山东聊城市2025-2026学年第二学期期末教学质量抽测高一数学试题（试卷+解析）

2025-2026学年度第二学期期末教学质量抽测

高一数学试题

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在

答题卡的相应位置上.

2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，只将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.

1

A.1—iB.1+iC.-1—iD.-1+i

2.中国U12足球小将在意大利国际青少年杯7战全胜，历史性夺冠，展现了中国青少年足球的潜力.该队

在7场常规赛的进球数分别为2,5,7,3,1,2,1,则这组数据的60%分位数为（）

A.1B.2C.2.5D.3

3.单位向量行满足伍-44_LZ,则£与石夹角的余弦值为（）

1111

A.一一B.一一C.-D.-

2442

4.己知圆锥的轴截面面积为2,侧面枳为2在兀，则该圆锥的高为（）

A.1B.V2C.2D.272

5.在梯形44co中，刀=2丈，若布=2k+〃茄，则尤一〃=（）

123

A.-B.-C.1D.一

332

6.已知〃，是直线，a,£是空间两个不同的平面，且加〃a,则下列说法一定正确的是（）

A.彼时，aHpB.a〃6时，m//p

C.加_L尸时，aLpD.a_L/?时，m1ft

7.如图，已知43,BC分别是圆柱。4的下底面圆直径与母线，点。在上底面圆4的圆周上，且

〃QC=60'，若AB=BC,贝!异面直线NQ与8。所成角的余弦值为（）

8.“七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为，东方魔方”.某同学用“七巧板”拼作了一个如图所示的

正方形，若正方形力8c。的边长为4,点E,F,O,M,N分别是线段44,BC,AC,EF,0C

的中点，点,P为AEBF内（包括边界）一动点,贝U（衣+丽）•标的取值范围为（）

A.[272,8]B.[4,8]C.[4,6&]D.120,6近]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.

9.在正四棱台力中，下列四组直线无公共点的为（）

A.BB]和DD[B.6c和4RC,力。和CGD.AR和BC1

10.已知。，b,c,"wR,复数Z1=a+bi,Z2=C+di.现在复数系中定义一个新运算③，规定:

z}0z2=[ac+bd)+(^ad+Z>c)i.则()

A.z,0(-z)=-(z0z)

212B.Z10ZjGR

C.\z^z\=\z\0\z\

2]2D.Z]@z2=z,0z2

11.已知向量£,坂满足a+B=(2,2),a-b=(x,y),则()

A.1=一歹时，同=忖

B.x2+/=4时，alb

c.£/"时，X=N

D.3+E在1上的投影向量为E-Z时，(x+l)2+(y+l『=2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图，4,4两点在河的两岸，为了测量/，A之间的距离，测量者在力的同侧选定一点C,测出力，

C之间的距离是50啦m,Z5JC=105°,ZACB=45°,则4,8两点之间的距离为m.

B

13.若数据甚，.q,x3,3的平均数与方差分别为1，3,则数据西，X2,x3,x4,],1,2x,-l,

2.x,-1,2xy-lt25一1的平均数为,方差为

14.如图，正方形13co的边长为4近，4EQ,&BGF,LCMH,/XOPN是全等的直角边为J5的

等腰直角三角形，将

其分别沿图中的虚线向上折起，使折起后这四个三角形所在平面均与底面EFG//MNP。垂直.若球。的表

面恰好经过折起后的点4,B,C,D,且与底面E/GHMNP。相切，则球。的表面积为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在人工智能背景下，某校积极推动AI与传统教学深度融合以变革授课模式.为了解落地效果和学生满

意度，现从全体学生中随机抽取〃名学生对融合式教学模式进行满意度评分，整理数据并按评分分成

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]这五组,得到如图所示的频率分布直方图，其中评分

在［70,80）内的学生共21人.

（2）估计这〃名学生评分的平均数：

（3）从所抽取的评分在［50,60）,［60,70）内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取5名学生

做进一步的调查，求评分在［60,70）内的学生应抽取的人数.

16.已知。，h,P,4均为实数，复数4一1是纯虚数,Z2=〃-i是关于x的方程

/一〃式+夕=0的一个根，Z3=p+qi,且z2,z?在复平面内对应的点分别为4,B,C.

