2024年北京市中考数学试卷

一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.(2分)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()2.(2分)如图，直线AB和CD相交于点O,OE⊥OC.若∠AOC=58°,则∠EOB的大小为()AA.29°B.32°C3.(2分)实数a,b在数轴上的对应点的位置如A.b>-1B.|b|>2C.a+b>04.(2分)若关于x的一元二次方程x²-4x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为()A.-16B.-4C.4A.8×10¹6B.2×10¹7C.5×10¹7(1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C,D;(2)作射线O′A′,以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O'(3)过点D′作射线O′B′,则∠A′O′B′=∠AOB.COD的依据是()8.(2分)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°,0为对角线的交点.将菱形ABCD绕点O逆时针旋转二、填空题(共16分，每题2分)10.(2分)分解因式：x³-25x=__11.(2分)方解为13.(2分)某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量(单位：g),得到14.(2分)如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D=35°,则∠C=°.15.(2分)如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.若AD=5,CG=4,则△AEF的面积为_ABCD21三、解答题(共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(5分)计算：(π-5)°+√8-2sin30°+|-√2|·18.(5分)解不等式组：19.(5分)已知a-b-1=0,求代数的值。20.(6分)如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,AF//DC.(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；(2)若∠EFB=90°,tan∠FEB=3,EF=1,求BC的长.21.(6分)为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”).对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km,A,B两类物质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A,B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%,B类物质排放量降低了75%,A,B两类物质排放量之和为40mg/km.判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”,并说明理由.22.(5分)在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交于点(2,1).(1)求k,b的值；y=-kx+3的值，直接写出m的取值范围.23.(5分)某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.(1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分(百分制).对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.b.学生评委打分的频数分布直方图如图(数据分6组：第1组82≤x<85,第2组85≤x<88,第3组88≤x<91,第4组91≤x<94,第5组94≤x<97,第6组97≤x≤100):中位数m学生评委n(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分(百分制).对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均评委1评委2甲乙丙k(1)求证：OD//BC;(2)延长DO交⊙O于点E,连接CE交OB于点F,过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P.25.(5分)小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯).在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来.新水杯(记为2号杯)示意图如图.当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h₁(单位：cm)000(1)补全表格(结果保留小数点后一位);(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画h与V,h₂与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²-2a²x(a≠0).(2)已知M(x1,y1)和N(x2,y2)是抛物线上的两点.若对于x1=3a,3≤x₂≤4,都有yi<y2,求27.(7分)已知∠MAN=α(0°<α<45°),点B,C分别在射线AN,AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°-2α得到线段BD,过点D作AN的垂线交射线AM于点E.(1)如图1,当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点；(2)如图2,当点D在∠MAN内部时，作DF//AN,交射线AM于点F,用等式表示线段EF与AC的28.(7分)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于◎O的弦AB和不在直线AB上的点C,给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB=(1)如图，点A(0,1),B(1,0).②若点D是弦AB的“90°可及点”,则点D的横坐标的最大值为(2)已知P是直线y=√3x-√3上一点，且存在◎0的弦MN,使得点P是弦MN的“60°可及点”.记点P的横坐标为t,直接写出t的取值范围.AB一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.(2分)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()2.(2分)如图，直线AB和CD相交于点O,OE⊥OC.若∠AOC=58°,则∠EOB的大小为()A.29B.32°C.45°A.b>-1B.|b|>2C.a+b>0D.ab>0【解答】解：由数轴得，-2<b<-1,2<a<3,4.(2分)若关于x的一元二次方程x²-4x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为()A.-16B.-4C.4所以△=(-4)²-4c=0,解得c=4.A.B.CD.案.红黄红(红，红)(红，黄)黄(黄，红)(黄，黄)A.8×10¹6B.2×10¹7C.5×10¹77.(2分)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.于点C,D;(3)过点D′作射线O′B′,则∠A'O′B′=∠AOB.8.(2分)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°,0为对角线的交点.将菱形ABCD绕点O逆时针旋转【分析】通过△AD'H≌△CDH和△A'BE≌△CDH可判断①;根据角平分线的性质定理判断④;通过角度计算判断②;通过长度计算判断③.∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'CD',二、填空题(共16分，每题2分)【考点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式.【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解.【解答】解：根据题意得x-9≥0,10.(2分)分解因式：x³-25x=_x(x+5)(x-5)_【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式运用平方差公式继续分解.=x(x+5)(x-5).11.(2分)方的解为x=-1_·【考点】解分式方程.【答案】x=-1.【分析】方程两边同乘x(2x+3),将分式化为整式方程求解即可.【解答】解：经检验，x=-1是原方程的解.12.(2分)在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点(3,y1)和(-3,y2),则y1+y2【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.【答案】0.【分析】将两点代得到则y1+y2=0.【解答】解：∵函数(k≠0)的图象经过点(3,y1)和(-3,y2),故答案为：0.13.