第八章 成对数据的统计分析 单元测试卷（含答案） 2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修3

成对数据的统计分析(120分钟150分)【命题视点】单元大任务掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，了解2×2列联表独立性检验及其应用命题情境点生活实践情境：6、14题探索创新情境：8、11题课程学习情境：1、2题参考公式：经验回归方程y＾=b＾x+a＾中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＾=∑i=1n(xi-x)(yi-y)α0.100.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某学习小组为了利用独立性检验的方法研究高中生爱好某项运动与性别是否有关，随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，计算得到χ2=4.916，则下列结论正确的是A.有95%的把握判断“爱好该项运动与性别无关”B.有95%的把握判断“爱好该项运动与性别有关”C.爱好该项运动与性别独立D.有99%的把握判断“爱好该项运动与性别有关”2.已知r1表示变量X与Y之间的样本相关系数，r2表示变量U与V之间的样本相关系数，且r1=0.936，r2=-0.978，则A.变量X与Y之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性B.变量X与Y之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性C.变量U与V之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性D.变量U与V之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性3.经统计，用于数学学习的时间(单位：小时)与成绩(单位：分)之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y的数据进行收集，结果如表所示：x1516181922y102m115115120若由表中样本数据求得经验回归方程为y＾A.98B.108C.110D.1154.某学校有甲、乙两个食堂，学校后勤服务中心为了调查学生喜欢去哪个食堂与性别是否有关，随机调查了150名学生.设M表示事件“学生喜欢去甲食堂”，N表示事件“被调查的学生是男生”，若P(M|N)=58，P(N|M)=47，P(N)=被调查的是男生被调查的是女生合计喜欢去甲食堂喜欢去乙食堂合计150A.被调查的学生中喜欢去甲食堂的有70人B.有95%的把握判断学生喜欢去哪个食堂与性别有关C.没有充分证据判断学生喜欢去哪个食堂与性别有关D.被调查的学生中喜欢去甲食堂的男生有30人5.从某地区随机抽取了7对母女的身高数据，如表所示：母亲的身高x/cm157158159160161162163女儿的身高y/cm156159162161164165166下列结论不正确的是(参考数据：∑i=17xi2-7x2=28，∑i=17yi2-7yA.7个成对数据呈正相关B.变量x和变量y的样本相关系数rxy约为0.961C.以均值x和y为零点(x，y)，平移后的成对数据(x1-x，y1-y)，(x2-x，y2-y)，…，(x7-x，y7-y)与原始成对数据相关性不相同D.用样本相关系数rxy可以估计总体两个变量的相关系数6.某中学为更好地开展素质教育，现对学生选修外出研学课程与性别是否有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的35，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的1A.200B.300C.325D.3807.全民阅读已经成为一种新的生活方式.某市在全市范围内建设并开放了共60家城市书房——孺子书房，方便市民阅读、交流等，推动全民阅读活动深入开展.截至目前，孺子书房累计接待读者19.6万人次.下表是对2019年以来近5年孺子书房的年借阅量的数据统计(参考数据：∑i=15年份20192020202120222023年份代码X12345年借阅量Y/册y1y2160022002800通过分析散点图的特征，得到年借阅量Y关于年份代码X的经验回归方程为y＾=500x+mA.3600册B.3700册C.3800册D.3900册8.已知变量X，Y的四个样本点A1(1，1)，A2(2，4)，A3(3，6)，A4(4，9)，用最小二乘法得到经验回归方程l1：y＾=b＾x+a＾，过点A2，A3的直线方程为l2：y=mx+n，给出下列4个命题：①b＾>m；②a＾>n；③∑i=14(yi-b＾xi-a＾)2≤∑iA.1B.2C.3D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A，B，C三种样式，且每个盲盒只装一个玩偶.某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了100份问卷并全部收回，经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占13，而在未购买者当中，男生、女生各占1A.χ2≈2.357B.未购买过该款盲盒的女生人数为70C.没有充分的证据判断“购买该款盲盒与性别有关”D.若每个盲盒装有A，B，C三种样式玩偶的概率相同，某同学已经有了B样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，则恰好能收集齐这三种样式玩偶的概率是210.某学校一名同学研究温差x(单位：℃)与本校当天新增感冒人数y的关系，该同学记录了5天的数据，如表所示：x568912y1623252734由统计数据知y与x满足经验回归方程y＾=2.3x+aA.样本中心点为(8，25)B.a＾C.当解释变量x每增加1时，响应变量y增加2.3D.若去掉样本点(8，25)，则样本相关系数r不变11.已知两个分类变量X，Y的数据列联表如下，则下列一定不能说明X与Y有关的是XYY合计XY=0Y=1合计X=0100adX=1200be合计300cnA.b=2aB.2c=3bC.a=2bD.e=2d题序1234567891011答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知变量y与x线性相关，由样本点(xi，yi)(xi=i，i=1，2，3，4，5)求得的经验回归方程为y＾=15x+a＾，若点(x5，y5)在经验回归直线上，且y5=2，x=3，则y1+y2+y3+y413.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男、女生中各随机抽取160名学生进行问卷调查，得到如下数据(20≤m≤30，m∈N*)：支持不支持男140-m20+m女100+m60-m若通过计算得有95%的把握判断“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则在这被调查的160名女生中，支持增加中学生体育锻炼时间的政策的人数的最小值为.