（1）求Z3；

（2）若刘与比的夹角为锐角，求人的取值范围.

17.如图，在三棱柱48。一44G中，侧面8CG片为矩形，且侧面8CC#JL底面48C,点。在棱BC

B

（1）证明：1AD；

（2）若=BB、=BD=DC.

（i）证明：平面/。4_L平面49G；

（i：）当4814c时，求直线与侧面8CG4所成角的正切值.

18.已知△NBC中，N4CB=60。,点。在边力3上，CD=B

(1)若乙4CD=30。，BD=近.

(i)求C8的长；

(i：)求△ABC的面积.

(2)若48=44。，求C2+3C4的最大值.

19.如图，在四棱锥P-48CQ中，底面/BC。是平行四边形，E为PD的中点,M为AE的中点，点、N

在棱心上，且PN=3NB.

(1)证明：MN〃底面4BCD；

(2)若尸。_L底面/BCQ,PA±MN,PD=AD=4,MN=2.

(i)求侧面043与侧面所成二面角的正切值；

(i:)设棱尸C与平面XNE的交点为。，求四棱锥P-力NQE的体积.

2025-2026学年度第二学期期末教学质量抽测

高一数学试题

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在

答题卡的相应位置上.

2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，只将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.

1

A.1—iB.1+iC.-1—iD.-1+i

【答案】A

【解析】

【分析】利用虚数单位i的幕次运算性质化简分子，再通过分母实数化计算复数除法即可得到结果.

【详解】因为i2=_l，所以i3=i2.i=_i，

场1一广1+i（l+i）-ii+i2.

iii-ii~

2.中国U12足球小将在意大利国际青少年杯7战全胜，历史性夺冠，展现了中国青少年足球的潜力.该队

在7场常规赛的进球数分别为2,5,7,3,1,2,1,则这组数据的60%分位数为（）

A.1B.2C.2.5D.3

【答案】D

【解析】

【详解】将数据按升序排列可得1，1，2,2,3,5,7,

因为7x0.6=4.2,所以这组数据的60%分位数为第五个数3.

3.单位向量3满足则£与6夹角的余弦值为（）

【答案】C

【解析】

【分析】应用向量垂直数量积为。计算得出夹角余弦值.

【详解】由伍一4万）J.1得伍一4万）万=旧|2—4洒3=0,结合万,B为单位向量，得

l-4cos〈瓦B〉=0，解得cos〈1,3〉

4

4.已知圆锥的轴截面面积为2,恻面积为2、份兀，则该圆锥的高为（）

A.1B.V2C.2D.2VI

【答案】B

【解析】

【分析】通过轴截面面积、侧面积公式及勾股定理列方程求解即可.

【详解】设圆锥的底面半径为，高为力，母线长为/,其中〃>0/>0,/>0。

轴截面为以底面更径2,•为底、圆锥高力为高的等腰三角形，其面积为!合广方二泌，

2

由题意得泌=2①：

圆锥侧面积公式为8恻=Ttrl，代入题设条件得11n=26Tl，

化简得〃=2&②；

由圆锥的几何性质，母线长、底面半径、高满足勾股定埋：

/2=/+〃2③，

22

由①得厂二：，代入②得/=JI/z，将，.=：、1=同，

hh

—r74

代入③：电厅=~+h2化简得2h2=—+h2,

⑺h“

移项得力2=*,即力'=4,结合〃>0解得〃=&.

即该圆锥的高为J5.

5.在梯形45CO中，AB=2DC,若布=2充+〃丽，则义一〃=（）

【答案】A

【解析】

【分析】将祝、而用而、而作为基底表示，利用平面向量基本定理列方程求解4、"，再计算

入一".

【详解】由题意布=2皮，可得沅=!7后,

2

则JC=7D+DC=7D+^~AB,BD='AD-~AB^

将上述两式代入茄二4衣+〃茄，整理得：

万=,而+g珂+〃皿一珂=仅+〃）力+（'一/方,

由千方、而为不共线的非零向量，根据平面向量基本定理，等式两边对应向量的系数相等,

2+〃=1C

21

得：〈X_解得4=大，则〃=；，

一n=033

12

e-211

因此2一〃=1_.=鼻.

