北师大版数学 第四章 图形的相似（能力提升） 同步练习 含答案

九年级数学上册单元测试定心卷（北师大版）第四章图形的相似（能力提升）注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1.如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【答案】B【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为1：4，∴它们的周长比是：1：4．故选：B．【知识点】相似三角形的性质2.下列各组线段中不能构成比例线段的是（）A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝，c＝，d＝ C．a＝0.1，b＝0.2，c＝1，d＝0.5 D．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10【答案】D【解答】解：A、6×2＝3×4，能构成比例线段；B、1×＝×，能构成比例线段；C、0.1×1＝0.2×0.5，能构成比例线段；D、4×10≠5×6，不能构成比例线段．故选：D．【知识点】比例线段3.在11：13中，如果前项增加33，要使比值不变，那么后项应（）A．增加33 B．增加35 C．增加37 D．增加39【答案】D【解答】解：设原数分别为11x，13x，后项增加y，由题意可得：＝，解得：y＝39．故选：D．【知识点】比例的性质4.如图，已知AB∥CD∥EF，CF：AF＝3：5，DE＝6，BE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴BE＝10，故选：D．【知识点】平行线分线段成比例5.下列各组图形中，一定相似的是（）A．任意两个正方形 B．任意两个平行四边形 C．任意两个菱形 D．任意两个矩形【答案】A【解答】解：A、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意；B、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，不符合题意；C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；D、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意，故选：A．【知识点】相似图形6.某数学兴趣小组来到城关区时代广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝1.5米，BP＝2米，PD＝52米，那么该大厦的高度约为（）A．39米 B．30米 C．24米 D．15米【答案】A【解答】解：根据题意，得到：△ABP∽△PDC．即，故CD＝×AB＝×1.5＝39米；那么该大厦的高度是39米．故选：A．【知识点】相似三角形的应用7.如图，AD∥CB，E、F分别在AB、CD上，且EF∥CB，若＝，CD＝15，则线段DF的长为（）A．3 B．6 C．9 D．10【答案】B【解答】解：∵AD∥CB，EF∥CB，∴AD∥EF∥CB，∴＝＝，∴＝，即＝，∴DF＝CD＝×15＝6．故选：B．【知识点】相似三角形的判定与性质8.如图，△ABC中，∠ABD＝∠C，若AB＝3，AD＝2，则AC边的长是（）A．5 B．4.5 C．6 D．6.5【答案】B【解答】解：∵∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB，∴△ABD∽△ACB，∴AB：AC＝AD：AB，即3：AC＝2：3，∴AC＝4.5．故选：B．【知识点】相似三角形的判定与性质9.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC．若AD＝20cm，BD＝12cm，CE＝9cm，那么AE的长是（）A．13cm B．15cm C．16cm D．18cm【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝20cm，BD＝12cm，CE＝9cm，∴，∴AE＝15cm，故选：B．【知识点】平行线分线段成比例10.如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD：AB＝1：3，则△ADE与四边形DECB面积之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：8 D．1：9【答案】C【解答】解：∵△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，∴△ADE∽△ABC，∵AD：AB＝1：3，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，∴S△ADE：S四边形DBCE＝1：8．故选：C．【知识点】位似变换11.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，那么下列结论中，正确的是（）A．∠OAD＝∠OBC B．＝ C．＝ D．＝【答案】A【解答】解：∵OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，∴，∵∠AOD＝∠BOC，∴△OAD∽△OBC，∴∠OAD＝∠OBC，，同理可得△AOB∽△DOC，，，故B，C，D选项不正确，故选：A．【知识点】相似三角形的判定与性质12.如图，已知零件的外径25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC＝OD）量零件的内孔直径AB，若OC：AC＝1：3，量的CD＝10mm，则零件的厚度为（）A．2mm B．2.5mm C．3mm D．3.5mm【答案】B【解答】解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，∴OA＝OB，∵OC：AC＝1：3，∴OC：OA＝1：2，∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，∵∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△COD，∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，∵CD＝10mm，∴AB＝20（mm），∴2x+20＝25，∴x＝2.5（mm），故选：B．【知识点】相似三角形的应用二、填空题（4小题，每小题3分，共12分）13.已知＝，则＝．【解答】解：由，可得：，把代入，故答案为：．【知识点】比例的性质14.如图，AB∥CD∥EF，点C，D分别在BE，AF上，如果BC＝4，CE＝6，AF＝8，那么DF的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∴＝，∴DF＝，故答案为：．【知识点】平行线分线段成比例15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为．【答案】2【解答】解：作DH∥AC交AB于H，如图，∵EF⊥AC，EG⊥EF，∴EF∥BC，EG∥DH，∴＝，＝，∵EF＝EG，∴DC＝DH，设DC＝DH＝x，则BD＝6﹣x，∵DH∥AC，∴＝，即＝，解得x＝2，即CD的长为2．故答案为2．【知识点】相似三角形的判定与性质16.如图，在△ABC与△AED中，＝，要使△ABC与△AED相似，还需添加一个条件，这个条件可以是（只需填一个条件）．【答案】∠E=∠B（答案不唯一）【解答】解：添加条件：∠B＝∠E；∵，∠B＝∠E，∴△ABC∽△AED，故答案为：∠B＝∠E（答案不唯一）．【知识点】相似三角形的判定三、解答题（9小题，共52分）17.已知x2+2y2＝3xy（xy≠0），求x：y的值．【解答】解：方程整理得：，解得x：y＝1或x：y＝2【知识点】比例的性质18.（1）已知，求的值；（2）已知2x＝3y＝4z，求的值．【解答】解：（1）设＝k（k≠0），则x＝2k，y＝3k，z＝4k，所以，＝＝；（2）设2x＝3y＝4z＝k≠0，则x＝，y＝，z＝，所以＝＝8．【知识点】比例的性质19.如图，直线PQ经过菱形ABCD的顶点C，分别交边AB和AD的延长线于点P和Q，BP＝AB，求证：DQ＝2AB．【解答】证明：∵菱形ABCD，∴BC∥AD，AB＝DA＝BC＝CD，显然，BC∥QA，又∵，∴＝，∵AB＝AD，∴，∴DQ＝2AB．【知识点】平行线分线段成比例20.设四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，且A与A1、B与B1、C与C1是对应点，已知AB＝12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，A1B1＝8，求四边形A1B1C1D1的周长．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形∴（2分）又∵AB＝12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，A1B1＝8∴（1分）∴B1C1＝12，C1D1＝12，D1A1＝6（3分）∴四边形A1B1C1D1的周长＝8+12+12+6＝38．（1分）【知识点】相似多边形的性质21.如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5，AB=4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？【解答】解：在Rt△ABC中，BC===3，∵∠ABC=∠ADB=90°，∴当=时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即=，解得BD=，当=时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即=，解得，综上所述，当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似．【知识点】相似三角形的判定22.已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°．求证：△ABD∽△DCE．【解答】证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，∵∠ADE=45°，∴∠2+∠3=135°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE．【知识点】相似三角形的判定23.如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴＝＝，又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴＝，即＝，∴FC＝6．【知识点】相似三角形的判定与性质24.如图，在由边长为1个单位的长度的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点．（1）在给定网格中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A'B'C'，请画出△A'B'C'；（2）△A'B'C'与△ABC的面积比为．【答案】4：1【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求作．（2）由题意，△ABC∽△A′B′C′，＝2，∴△A'B'C'与△ABC的面积比＝4：1，故答案为：4：1．【知识点】作图-位似变换25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，点M是AC上的一点，连接BM，作MN⊥BM，且交AB于点N．（1）求证：△BCP∽△MAN；（2）除