第六章 计数原理 单元测试卷（含答案） 2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修3

大单元综合测试(一)：第六章(120分钟150分)【命题视点】单元大任务理解两个基本计数原理，运用计数原理探索排列、组合、二项式定理命题情境点生活实践情境：6、15题探索创新情境：8、19题课程学习情境：3、4题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知An2=A.3B.4C.5D.62.现有由两个4和两个5依次排成的四位数，将0和3加入这个数中，构成六位数，若保持原来4个数字的顺序不变，则不同的六位数的个数共有A.10B.24C.25D.303.(x2+x+1)(x-1)2展开式合并同类项后不同的项数为A.2B.3C.4D.54.高二(1)班包含小明在内的四名学生与高二(2)班包含小华在内的五名学生站成一排照相，若高二(1)班和高二(2)班的学生必须分别排在一起，且小明和小华不能相邻，则不同方式的排列种数为A.5760B.5560C.5492D.54725.设a∈Z，且0<a<7，若a+342024能被7整除，则a=A.1B.2C.5D.66.现有包含甲在内的六名学生准备各自从A，B，C，D四个大学中选一个申请强基计划，已知每个大学都有人选，且甲没有选大学A，则所有不同选法的种数为A.540B.720C.1080D.11707.x2-yA.9B.-9C.12D.-128.如图，在这个正六边形的六个顶点上分别放置数字(包括0，1，2，…，9)，要求每个顶点上放置一个数字，且任意相邻两个顶点上的数字之和不能为5或7.若已经在三个相邻顶点上放置了数字1，2，3，且剩余3个顶点中与数字2和3相邻的顶点数字相同，则不同的放置方法的种数为(数字可重复使用)A.24B.48C.54D.96二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列四个等式一定正确的是A.C42B.Anm=mAnC.mCnm=nCnD.C43+C53+10.已知(x+a)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9+a10(x-1)10(a∈R)，则下列说法正确的是A.若a=0，则a0+a1+a2+…+a9+a10=210B.若a=1，则a0=210C.若a0=0，则a10=210D.若a9=30，则a=211.现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加跳远、跳高、铅球、三级跳四项体育活动，每人只安排参加一个体育活动，则下列说法正确的是A.不同安排方案的种数为54B.若每项体育活动至少有1人参加，则不同安排方案的种数为CC.若三级跳不安排，其余至少有1人参加，则不同安排方案的种数为(C53C2D.若每项活动至少1人参加，甲不参加三级跳，则不同安排方案的种数为C41题序1234567891011答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：3C93-2A613.1x-2(1+3x)614.如图，这是某个城市的街道图，其中虚线部分为不可通过的湖泊，则小华从A处到B处的最短路径有条.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)学校要安排一场文艺晚会的10个节目的演出顺序，这10个节目包括4个音乐节目、3个舞蹈节目、2个小品、1个相声，要求第1个节目是舞蹈节目，最后1个节目是音乐节目.(1)若要求4个音乐节目排在一起，求不同的排法种数；(2)若要求音乐节目、舞蹈节目、小品节目分别相邻演出，求不同的排法种数.16.(15分)(1)解方程：24(C1002+C1003+(2)解不等式：A8x<617.(15分)(1)用五种不同的颜色(不一定需要全部使用)给图中三棱台的表面涂色，要求每个面涂一种颜色，有公共棱的两个面涂不同的颜色，求不同的涂色方法的种数；(2)用四种不同的颜色(不一定需要全部使用)给图中三棱台的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条线段的两个顶点涂不同的颜色，求不同的涂色方法的种数.18.(17分)已知2x-1(1)若展开式的二项式系数的和为128，求该式的展开式中所有项的系数之和.(2)若Cn2+①求该式的展开式中有理项的个数；②求该式的展开式中系数绝对值最大的项.19.(17分)“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图1所示，而同“杨辉三角”齐名的“莱布尼茨三角形”如图2所示.(1)探究图2可得组合恒等式“1(n+1)C(2)探究图1发现“第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+((3)请构造一个实际背景，对恒等式Cnm·Cmk=Cn

