北师大版数学 第四章 一次函数（暑假单元自测） 新八年级 试卷 含答案

第四章一次函数单元自测卷【新教材，北师大版】（考试时间：90分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．一次函数的图像经过点A，则点A的坐标可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到对应值后，和点的纵坐标对比即可判断．【详解】∵若点在一次函数的图象上，则点的坐标满足该解析式，对选项A，当x=2时，，∴A错误；对选项B，当时，，与点的纵坐标相等，符合要求，∴B正确；对选项C，当时，，∴C错误；对选项D，当时，，∴D错误．2．将直线向下平移3个单位，得到的新直线的解析式为（

）A． B． C．y=2x−3 D．【答案】C【详解】解：∵函数图象平移遵循“上加下减”的规律，原直线解析式为，向下平移个单位，∴新直线的解析式为.3．已知点，，都在直线上，则，，y3的大小关系是（

）A． B．y2<y1<y3【答案】A【分析】本题考查一次函数的增减性，先根据一次函数斜率k的正负判断随的变化规律，再比较三个点横坐标的大小，即可得到y值的大小关系.【详解】∵在直线中，，∴随的增大而减小，∵三个点的横坐标满足，∴y1即．4．若点和点在同一个正比例函数（k为常数，）的图象上，则下列式子一定成立的是（

）A． B．n>0 C．m+n=0 D．【答案】C【分析】将A，B两点坐标代入正比例函数解析式，得到m，n关于k的表达式，再化简判断即可．【详解】解：∵点和在的图象上，∴坐标满足函数解析式，代入得，，∴，对其余选项验证如下：，∵，∴，即m−n>0，故A，D错误；，∵，∴n<0，故B错误；因此只有C一定成立．5．下列图象中，一次函数与一次函数（k，b为常数，且kb≠0）的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分，，，四种情况，判断两条直线经过的象限，进行判断即可.【详解】解：当时，两个函数图象都经过一，二，三象限；当时，一次函数的图象经过一，三，四象限；一次函数的图象经过一，二，四象限；当时，一次函数的图象经过二，三，四象限；一次函数的图象经过二，三，四象限；当时，一次函数的图象经过一，二，四象限；一次函数的图象经过一，三，四象限；观察给出的图象，只有选项A的图象符合题意.6．对于一次函数y=−2x+4，下列结论错误的是（

）A．函数的图象不经过第三象限B．函数的图象与轴的交点坐标是C．函数的图象向右平移2个单位向下平移4个单位长度得的图象D．函数值随自变量的增大而减小【答案】C【分析】根据一次函数的性质，函数图象与坐标轴交点的求法，函数图象平移的法则，逐个判断选项即可得到错误结论．【详解】解：对于一次函数y=−2x+4，可得，b=4．A选项：，，函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，A结论正确．B选项：令，则−2x+4=0，解得x=2，函数图象与轴的交点坐标是，B结论正确．C选项：根据图象平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的原则，函数向右平移2个单位，向下平移4个单位后，解析式为，化简得y=−2x+4，不是，C结论错误．D选项：，函数值随自变量的增大而减小，D结论正确．7．将直线向左平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（

）A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于1,0C．与y轴交于 D．y随x的增大而减小【答案】C【分析】根据一次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的直线解析式，再结合一次函数的性质逐一判断选项即可．【详解】解：∵将直线向左平移2个单位长度后得到直线，∴平移后直线解析式为，即，b=1，∴直线经过第一、二、三象限，故A错误．对于，令，得，解得，∴直线与轴交于−1,0，B错误．对于，令，得，∴直线与轴交于，C正确．选项D：∵，∴随的增大而增大，D错误．8．为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的m−V图象，如图（，m表示质量，表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（

）A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍B．当乙的质量为时，体积为C．甲物质的密度小于乙物质的密度D．甲物质的密度等于乙物质的密度【答案】A【分析】根据图象读取甲、乙对应的质量和体积数据，利用密度公式分别计算两者的密度，再结合图象特征逐项判断；【详解】解：由图象可知，当时，，，即，A正确；当时，由图象可知，B错误；当时，；当时，；，，，C、D错误．9．一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水．第3分钟时，再打开出水管排水；第8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量（升）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示．则的值为（

）A．192 B．293 C．21【答案】B【分析】根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解．【详解】解：依题意，3分钟进水30升，则进水速度为升/分钟，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完，则排水速度为升/分钟，，解得．10．如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，的面积为（