14.近几年，我国促进新能源汽车产业发展的政策频出，积极推动新能源汽车市场的迅速发展.为了解使用A型充电桩的车主性别与使用满意度(分为满意与不满意)的情况，某公司随机调查了该地区150名使用A型充电桩的车主，其中男性车主有60名对A型充电桩的使用表示满意，有30名对A型充电桩的使用表示不满意，女性车主有60%对A型充电桩的使用表示满意.将频率视为概率，用样本估计总体.已知该地区一位车主对A型充电桩的使用表示满意，则这位车主是男性的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)某单位对其30名员工的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人喜食蔬菜，饮食指数高于70的人喜食肉类).(1)根据所给数据完成2×2列联表；喜食蔬菜喜食肉类合计35岁以上35岁以下合计(2)能否有95%的把握认为该单位员工的饮食习惯与年龄有关?16.(15分)下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产能x(单位：吨)与标准煤相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据：x34567y4550606570(1)求y关于x的经验回归方程y＾=b＾x+(2)已知该厂技术改造前10吨产品的生产能耗为100吨标准煤，试根据(1)中求出的经验回归方程，预测该厂技术改造后10吨产品的生产能耗比技术改造前降低了多少吨标准煤.17.(15分)为调查某校大学生对生成式人工智能技术的了解情况，从全校男、女大学生中各随机抽取40人，统计得到如下列联表：男女合计了解302050不了解102030合计404080(1)依据α=0.01的独立性检验，能否认为该校大学生对生成式人工智能技术的了解与性别有关?(2)用样本估计总体，从全校男大学生中随机抽取4人，记其中了解生成式人工智能技术的人数为Y，求Y的分布列及数学期望.18.(17分)我国南方某蜜橘种植县通过网络平台直播销售蜜橘，其中每箱蜜橘重5千克，单价为40元/箱.已知最近5天单日直播总时长x(即所有主播的直播时长之和，单位：小时)与蜜橘的单日销售量y(单位：百箱)之间的统计数据如下表：直播总时长x89111215单日销售量y6763808085(1)请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系，可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的经验回归方程.(2)若每位主播每天直播的时间不超过4小时，要使每天直播带货销售蜜橘的总金额超过60万元，则至少要请几位主播进行直播?(3)直播带货大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.该蜜橘平均每箱按80个计算，若客户在收到货时有坏果，则每个坏果要赔付1元.现有甲、乙两款包装箱，若采用甲款包装箱，成本为t(1≤t≤5)元/箱，且每箱坏果的个数X服从P(X=i)=37若采用乙款包装箱，成本为32t元/箱，且每箱坏果的个数Y服从P(Y=i)=68附：∑i=15(xi-x)(yi-y)=93，∑i=15(xi-x)2=30，∑i=15(yi-y)2=358，∑19.(17分)乒乓球比赛有两种赛制，分别是“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利.(1)甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.7，若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8.已知甲、乙两人共进行了m(m=10k，k∈N*)场比赛，是否有90%的把握判断赛制与甲获胜的场数有关?(2)若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局.记事件A为“甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜”，事件B为“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明：P(A)=P(B).(3)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是p(p>0.5)，没有平局.若采用“赛满2n-1局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P(n)，若采用“赛满2n+1局，胜方至少取得n+1局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P(n+1)，试比较P(n)与P(n+1)的大小.

