北师大版数学 第二章 实数（暑假单元自测） 新八年级 试卷 含答案

第二章实数单元自测卷【新教材，北师大版】（考试时间：90分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各数中，最大的数是（

）A．2 B．0 C． D．【答案】A【分析】本题考查实数大小比较，利用“正数大于0，0大于负数”的比较规则即可得出结果．【详解】∵是正数，根据实数大小比较规则，正数大于0，0大于所有负数，∴，∴最大的数是2．2．若二次根式有意义，则x的取值范围为（

）A． B．x≤6 C．x>6 D．x<6【答案】B【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题思路是根据二次根式被开方数为非负数列不等式，求解不等式得到x的取值范围．【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，有意义，∴，解不等式得x≤6．3．实数，0，，2，，（相邻两个2之间依次多一个0），其中无理数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：，3是整数，属于有理数；0是整数，是分数，均为有理数；，2，（相邻两个2之间依次多一个0）都是无限不循环小数，均为无理数；∴无理数共有3个．4．估计19的值应在（

）A．3.5和4之间 B．4和4.5之间 C．4.5和5之间 D．5和之间【答案】B【详解】解：∵，∴16<19<因此的值在4和4.5之间．5．下列各式计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：2与不是同类二次根式，不能合并，故A错误．，故B错误．83，故D正确．6．如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=1．以点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点P，则点P所表示的数是（

A．2.2 B．2 C．1+2 D．【答案】D【分析】先根据勾股定理求得，进而由点P在数轴的正半轴即可求解．【详解】解：∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=1∴，由题意，，∴点P所表示的数是．7．实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（

）A．b B． C． D．【答案】B【分析】先由图得出，，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简原式得，然后根据绝对值的性质化简即可．【详解】解：由图可知，，∴，∴．8．社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（正方形ABCE）和健身区（正方形）的面积分别为、，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用算术平方根求出正方形ABCE，正方形的边长，再利用线段的和差求解即可．【详解】解：∵正方形ABCE的面积为，正方形的面积为∴正方形ABCE，正方形的边长分别为，，∴．9．化简的结果是（

）A．42 B．43 C．44 D．45【答案】C【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行合并即可．【详解】解：原式．10．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把2表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，AA．2−1 B．2 C． D．【答案】A【分析】根据题意依次计算出，，，，⋯，总结规律可知，线段的长的规律，据此即可求得答案．【详解】解：根据题意，点表示的数为2，∵，∴点B1表示的数为，∴，∴点A2表示的数为，∵，∴点表示的数为3，∴，同理可得，，，⋯，∴线段，∴．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．比较大小：2_________2（填“”“”或“”）．【答案】【分析】两个正实数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方较大的正实数更大，据此即可判断.【详解】解：∵，，，，又，∴.12．若与最简二次根式能合并，则的值为______．【答案】1【分析】先将化为最简二次根式，根据能合并的二次根式是同类二次根式，得到被开方数相等，列方程求解即可．【详解】解：，与最简二次根式能合并，∴两个二次根式为同类二次根式，被开方数相等，即，解得a=1．13．观察下表：400…n0.220200…已知，，则________．【答案】【分析】本题先根据表格总结算术平方根的变化规律，再将所求被开方数变形，结合已知条件计算结果．【详解】解：由表格可得规律：被开方数的小数点向右移动两位，算术平方根的小数点向右移动一位．∴．14．如图，正方形ABCD的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点的右侧），且，则点E所表示的数为________．【答案】/【分析】先求出AB与AE的值，再求出点E所表示的数．【详解】解：∵正方形的面积为7，∴，即，∵，∴，∵点表示的数为1，又∵点E在点的右侧，∴点E表示的数为．15．如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为______．【答案】【分析】由正方形的面积求出各自的边长，进而表示出阴影部分的长与宽，即可求出面积．【详解】解：根据题意得：大正方形的边长为，小正方形的边长为2，∴阴影部分的长和宽分别为2和，∴阴影部分的面积．16．小明做数学题时，发现，，，，…按上述规律，第五个等式是________，第n个等式是________．【答案】【分析】（1）根据前4个等式写出第5个等式即可；（2）根据前5个等式归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】解：第1个等式为，即第2个等式为，即，第3个等式为，即，第4个等式为，即，第5个等式为，即，归纳推得：第n个等式为，其中n为正整数．三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分）17．计算：(1)(2)【答案】(1)7(2)【分析】（1）根据解答即可；（2）根据求解即可；【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；18．已知的平方根是，b−1的立方根为2．(1)求a与b的值；(2)如果15的整数部分为c，求的平方根与15的小数部分的差．【答案】(1)，b=9(2)或【分析】（1）根据平方根和立方根的性质即可求解；（2）先估算出，可得c=3，然后再求出小数部分，再代入求出平方根，最后求出差即可求解．【详解】（1）解：∵的平方根是，b−1的立方根为2，∴，，解得，b=9，（2）∵∴，∴15的整数部分为3，即c=3，∴15的小数部分为，由（1）得，b=9，∴，∴16的平方根为，∴的平方根与15的小数部分的差为或．19．对于任意两个非负数a，b，定义运算为：．(1)计算的结果；(2)若，求x的值．【答案】(1)2(2)x的值为0或【详解】（1）解：∵，∴；（2）由题意可知，，即．∵，①当，即时，，，∴，无解；②当，即时，∴，，∴，解得x=−3；③当，即x=0时，此时成立，综上，x的值为0或．20．将下列各数填在相应的集合里．，π，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，，有理数集合：{