）A．16 B．20 C．24 D．32【答案】B【分析】由函数图象上的点、的实际意义可知、的长及的最大面积，从而求得、的长；接下来，再根据点运动到点时得，从而求得的长，求得直线的解析式，根据一次函数图象可得当点运动到中点时，的面积．【详解】解：由图象可知，，，．根据题意可知，当点运动到点时，的面积最大，此时，∴AD=8，，，如图，则可得，设直线的解析式为，把，代入可得，解得，所以直线的解析式为，当点P运动到中点时，即时，把代入，得，所以当点P运动到中点时，的面积为20．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．点在直线上，则代数式的值为________．【答案】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入直线解析式，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可．【详解】解：点在直线上，，移项整理得，等式两边同乘得，．12．已知是关于x的正比例函数，当x=−4时，y的值为______．【答案】【分析】根据正比例函数的定义，解析式形如y=kxk≠0的函数是正比例函数，据此求出k的值，得到函数解析式，再代入x=−4计算得到的值.【详解】解：∵函数是关于的正比例函数∴且，解得：k=−3，当x=−4时，．13．已知直线y=2x+b过点，，则和的大小关系是____(填“＞”“＜”或“＝”）【答案】【分析】先根据一次函数解析式中比例系数的正负判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系【详解】解：在直线中，比例系数，根据一次函数的性质，当时，随的增大而增大，因为点和的横坐标满足.所以14．如图，一次函数y=23x−2的图象与轴交于点，与轴交于点B，则的面积为___________．【答案】3【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点计算，当时，值为点纵坐标，同理，当时，值为点横坐标，从而求得，，计算的面积．【详解】当时，，当时，，，则OA=3，OB=2，的面积．15．某水池上方有一个进水管，底部有一个排水管，先打开进水管，3小时后同时打开排水管（进水和排水都是匀速的），该水池内水的体积与时间th之间的函数关系如图所示、则水池从开始进水到全部排出所需要的时间是______（h）．【答案】9【分析】根据函数图象求出进水速度，以及排水速度，进行求解即可．【详解】解：由图象可知，进水速度为，∴3小时后，水池中水的总量为，当同时打开进水管和排水管时，相当于排水速度为，故水池从开始进水到全部排出所需要的时间是（小时）.16．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，S3，…，，则______．【答案】【分析】根据题意，分别求出，，S3，然后找出规律，即可求出结果．【详解】解：∵，，，，…，，∴，，，……∴，∴．三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分）17．已知与成正比例，且当x=2时，，求：(1)与的函数关系式；(2)当时，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据成正比例的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出k的值，从而得到与的函数关系式；（2）利用（1）中的关系式，求出函数值为所对应的自变量的值即可．【详解】（1）解：设，把代入得4=2k，解得，，∴y与的函数关系式为；（2）解：当时，，解得．18．一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，其速度每秒增加．(1)写出滚动的时间和小球的速度之间的函数关系式；(2)当小球滚动了时，其速度是多少？【答案】(1)(2)【分析】（）根据题意列出函数关系式即可；（）把t=3.5代入（）所得函数关系式计算即可求解．【详解】（1）解：∵小球由静止开始滚动，其速度每秒增加，∴，即；（2）解：当t=3.5时，代入，得，答：当小球滚动了时，其速度是．19．下表是某市2021年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高：年龄组/岁789101112131415161718平均身高/cm124130135141145151159165168170171172观察此表，回答下列问题：(1)该市14岁男学生的平均身高是多少？(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始增加特别迅速？(3)这里反映了哪些变量之间的函数关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？【答案】(1).(2)12岁(3)反映了年龄和平均身高两个变量之间的函数关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量【分析】（1）直接从表格读取对应数据即可得到结果；（2）先计算相邻年龄的平均身高增长量，比较增长量大小，即可得出平均身高开始增加特别迅速的年龄；（3）第三问根据自变量与因变量的定义，判断两个变量的关系即可．【详解】（1）解：根据表格给出的数据，可得该市14岁男学生的平均身高是．（2）解：计算相邻年龄组的平均身高增长量，结果依次为：对比各增长量可知，12岁之后身高增长量大幅增加，因此该市男学生的平均身高从12岁开始增加特别迅速；（3）解：表格中存在两个变量，分别是年龄和男学生的平均身高，平均身高的值随年龄的变化而变化，因此这里反映了年龄和平均身高之间的函数关系.其中年龄是主动变化的量，是自变量，平均身高随年龄变化而变化，是因变量．20．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2，根据图中的信息回答下列问题．