(2分)某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量(单位：g),得到当一个工件的质量x(单位：g)满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是160_·【考点】用样本估计总体.【答案】160.【分析】根据题意，先写出10个数据中的一等品，然后即可计算出估计这200个工件中一等品的个数.∴抽取10个工件的一等品有49.98,50.00,49.99,50.02,49.99,50.01,50.00,50.02,共计8个，故答案为：160.14.(2分)如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D=35°,则∠C=55°.【考点】圆周角定理.【答案】55.【分析】设AB与CD相交于点E,根据垂直定义可得∠DEB=90°,然后利用直角三角形的两个锐角可得互余∠B=55°,从而利用【解答】解：设AB与CD相交于点E,DD∵⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径),故选：55.15.(2分)如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.若AD=5,CG=4,则△AEF的面积为*即*16.(2分)联欢会有A,B,C,D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长(单位：min)如ABCD21已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔(不考虑换场时间等其他因素).若节目按“A-B-C-D”的先后顺序彩-A-B-D的先后顺序彩排.【考点】有理数的混合运算.【分析】根据候场时间定义计算即可，若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：C-A-B-D顺序排序.【解答】解：根据题意，节目D的演员的候场时间为：30+10+20=60(min);若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：C-A-B-D顺序排序，即(10+2+1)×20+(2+1)×30+1×10=360(min),三、解答题(共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(5分)计算：(π-5)°+√8-2sin30°+|-√2|·【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值.18.(5分)解不等式组：【解答】解：解不等式3(x-1)<4+219.(5分)已知a-b-1=0,求代数的值.【答案】3.=3.20.(6分)如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,AF//DC.(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；(2)若∠EFB=90°,tan∠FEB=3,EF=1,求BC的长.【考点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；三角形中位线定理.【答案】(1)见解析；【分析】(1)根据三角形中位线定理得到EF//AD,根据平行四边形的判定定理得到结论；(2)根据三角形中位线定理求得AD=2EF=2,根据三角函数的定义得到BF=3EF=3,求得DF=BF=3,根据勾股定理得到AF=√AD²+DF²=√13,根据平行四边形的性质得到CD=AF=√13,根据线段垂直平分线的性质得到结论.【解答】(1)证明：∵E是AB的中点，(2)解：由(1)知，EF是△ABD的中位线，21.(6分)为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”).对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km,A,B两类物质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A,B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%,B类物质排放量降低了75%,A,B两类物质排放量之和为40mg/km.判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”,并说明理由.【考点】一元一次方程的应用；百分数的应用.【答案】这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”,理由见解析.【分析】设该汽车的A类物质排放量为xmg/km,则该汽车的B类物质排放量为(92-x)mg/km,根据题意列方程求出x的值，即可求解.【解答】解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”,理由如下：设该汽车的A类物质排放量为xmg/km,则该汽车的B类物质排放量为(92-x)mg/km,根据题意得(1-50%)x+(1-75%)(92-x)=40,解得x=68,∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量(1-50%)x=34,22.(5分)在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交于点(2,1).y=-kx+3的值，直接写出m的取值范围.【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数图象与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式.【答案】(1)k=1,b=-1;【分析】(1)先根据直线y=-kx+3点(2,1)得出k=1,再将点(2,1)代入y=x+b,求出b的值；(2)根据图象即可求得.【解答】解：(1)∵直线y=-kx+3点(2,1),解得k=1,将点(2,1)代入y=x+b得：2+b=1,解得b=-1.(2)∵当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=x-1的值，也大于函23.(5分)某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.(1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分(百分制).对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.b.学生评委打分的频数分布直方图如图(数据分6组：第1组82≤x<85,第2组85≤x<88,第3组中位数m学生评委n①m的值为91,n的值位于学生评委打分数②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x,则x_≤91(填“>”“=”或“<”);(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分(百分制).对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进评委1评委5甲乙丙k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是甲,表中k(k为整数)【考点】频数(率)分布直方图；加权平均数；中位数；众数；方差.(2)甲，92.【解答】解：(1)①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数m=91.故答案为：<;(2)甲选手的平均数∵5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92,5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k,∴k(k为整数)的值为92,(2)延长DO交⊙0于点E,连接CE交OB于点F,过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P.若PE=1,求⊙0半径的长.【考点】切线的性质；圆周角定理.【答案】(1)见解析；(2)⊙O半径的长【分析】(1)连接AC交OD于H,根据圆周角定理得到AC⊥BC,根据角平分线的定义得到∠AOD=∠COD,根据垂径定理得到OD⊥AC,根据平行线的判定定理得到OD//BC;的性质得到∠OBP=90°,根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.【解答】(1)证明：连接AC交OD于H,(2)解：∵OE//BC,·*x=0(不合题意舍去),·∴⊙0半径的长25.(5分)小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯).在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来.新水杯(记为2号杯)示意图如图.当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h₁(单位：cm)和2号杯的水面高度h2单位：cm),部分数据如下：000(1)补全表格(结果保留小数点后一位);(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画h₁与V,h₂与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为1.2cm【答案】(1)1.0;(2)详见解析；(3)①1.2,②8.6.(3)由图象观察可得出①②的答案.【解答】解：(1)设h₁=kV,将(100,2