JJJ

6.已知小是直线，a、仅是空间两个不同的平面，旦mHa,则下列说法一定正确的是（）

A.加〃/时，allpB.a〃/?时，ni///3

C.〃7~L/时，akpD.时，加，尸

【答案】C

【解析】

【分析】结合空间线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐一判断各选项的正误.

【详解】对于A：若〃?//a且〃?〃£,。与夕可能相交，仅需〃?平行于a和夕的交线即可满足条件，故

a〃/?不一定成立，A错误；

对于B：若a///?且m//a,直线〃，可能位于平面口内，此时不满足〃?〃尸，故B错误：

对于C：若加//a,由线面平行的性质定理，存在直线/ua且"/团；若mJ.0,则//尸，又/ua,

根据面面垂直的判定定理，可得。工〃，故C正确;

对干D：若a4/且加//a,加可与〃平行、斜交或位于月内，不一定有〃4，故D错误.

7.如图，已知力B,BC分别是圆柱。4的下底面圆直径与母线，点。在上底面圆4的圆周上，且

〃QC=60,若AB=BC,贝!异面直线NQ与8。所成角的余弦值为（）

A任3D

BC.一-V

10-15

【答案】D

【解析】

【分析】结合圆柱的性质，根据异面直线所成角的定义,找到异面直线力。与8£）所成的角（或补角）,

分别求得其所在三角形三边的长，利用余弦定理可求得其余弦值.

【详解】设圆柱的底面半径为，则。彳=。8=。|。=乙。«=6。=/8=2厂.

如图过点。作。尸//。。1，交圆。于点尸.

则Db=OQi，所以四边形OQ是矩形,

所以QO//OF.

则在下底面圆周上，取点上，使/8。£=60。,乙4OE=120。.

又OF=OE=（）B,所以0£=。"=4£=8/，所以四边形。为菱形,

所以BE//OF,所以O】D//BE,且QO=8E=/，

所以四边形1是平行四边形，所以QE//Q8,

所以异面直线AO］与4。所成的角等于0}E与AOy所成的角，即ZAO}E或其补角.

△O/E中，O/=«E=+户=回

22

AE=y]AO+EO-2AOXOECOS\2Q0=d产+户+户=行

所以cos乙4qE=5/一善=2_

2xy/5rxy/5r10

即异面直线401与BD所成角的余弦值为乙.

8.“七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为，东方魔方”.某同学用“七巧板”拼作了一个如图所示的

正方形，若正方形48CO的边长为4,点E,F,O,M,N分别是线段48,BC,AC,EF,0C

的中点，点P为△E877内(包括边界)一动点，则(力£+可四)种的取值范围为()

A.[2近同B.[4,8]C.[4,672]D,12近,6加]

【答案】B

【解析】

【分析】以。为原点，以OB,OC所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，如图所示，设

P(x,j；)(xe[72,272]),根据向量加法和数量积坐标运算求解.

【详解】以。为原点，以。氏所在的直线分别为x轴和V轴建立平面直角坐标系，如图所示，

因为正方形ABCD的边长为4,

点、E,F,O,M,N分别是线段月BC,AC,EF,0。的中点，

可得J(0,-25/2),E(V2,-V2),M(V2,0),N(0,0),

设尸(工,切卜£卜6,20]),

则~AE=(V2,6),~NM=(V2,-V2),将=(x,y-6),

则花+丽7=（2近,0）,

所以（左+丽）•而=2缶+o（y_0）=2缶w[4,8].

A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.

9.在正四棱台—〃中，下列四组直线无公共点的为（）

A.阳和。2B△。和4。c/£）和CGD.AD1和BC、

【答案】BC

【解析】

【分析】结合正四棱台的结构特征，判断空间两条直线的位置关系，无公共点等价于两直线平行或异面

【详解】对于A：正四棱台由正囚棱锥平行于底面截取得到，因此8片和。。延长后相交，存在公共点,

A错误；

对于B：正四棱台上下底面均为正方形，故BC//AD,\D}||AD,由平行公理可得8cli4。1，

平行直线无公共点，B正确；

对于C：4。在底面4BCO内，CG与底面交于点C，且C不在/。上，同时CG与4。不平行，

因此两直线为异面直线，无公共点，C正确；

对于D：由AB//AB],GAII44得力例IGA，因此4瓦G，。四点共面,

四边形48GA为上下底不等的等腰梯形，两腰/。和8G延长后相交，存在公共点，D错误.