(1)①由图2，当时，_______；摩天轮转一圈需要______；②在3到6分钟时，随着时间的增加，摩天轮上点离地面高度的变化趋势是_________（填“增大”或“减小”）；(2)求出摩天轮的半径为_______；【答案】(1)①54，6；②减小(2)【分析】（1）根据图象求解即可；（2）根据离地面最短距离与距地面最大距离即可求解．【详解】（1）由图象得，①由图2，当时，；摩天轮转一圈需要6min；故答案为：54，6；②在3到6分钟时，随着时间的增加，摩天轮上点离地面高度的变化趋势是减小；故答案为：减小；（2）由图可知，点离地面的高度的最大值为70，最小值为5∴半径为；21．探究一次函数的性质时，我们经历了“确定函数解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象，利用函数图象研究函数性质，利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题．(1)列表：…−3−10123……10134…则__________，__________；(2)描点、连线，在所给坐标系中画出函数的图象；(3)结合函数图象，写一条函数的性质__________；(4)进一步探究函数图象，当时，自变量的取值范围是__________；【答案】(1)2；5(2)见解析(3)当x>−2时，随的增大而增大（答案不唯一，写出一条即可）(4)【分析】本题考查一次函数的图象和性质，两直线的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键．（1）将和分别代入，即可求出a和b的值；（2）根据描点法即可画出图象；（3）结合图象，写出其一条性质即可；（4）结合图象，判断的图象在直线下方的取值范围即可．【详解】（1）解：将代入，得，将代入，得，故答案为：2，5；（2）解：函数图象如下：（3）解：结合图象可知函数图象关于轴对称，当x>−2时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；故答案为：当x>−2时，随的增大而增大；（其他答案合理即可）（4）解：将代入，得，解得：x=−5或，由图象可知，当时，自变量的取值范围是，故答案为：．22．如图，已知一次函数y=12x+2与轴相交于点，与轴交于点．(1)求出点和点的坐标．(2)若点的坐标是1,0，①是_____三角形（按角分类）．②点是轴上的点，若，请求出点的坐标．③在轴是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)①直角；②或；③存在点，坐标为：．【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标；（2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可；②根据求出长即可求解；③分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵当时，，x=−4，∴．∵当时，y=2，∴；（2）解：①∵，，点的坐标是1,0，∴，∴．∵∴AB∴是直角三角形；②∵，∴，∴，∴或，即或；③设D的坐标是∴，，当BC=CD时，，解得：；当BC=BD时，，解得：（舍去）；当时，，解得：；综上可知，点的坐标为．23．对于一次函数，我们称函数为它的阶明珠函数（其中为常数），例如，当时，正比例函数y=x的2阶明珠函数为．(1)点在一次函数的1阶明珠函数的图象上，求的值；(2)点在正比例函数的-1阶明珠函数的图象上，求的值；(3)已知一次函数y=x−4．①当时，直接写出这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围；②当时，若这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围是，则直接写出字母的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)①的取值范围是;②的取值范围是【分析】（1）先写出的1阶明珠函数，根据点的横坐标判断所属分段，代入解析式求；（2）写出的−1阶明珠函数，分情况讨论的取值；（3）①写出y=x−4的2阶明珠函数，分别求两段在对应区间内的取值范围，再合并；②根据函数单调性，结合给定的的取值范围反推的取值范围．【详解】（1）解：一次函数的1阶明珠函数为．点中，将代入，得．故．（2）解：正比例函数的-1阶明珠函数为．当时，，解得；当a>−1时，，解得．综上，或．（3）解：一次函数y=x−4的2阶明珠函数为．①当−2≤x≤2时，y=−x+4随增大而减小，时，y=6；x=2时，y=2，；当时，y=x−4随增大而增大，趋近2时，趋近；时，y=6，；综上，当时，的取值范围是．②当−1≤x≤2时，y=−x+4随增大而减小，当时，，当时，，此时，∵当时，的取值范围是，∴n>2，当时，y=x−4随增大而增大，趋近2时，接近；时，．则时，，∵当时，的取值范围是，且−1≤x≤2时，；，∴，解得，故的取值范围是．24．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，乙车从A地出发，匀速驶往C地，同时甲车从B地出发，匀速驶往A地，到达A地后停留30分钟，再以原路原速途经B地驶往C地．结果两车同时到达C地．两车距B地的距离（单位：千米）与两车出发的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息回答下列问题：(1)甲车的速度为_____千米/小时，乙车的速度为_____千米/小时，A、C两地间的距离为_____千米：(2)求乙车从B地到C地的行驶过程中与的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；(3)请直接写出两车出发多长时间，两车之间相距70千米．【答案】(1)80，60，360(2)(3)114小时或小时或小时或52小时【分析】（1）由图可知甲车从A地到B地，停留半小时后返回到B地一共需要需要小时，然后根据速度=路程÷时间即可求出甲车的速度，进而求出A、B两地的距离，则可求出A、C两地的距离，再根据速度=路程÷时间即可