【参考答案】1.B解析：因为χ2=4.916>3.841，且χ2=4.916<6.635，所以有95%的把握判断“爱好该项运动与性别有关”，但没有99%的把握判断“爱好该项运动与性别有关”.2.C解析：因为样本相关系数r1=0.936，r2=-0.978，所以变量X与Y之间呈正相关关系，变量U与V之间呈负相关关系.又因为|r|越接近1，两个变量的线性相关程度越高，所以X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性.3.A解析：依题意得，x=15+16+18+19+225=18，y=102+115+115+m+1205=90.4+m54.C解析：因为P(N)=815，所以150×815=80，即被调查的学生中男生有80人，女生有70人，且P(M|N)=58，所以80×58=50，即男生中喜欢去乙食堂的有50人，喜欢去甲食堂的有30人.又因为P(N|M)=被调查的是男生被调查的是女生合计喜欢去甲食堂304070喜欢去乙食堂503080合计8070150χ2=150×(5.C解析：因为∑i=17xi2-7x2=28，∑i=17yi2-7y2≈74.86，∑i=16.D解析：设被调查的男生人数为5n(n∈N*)，根据题意可得2×2列联表如下：男女合计选修外出研学课程3n5n11n未选修外出研学课程2n5n9n合计5n5n10nχ2=10n3n·57.C解析：因为x=1+2+3+4+55=3，y=∑i=15yi5=90005=1800，所以1800=500×3+8.C解析：作出散点图(图略)，直观判断可知b＾>m，a又x=2.5，y=5，所以b＾=1+8+18+36-4×2.5×51+4+9+16-因为m=6-43所以∑i=14(yi-b＾xi-a＾)2=(1-1.1)2+(4-3.7)2∑i=14(yi-mxi-n)2=(1-2)2+(4-4)2+(6-6)2因为经验回归方程一定经过样本点中心(x，y)，点(2.5，5)恰好在直线y=2x上，所以④正确.9.ACD解析：有30人购买了该款盲盒，因为在这些购买者当中，女生占13男女合计未购买过该款盲盒353570购买过该款盲盒201030合计5545100χ2=100×(某同学再购买两个这款盲盒，基本事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，能收集齐这三种样式玩偶的基本事件有(A，C)，(C，A)，所以恰好能收集齐这三种样式玩偶的概率是2910.ABD解析：由表格可得x=5+6+8+9+125=8，y=16+23+25+27+345=25，所以样本中心点为(8，25)，故A项正确；由y=2.3x+a＾，得a＾=y-2.3x=25-2.3×8=6.6，故B项正确；由B项知，y＾=2.3x+6.6，当解释变量x每增加1时，响应变量y不一定增加2.3，故C项不正确；因为x3=x=8，y3=y=25，x3-x=0，y3-y=0，所以(x3-x)(y3-y)=0，(x3-x)2=0，(y311.ABD解析：在同一个样本中，|ad-bc|越小，说明两个变量的关系越弱，|ad-bc|越大，说明两个变量的关系越强.对于A，当b=2a时，|100b-200a|=0；对于B，当2c=3b时，可得b=2a，则|100b-200a|=0；对于C，当a=2b时，|100b-200a|=|150a|；对于D，当e=2d时，200+b=200+2a，即b=2a，此时|100b-200a|=0.由以上分析可知，选项C能说明X与Y有关，选项A，B，D不能说明X与Y有关.12.6解析：由题意，点(5，2)在经验回归直线上，将其代入y＾=15x+a＾中，可得2=1+a因为x=3，且样本中心点(x，y)在经验回归直线上，所以y=15×3+1=8故∑i=14yi+2=5×85，解得13.128解析：因为有95%的把握判断“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，所以320×[(140-m)(60-m)-(20+m14.58解析：设该地区“一位车主对A型充电桩的使用表示满意”为事件M，“车主是男性”为事件N，则该地区一位车主对A型充电桩的使用表示满意且这位车主是男性的概率为P(N|M).又男性对充电桩满意的概率P(MN)=60150=25，车主对充电桩满意概率P(M)=60150+36150=1625，则这位车主是男性的概率P(N|M)=15.解析：(1)根据茎叶图中的数据，填写2×2列联表，如表所示：喜食蔬菜喜食肉类合计35岁以上1621835岁以下4812合计201030(2)由(1)中2×2列联表的数据，可得χ2=30×(16×8-故有95%的把握认为该单位员工的饮食习惯与年龄有关.16.解析：(1)x=5，y=58，∑i=15xiyi=1515，∑i=15xiyi-5x∴b＾=6510=6.5，a＾(2)当x=10时，y=90.5，即改造后预测生产能耗为90.5吨，∵100-90.5=9.5，∴预测该厂改造后10吨产品的生产能耗比技术改造前降低了9.5吨标准煤.17.解析：(1)零假设为H0：对生成式人工智能技术的了解与性别无关联.由题意得χ2=80×(30×20-10×20)250×30×40×40=16(2)由题意得样本中的男大学生了解生成式人工智能技术的频率为34，用样本估计总体，从全校男大学生中随机抽取一人，则他了解生成式人工智能技术的概率为34，则Y~B4,34.P(Y=0)=C40144=1256，P(Y=1)=C4134所以Y的分布列如下：Y01234P13272781故E(Y)=np=4×3418.解析：(1)由题意得x=8+9+11+12+155=11，y=67+63+80+80+85∑i=15(xi-x)(yi-y)=93，∑i=15(xi-x)2=30，∑i所以r=∑i=15又∑i=15xiyi=4218，∑i=15xi2=635，所以b＾=∑i(2)根据题意得40×100y＾=4000(3.1x+40.9)>600000，解得x>109131≈35.2，又(3)对于乙款包装箱，由13m+19m+127m+6881=1，所以m=13.设采用甲款包装箱每箱获得的利润的数学期望为E1，则E1设采用乙款包装箱每箱获得的利润的数学期望为E2，则E2=40-E(Y)-32t=40-1×0×6881+1×132令9541243-t=3589-32t，解得t=250243.因为1≤t≤5，所以令9541243-t>3589-32t，解得t∈250243,综上所述，当t=250243时