10.已知Q,h,C,deR,复数z=a+bi,z2=c+c/i.现在复数系中定义一个新运算③，规定:

Z10z2=(ac+bd)+(aJ+be)i.则()

A.z}@(-z2)=-(Z]0z2)B.Z|®Z|WR

=ZZ

C.\z}®Z2||1|®|2|D.z(0z2=z,0z2

【答案】ABD

【解析】

【详解】z,=a-b'\,z2=c-di,-z2=-c-d\,

Z[®(-z2)=(-ac-M)+(-ad-Z)c)i=-(Z)0z2),故A正确；

Z]®Z]=(片-b2^+^-ab+aby\=a2-b2GR,故B正确；

22222222

|z)0z2|=+Id[+(ad+Ie)2=\/ac+hd+ad+bc+4acbd

22222122222

|zj0|z2|=yja+b0de+d2=y/f+bJc+d?=yjc^c+hd+ad+Ire，

故|zgZ2*㈤⑥㈤,故C错误;

zt0z2=(ac+M)-(a^/+be)i=z(0z2,故D正确.

11.已知向量[满足a+注=(2,2),a-b=(x,y),则()

A.、=一，时,，p=

B./+/=4时，

C.£//B时，x=N

D.Z+B在上的投影向量为否—"时，(x+l1+(y+1『=2

【答案】ACD

【解析】

【分析】先解方程，得到工》，求:与B,可判断A的真假；求可判断B的真假；根据向量共线

的结论探索匚y的关系，可判断C的真假；根据投影向量列式，探索x，y的关系，可判断D的真假.

，2+x2+y、

a=

【详解】因为£+8=(2,2),a-b=(x,y)t所以，

r2-x2-yy

h='亏'亍，

，2+工2--

F)

，2+x'(2-x\V2>/4+x2

对A,当x=-y时，＜所以+

（2-x2+x、I22

b

122

2

(2-x2+xVV2V4+X2

b=I+,所以a.故A正确;

224明

'2+x2+y2-x2-y4-x24-y28-x2-y2.球

对B,当Y+y2=4时，%》=-----+———=-------=1,所

I22244

以I与否不垂直，故B错误;

,一一~2+12-卜1-x

对c,〃//，则一^——^-=—=故C正确;

L乙乙2

（叫.（力）

对D，Q+E在Q-。上的投影向量为B—。，所以•(a-b^=b-a,

a-b^

所以二-1,整理得（x+l1+（y+l）2=2,故D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图，A,8两点在河的两岸，为了测量力，8之间的距离，测量者在力的同侧选定一点C,测出力，

C之间的距离是50&m,ZZ?JC=105°,ZJC5=45°,则4,3两点之间的距离为.m.

B

河;二;

Tuos545^7^

Ac

【答案】

100

【解析】

【分析】根据正弦定理，结合三角形内角和定理进行求解即可.

【详解】由三角形内角和定理，得/3=180。-4一NC=180。-105。-45。=30。,

ABACAB50723

=—：—AB=100

由正弦定理，得sin。sin8V21

22

因此力，8两点之间的距离为100m.

13.若数据玉，x2,x3,兀的平均数与方差分别为1，3,则数据x2,x3,x4,1,l,2须一1,

2X2-1,2X3-1,2X4-1的平均数为,方差为.

【答案】①.

7②.

6

【解析】

【详解】因为数据玉，x2,x3,5的平均数与方差分别为1，3,

2

所以2网—1,2X2-1,2X3-1,2.0-1的平均数与方差分别为2xl-l=l,2X3=12.

又;［（玉T）'+（工2T『+（工3T）~+（工4T）［=3,

2222

|［（2X,-1-1）+（2X2-1-1）+（2X3-1-1）+（2X4-1-1）=12,

所以（内―1）2+（毛―1）2+（石-1}2+（/_1）2=⑵

2222

（2rI-l-I）+（2x2-l-l）+（2x3-l-l）+（2x4-l-l）=48.