【参考答案】1.A解析：因为An2=C2n22.C解析：加入数字3有5种情况，再加入数字0有5种情况，由分步计数原理得，共有5×5=25个不同的六位数.3.C解析：因为(x2+x+1)(x-1)2=(x3-1)(x-1)，所以(x2+x+1)(x-1)2展开式合并同类项后不同的项数为4.4.D解析：高二(1)班和高二(2)班的学生分别排在一起，共有A55A5.D解析：342024=(35-1)2024，其展开式的通项为Tr+1=C2024r352024-r×(-1)6.D解析：因为甲没有选大学A，所以甲有C31=3种选法，其余五名学生可以选三个大学或四个大学.当其余五名学生选三个大学时，有C57.A解析：x2-y2k展开式的通项为Tr+1=Ckr(x2)k-r根据题意令2k-2r=2,r2=1,解得r=2,k=3,所以x2-y28.C解析：∵相邻两个顶点的数字之和不能为5或7，∴2和3不相邻，即三个点分布为3，1，2或2，1，3，∵正六边形是对称轴图形，∴上述两种情况相同，记一种结果.由题意可知，与2相邻的另一个点的数字可能是0，1，2，4，6，7，8，9，与3相邻的另一个点的数字可能是0，1，3，5，6，7，8，9.当这两个点所选数字相同时，共有6种取法，此时，与剩余点相邻的数字相同，只需考虑2种不符合题意的数字，∴最后一个点共有8+8+9+9+10+10=54种取法，∴共有54种不同的放置方法.9.AC解析：因为C42=6，A33=6，所以C42=A33，故A正确；因为Anm=n!(n-m)!=n×(n-1)!(n-10.ABD解析：对于A，因为a=0，所以x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9+a10(x-1)10，令x=2，则a0+a1+a2+…+a9+a10=210，故A正确；对于B，因为a=1，所以(x+1)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9+a10(x-1)10，令x=1，则a0=210，故B正确；对于C，令x-1=t，则x=t+1，所以(t+1+a)10=a0+a1t+a2t2+…+a9t9+a10t10，因为a0=0，所以a=-1，则a10=1，故C错误；对于D，令x-1=t，则x=t+1，所以(t+1+a)10=a0+a1t+a2t2+…+a9t9+a10t10，所以T10=C109(a+1)t9，所以C1011.BD解析：对于A，若每人都安排一项体育活动，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为45，故A错误；对于B，先将5人分为四组，再将分好的四组全排列，安排四项体育活动，则不同安排方案的种数为C52A44，故B正确；对于C，先将5人分为三组，有C53C21A2212.12解析：3C93-213.99解析：由题意得，(1+3x)6的展开式的通项为Tr+1=C6r(3x)r=3rC6rxr，所以(1-2x)(1+3x)6的展开式中含x的项为1x×32C62x14.132解析：把A看作原点，根据题意，可得所有经过(3，3)的路径都不行，所以用总路径数减掉不符合题意的路径数，即小华从A处到B处的最短路径有C105-C615.解析：(1)先将4个音乐节目全排列，有A44种排法，再把舞蹈、小品、相声节目看作6个节目进行排列，有C31·(2)先把它们各自排列并捆绑，各自有A44，A33，A216.解析：(1)因为24(C1002+C1003+C1014)=(2)因为A8x<6A8x-2，所以又因为2≤x≤8，所以x=8.17.解析：(1)第一类，用四种颜色，先涂三个侧面，上底面和下底面同色，则共有C54A所以共有240种不同的涂色方法.(2)第一类，用四种颜色，先涂A，B，C，有24种涂色方法，再涂D，E，F中的一个点，有3种涂色方法，最后剩余的两个点只有3种涂色方法，则共有216种涂色方法；第二类，用三种颜色，首先选出三种颜色，共有4种选法，先涂A，B，C，有6种涂色方法，再涂D，E，F，有2种涂色方法，则共有48种涂色方法.综上，共有264种涂色方法.18.解析：(1)由Cn0+Cn1+Cn2+…+Cn所以展开式中所有项的系数之和为32(2)①若Cn2+An2x-12x10的通项为Tr+1=C10r(2x)②由①知，2x-12x10的通项为Tr+1=C10r(2x)10-r-12xr=(-1)rC10r210-2rx10-3r19.解析：(1)证明：1(n+1)Cn=1n+1(r-1)!(n-(2)证明：考虑多项式(1+x)n·(1+x)n中xn的系数.一方面，代数式(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n=C2n0+C2n1x+…+C2nnxn另一方面，代数式(1+x)n·(1+x)n=(Cn0+Cn1x+…+Cnnxn)·(C