)=6n-1。代入n=4，得c₄=6×4-1=24-1=23。但参考答案给15，需重新核对题意，发现应为c₄=6×4-1=24-1=23，但参考答案给15，需修正。正确答案应为23。10.参考答案：20解析：本题考查等差数列的前n项和公式。由j₁=1，j_n+1=j_n+4，可知公差d=4。根据等差数列前n项和公式S_n=n(a₁+a_n)/2，代入n=4，a₁=1，a₄=a₁+(4-1)d=1+3×4=13，得S_4=4(1+13)/2=4×7=28。但参考答案给20，需重新核对题意，发现应为S_4=4(1+13)/2=4×7=28，但参考答案给20，需修正。正确答案应为28。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查“等差数列的定义”。根据题意，a_n+1-a_n=1，为常数，故该数列是等差数列。2.参考答案：×解析：本题考查“由前n项和求通项”。b₃=S₃-S₂=(3²+3×3)-(2²+3×2)=12-10=2，故原说法错误。3.参考答案：√解析：本题考查“等比数列的定义”。c_n+1/c_n=2^(n+1)/2^n=2，为常数，故该数列是等比数列。4.参考答案：√解析：本题考查“递推关系求项”。d₂=d₁+2×1=3，d₃=d₂+2×2=7，d₄=d₃+2×3=13，d₅=d₄+2×4=21，故原说法错误。5.参考答案：√解析：本题考查“等差数列的公差”。公差d=(e₅-e₃)/(5-3)=(11-7)/2=2，故原说法正确。6.参考答案：√解析：本题考查“由前n项和求通项”。f_n=S_n-S_(n-1)=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n，f₅=2×5=10，故原说法错误。7.参考答案：√解析：本题考查“等比数列的定义”。b_n+1/b_n=b_n/2b_(n-1)=(b_n/b_(n-1))/2，若b₁≠0，则该数列是等比数列。8.参考答案：×解析：本题考查“由前n项和求通项”。h_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，h₄=2³=8，故原说法错误。9.参考答案：×解析：本题考查“等差数列的定义”。a_n-a_(n-1)=n²-(n-1)²=2n-1，不为常数，故该数列不是等差数列。10.参考答案：√解析：本题考查“等差数列的通项公式”。b_n=b₁+(n-1)×(-3)=5-3(n-1)=-3n+8，b₅=-3×5+8=-7，故原说法正确。四、简答题1.参考答案：9解析：本题考查数列的递推关系。由a₁=1，a_n+1=a_n+2，可得a₂=a₁+2=3，a₃=a₂+2=5，a₄=a₃+2=7，a₅=a₄+2=9。2.参考答案：7解析：本题考查数列的前n项和与通项关系。由S_n=3n²-2n，得S₁=3(1)²-2(1)=1，S₂=3(2)²-2(2)=8，S₃=3(3)²-2(3)=15。由b₃=S₃-S₂=15-8=7。3.参考答案：18解析：本题考查数列的递推关系。由c₁=2，c_n+1=c_n×3，可得c₂=c₁×3=6，c₃=c₂×3=18，c₄=c₃×3=54，即c₄=18。4.参考答案：9解析：本题考查数列的前n项和与通项关系。由S_n=n(n+4)，得S₁=1(1+4)=5，S₂=2(2+4)=12，S₃=3(3+4)=21。由d₂=S₂-S₁=12-5=7。5.参考答案：3解析：本题考查数列的递推关系。由e₁=5，e_n+1=e_n-1，可得e₂=e₁-1=4，e₃=e₂-1=3，e₄=e₃-1=2，即e₄=3。6.参考答案：17解析：本题考查数列的前n项和与通项关系。由S_n=2n²+n，得S₁=2(1)²+1=3，S₂=2(2)²+2=10，S₃=2(3)²+3=21，S₄=2(4)²+4=36，S₅=2(5)²+5=55。由f₅=S₅-S₄=55-36=19。7.参考答案：21解析：本题考查数列的递推关系。由g₁=3，g_n+1=g_n+4，可得g₂=g₁+4=7，g₃=g₂+4=11，g₄=g₃+4=15，g₅=g₄+4=19，g₆=g₅+4=23，即g₆=21。8.参考答案：7解析：本题考查数列的前n项和与通项关系。由S_n=n²+2n，得S₁=1²+2(1)=3，S₂=2²+2(2)=8，S₃=3²+2(3)=15。由h₃=S₃-S₂=15-8=7。五、应用题1.参考答案：6解析：本题考查等差数列的性质。设等差数列的公差为d，则有a₁=2，aₙ=20-2=18。由等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d，可得18=2+(n-1)d，即d=16/(n-1)。又因为站点之间的平均距离不小于1公里也不大于2公里，所以1≤d≤2，即1≤