4xl+l+l+4xl

所以玉，x2,x3,x4,1,1,2x,-l,2X2-1,2x3-1,2/-1的平均数为---------------=1；

方差为

，［（X|T）+（工2-1）+K-1）.+（.v4-l）,+（1-1）*+（!-!）*+（2.vl-1-1/+（2x,-l-l）*+（2x3-l-iy+（2x4-l-l）*•

=^x（12+48）=6.

14.如图，正方形ZBCO的边长为4近，“EQ,ABGF,LCMH,△QPN是全等的直角边为J5的

等腰直角三角形，将

其分别沿图中的虚线向上折起，使折起后这四个三角形所在平面均与底面EFGHA/NP。垂直.若球。的表

面恰好经过折起后的点力，R,C,D,且与底面EFGHMN尸0相切，则球。的表面积为

【答案】100万

【解析】

【分析】利用球的切接性质，找出半径与折起来后的几何图形的长度关系，从而可计算球的表面积.

【详解】如下图，在正方形/BCD中，连接力。交。E于点S,交MH于点、T.

原正方形48co的边长为4后，4E。,ABGF,&CMH,ZXOPN是全等的直角边为0的等腰直

角三角形，

则,4C=8,QE=2,AS=\.ST=6.

将四个角折起后，四个三角形所在平面均与底面上尸G〃,MN尸。垂直，

则点A在底面EFGHMNPQ的投影为点S,且高度为AS=\.

设球。与底面切点为«,00,与折起后截面力8CQ交点为。2,

如下图，设球。半径为R,

则OA=OO}=R,O}O2=AS=1,AO2=^ST=3.

在中，OA2^AO^OO；,即R2=32+(&T『，解得R=5.

所以球。的表面积为4兀心=4兀x5?=]oo兀.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在人工智能背景下，某校积极推动AI与传统教学深度融合以变革授课模式.为了解落地效果和学生满

意度，现从全体学生中随机抽取〃名学生对融合式教学模式进行满意度评分，整理数据并按评分分成

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]这五组,得到如图所示的频率分布直方图,其中评分

在[70,80）内的学生共21人.

T频率/组距

0.02T5.…....…卜n卜

0.020……H

0.015.....卜---

0.005--|—

°6070809010蒲意度评分

（1）求。与〃的值；

（2）估计这〃名学生评分的平均数：

（3）从所抽取的评分在[50,60）,[60,70）内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取5名学生

做进一步的调查，求评分在[60,70）内的学生应抽取的人数.

【答案】（1）a=0.035,/7=60

（2）77.5

（3）4人

【解析】

【分析】（1）根据频率和为1求。的值，根据频率与频数的关系求〃的值.

（2）利用频率分布直方图估计平均数.

（3）利用分层抽样的规则求解.

【小问1详解】

由10x(0.005+0.020+。+0.025+0.015)=1,解得a=0.035.

21

n=---------=60.

0.035x10

【小问2详解】

根据频率分布直方图，估计这60人的平均数为：

55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=77.5.

【小问3详解】

从所抽取的评分在[50,60）,[60,70）内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取5名学生做进

一步的调查，评分在[60,70）内的学生应抽取的人数为:

5ux____0_._2_0___=4)

0.05+0.20'

16.已知。，h,P,9均为实数，复数4=/_1是纯虚数,Z2=Zz-i是关于x的方程

F-px+q=0的一个根，Z3=p+qi,且Z1,z2,z?在复平面内对应的点分别为力，B,C.

(I)求Z3;

（2）若在与前的夹角为锐角，求人的取值范围.

【答案】（1）Z3=4+5i

(2)(-<x),-7)u(-7,-1

【解析】

【分析】（1）根据纯虚数的定义得出4=1,将Z2代入方程中得出，夕的值;

（2）由方.瓦〉0，且彳及就不共线计算.