…}；无理数集合：{

…}；正实数集合：{

…}；整数集合：{

…}．【答案】，3.1415926，，0，，；π，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，；，π，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，；，0，【分析】实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解．【详解】解：，，根据定义知：有理数有：，3.1415926，，0，，；无理数有：π，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，；正实数有：，π，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，；整数有：，0，．21．随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游玩休憩场所．为了提升居住环境水平，某区准备对一个面积为的长方形街心花园进行改造，计划开辟一个面积为的圆形区域栽种银杏树，其余部分为活动场地．已知该街心花园的长与宽之比为3:2．(1)求该街心花园的周长是多少？(2)请通过计算说明该改造方案是否可行．（π取3）【答案】(1)(2)该改造方案不可行，理由见解析【分析】（1）设该街心花园的长为，宽为，根据题意列出方程，利用算术平方根求解即可；（2）设栽种银杏树的圆形区域的半径为，根据题意得，确定，再由实数的比较方法即可判断．【详解】（1）解：设该街心花园的长为，宽为．根据边长与面积的关系，得，，．由边长的实际意义，得x=10．，．∴该街心花园的周长为；（2）解：设栽种银杏树的圆形区域的半径为．根据半径与面积的关系，得，．由半径的实际意义，得．∴栽种银杏树的圆形区域的直径为．

，．．∴该改造方案不可行．22．阅读下面的文字，解答问题：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分．例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．(1)17的整数部分是________，小数部分是________；(2)如果的小数部分为，的整数部分为b，求的值；(3)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的值．【答案】(1)，(2)2(3)【分析】（1）仿照题干作答即可；（2）仿照题干得到a、b的值，进而代入计算即可；（3）仿照题干得到x、y的值，进而代入计算即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴17的整数部分是，小数部分是；（2）解：∵，∴，∴的小数部分，∵，∴，∴的整数部分b=9，∴；（3）解：∵，∴3<11∴，∴的整数部分，小数部分，∴．23．【探究】(1)观察下列算式，并完成填空：，，，，______．(2)下图是某广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，每层有6块正方形地板砖，第一层包括6块正三角形地板砖，第二层包括18块正三角形地板砖……以此递推．（ⅰ）第层中含有______块正三角形地板砖；（ⅱ）第n层中含有______块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）．【应用】(3)若某学校拟采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正方形地板砖？【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）(3)还需要块正方形地板砖【分析】（1）根据所给等式，找出规律，即可得出答案；（2）（ⅰ）根据每层含6个正方形，每两个正方形间的正三角形个数分别为1、3、5……，即可得出答案；（ⅱ）根据（i）中规律解得即可；（3）设可铺设n层，根据（2）中规律列出方程，结合（1）中规律解方程求出n=20，根据每层都有6块正方形地板砖即可得出答案．【详解】（1）解：∵，，，，……∴，∴．（2）解：（ⅰ）由图形可知，每层含6个正方形，每两个正方形间的正三角形个数分别为1、3、5……，第一层包括块正三角形地板砖，第二层包括块正三角形地板砖，第三层包括块正三角形地板砖，∴第层包括块正三角形地板砖，（ⅱ）由（i）规律可得，第n层中含有块正三角形地板砖．（3）解：设可铺设n层，∵有1块正六边形、块正三角形地板砖，∴，∴，解得：n=20（负值舍去），即共铺设20层，∵每层都有6块正方形地板砖，∴还需要块正方形地板砖．24．【激活经验】小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，⋯在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整：特例1：，特例2：，特例3：．【发现