【小问1详解】

*7=。,得4=1,

因为4=。2-1+（“；"1是纯虚数,所以＜

4+1H0

则符=〃(7?#0),

因为22=2。-1=2-1是关于4的方程/一川+9=0的一个根,

所以(2_i『_p(2_i)+q=0,整理得(3_2p+q)+(p_4)i=0,

3-2p+<7=0q=5

则：.n，得〈,则Z3=4+5i;

、p—4=0p=4A

【小问2详解】

由题意得,4（0⑼*（2,-1）,C（4,5）,则在=（2,-1一办而=（2,6）,

因为在与灰的夹角为锐角，所以而灰=4-6（1+6）＞0,且就，反共线,

则力＜_，且12工2（_1_/＞）,得且/）工_7,

33

则力的取值范围为（口,一7）7卜7,-；）.

17.如图，在三棱柱中，侧面为矩形，且侧面_L底面45C,点。在棱BC

(1)证明：BB】±AD.

(2)若48=/C,BB、=BD=DC.

(i)证明：平面_L平面；

(i：)当484/C时，求直线力4与侧面BCC4所成角的正切值.

【答案】(1)因为恻面BCG与为矩形，则8A_L8C,

又因为侧面BCC\B11底面ABC,侧面BCQB、c底面ABC=BC,3片u侧面BCC国,

可得J.底面48C,且力。u底面43C,所以BqJ./。.

(2)(i)因为力8=4C,且点。为棱3C的中点，则4O18C,

月.侧面BCC1q_L底面43C,侧面3C£Bq底面48。=BC,/IQu底面4BC,

可得AD±侧面BCCR,山。Gu侧面BCC、B\可得AD±DC1,

在矩形8CG及中，BB]=BD=DC,则NBDBi=NCDG=45。,

可得/用。。1=90。，即8Q_L0C1,

且ADcB1D=D,4。,片。＜=平面力用。，可得。G，平面力与。，

又因为。Qu平面4Z)G，所以平面4。4JL平面4OG；

z.x五

(E)——

2

【解析】

【分析】(1)根据面面垂直的性质可证J.底面力BC,即可得8e_1.力。；

(2)(i)根据面面垂直的性质可证/OJ.底面8CC£,4Q1QG，根据几何性质可得用。~LQG，

可证。弓_1平面力及Q.即可得结果：(ii)可知直线月片与侧面BCG⑸所成角为N/4Q.即可得结果.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

(i)略；

(ii)因为/O_L底面5CC£,可知直线力用与侧面3CG片所成角为N44Q,

因为工力C,由题意可知：AD=BD,B、D=6BD,

可得tanZ^D=—=-^-=—,

BQyl2BD2

所以直线AB.与侧面BCC、B\所成角的正切值为孝.

18.已知“出。中，乙4。5=60°,点。在边力8上，CD=B

⑴若NACD=30°,BD=布.

(i)求C3的长；

(i：)求A/BC的面积.

(2)若4B=44D,求C6+3。的最大值.

【答案】(1)(i)3C=4；(ii)

3

(2)8

【解析】

4

【分析】(1)(i)在ABCQ中，利用余弦定理求解；(ii)根据5“农+豆88=5“8o求得力。二,，即可

求△48。的面积；

(2)根据丽=1比+g而，两边平方再利用基本不等式求最值.

44

【小问1详解】

(i)/BC中，ZACB=60°,ZACD=30°,

则/BCO=30。，又CZ)=VJ,BD=y/i，

根据余弦定理得：

BD2=7=CD2+BC2-2CD-BC-cos/BCD

即7=3+8。?-2行8Cx&

2

由于8C>0,得8C=4；

(i：)由于。。为N/1C4的角平分线,

所以&/农+S4BCD=S4ABC，

即！/C-CQsin30o+』BCCQsin30o二』/C-8Csin60°,

222

得®4C+2y5=264C，所以4。=?,

23

所以S△/TDL-2^Csin60°=—3；

ii1々

则丽=场+而=画+^万二声阿-画)二比十^*,

又。。=6

即带=3=(；就+；可：《瑟2+1网引360。+看守

即48=BC2+BC-3CA+(3。丫=(BC+3CA)2-BC-3CA,

>(BC+3C4)2-<BC+^CA\=2(BC+3C4)2.

所以。8+3C/V8,

当且仅当BC=3CA=4时等号成立，即CB+3C4的最大值为8.

19.如图，在四棱锥尸—48CQ中，底面48CO是平行四边形，E为PO的中点,M为4E的中点，点N

在棱08上，且PN=3NB.

p

(1)证明：MN”底面ABCD；

(2)若尸。，底面48CQ,PA1MN,PD=AD=4,MN=2.

(i)求侧面尸48与侧面尸建。所成二面角的正切值；

(i:)设棱尸。与平面4NE的交点为。，求四棱锥尸-4NQE的体积.

【答案】(1)取线段4。的中点G,过点、N作NH//PD交BD于点、H,连接A/G、GH,

因为E为PQ的中点，所以DE二LPD,

2

因为M、G分别为/七、的中点，所以MG//DE,MG=-DE=-PD即MG〃P。,

24f

因为PN=3NB,故空=’,

PB4

因为NH//PD,所以把=空=,，则N〃=1尸。，

PDPB44

所tXMGHNH,MG=NH,故四边形MNHG为平行四边形，所以MNMGH,

因为MNu平面48CQ,GHu平面4BCD,所以MV〃平面48CQ.

80

(2)(i)2>/2：⑴—.

【解析】

【分析】(1)取线段4。的中点G，过点、N作NH//PD交BD于息H,连接MG、GH,证明出四边形

A/N//G为平行四边形，可得出AW〃G〃，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

(2)(i)过点4作8R〃G〃交力。于点H,过点R在平面4。内作RS_LP/,垂足为点S,连接BS,

推导出可知侧面与侧面产力。所成二面角的平面角为NBSR,证明出4R_LRS,求出

BR、RS的长，即可求出N8SR的正切值，即为所求；

(i：)以DC、。，为邻边作平行四边形。CQ,连接延长4N交BF于点T,设WQ平面

ANE=U,由面面平行的性质可得出7U〃4E,则平面4VE检三棱柱4DP—8C/所得图形为四边形

AEUT,设EUn尸C=0,则。即为所求作的点，即尸Cc平面4VE=0,分别求出三棱维N-/PE

和三棱锥N-EP0的体积，相加即可得出四棱锥〃-ANQE的体积.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

(i)过点、B作BR//GH交AD于点、R,过点K在平面4。内作HS21,垂足为点S,连轰3S,

因为MNHGH,GH//BR,所以BR//MN,

因为4_LMN,所以

因为HSJL尸力，BRCRS=R,BR、RSu平面8AS,所以以_L平面8AS,

因为8Su平面8RS,所以8SJ.P4,

所以侧面48与侧面PAD所成二面角的平面角为N8SA,

因为MV=2,由(1)知G”=2,

CHDC1r)f-j3A2

因为GHHBR,所以二二——=—=-,所以BR=-GH=2,

BRDRBD433

148

因为力0=4,G为力。的中点，所以。G=7/Q=2,则。R二三。G二；，

233

84

故,4&二力。-QR=4——=-,

33

因为PQJ_平面48c。，4Du平面48CQ,所以PDJ.4D,

又因为/7)=4。=4,故△尸力。为等腰直角三角形，且/040=45°，

因为HSJLP/,所以RS=/R・sin45°=±x」l=迪，

323

因为尸。_L平面力AC。，BRu平面4BCD,所以PD上BR,

因为PAC\PD=P,PA、PZ)u平面40,所以8R_L平面

8

BR1

因为RSu平面尸4。，所以8RLRS,所以tanN5SR=/=w]=2j5,

3

即侧面尸为3与侧面4。所成二面角的正切值为2&；

(ii)以。C、。。为邻边作平行四边形。C五P,连接8尸，

易知几何体力。。一次乃为三棱柱，则平面/OP〃平面3CV,延长4N交8F于点T,

设"n平面4VE=U,

因为平面4DP〃平面3c/，平面/NECl平面4。=4七，平面力NED平面8b=7V,所以

TU//AE,

所以平面ANE截三棱柱ADP-BCF所得图形为四边形AEUT,

设£77口。。=0,则。即为所求作的点，即PCc平面力NE=0,

因西MN/iBR,BRL平面P4D,所以MNJL平面P/Z),

因为POJL力。，PA=4D=4,E为PD的中点,所以5k壮=；尸E,4Q=；x2x4=4,

乙乙

11Q

故々极徒心/^=353/L皿=；*4'2=..

3