第一章《勾股定理》单元复习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册试题（含答案）

第一章《勾股定理》单元复习A卷（共100分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。1．在中，分别表示的对边，则下列各式中，正确的是（

）A． B．C． D．2．在中，，则（）A． B． C． D．3．下列各组数中，是勾股数的是（

）A．，， B．1，1，C．，， D．8，15，174．五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（

）A．12 B．14 C．15 D．175．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形较长的直角边长是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是（

）A．4 B．6 C．9 D．166．若的两直角边a、b与斜边c，满足：，，则（

）A．20 B．15 C．12 D．147．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（

）A． B． C． D．8．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（

）．A． B． C． D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．已知一直角三角形的两条直角边长分别为，则这个直角三角形的第三边为_________．10．如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______．11．如图，中，，，，平分．M、N分别是、上的点，则的最小值是________．12．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________．13．如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，）14．试判断下列各组以为三边长的三角形是不是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角？(1)；(2)；(3)；(4)．15．如图，在中，，点在边上，连接，已知，，，求的长．16．某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响．(1)气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由．(2)若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？17．如图，在中，，点在上．(1)在上找一点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接，，若，，，求的长．18．数学活动课上，学习小组开展实践活动【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理．(1)已知：在中，，，，．求证：．证明：由图可知．______，______，______，，化简得．(2)【深入思考】如图2，用两个（1）中的直角三角形拼成一个梯形．求证：．(3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示的风车．若，，风车外围轮廓（实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分）19．如图，在中，，，D是线段上一点，连接，，，则的长为___．20．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________．21．如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑）22．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，且．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要_____．23．如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，）24．如图，在中，过点作于点，点在线段上，且．已知，，．

(1)求线段的长；(2)试判断的形状，并说明理由．25．我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导：(1)问题解析：如图1，作线段为线段上一动点，设，则，以为边作直角三角形，，再构造，求出得长度即可求出的最小值=__________；(2)类比迁移：已知均为正数，且，，求的最小值；(3)方法应用：如图2，在中，，已知．过点作垂足为，若，求的最小值．26．综合与实践定义：如图1，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．【初步感知】(1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则_______；【深入探究】(2)如图2，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点．【拓展延伸】(3)如图3，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请直接写出的长．参考答案A卷（共100分）一、单项选择题。1．C解：∵在中，，∴为斜边，，为直角边，∴．2．C解：在中，，，．3．D解：A选项的数均为分数，B、C选项含无理数，均不是正整数，不是勾股数；D选项中8,15,17均为正整数，且，是勾股数．4．D解：如图，根据题意，得，，，，，，∴，∵，∴，又，，∴，∴含有问号的那个正方形的面积是17．5．A解：设直角三角形的斜边长为c，较短的直角边长为b，较长的直角边长为a，根据题意，得，，，小正方形的边长为，∴，解得或负值舍去；故，即小正方形的面积是4．6．D解：∵中为斜边，，∴，∵，∴，将代入上式，得，∴．7．A解：由折叠的性质可知．设，则，．在中，，由勾股定理得，即，解得，．8．B解：如图所示：铅笔斜放在圆柱形笔筒内的时候，铅笔在笔筒外面的长度最小，，，，由勾股定理得：，（负值已舍去），，答：铅笔在笔筒外面部分长度的最小值是．二、填空题9．解：∵直角三角形的两条直角边长分别为和，第三边为斜边，∴第三边长为，即这个直角三角形的第三边为.10．解：由折叠的性质可知，，设，则，在中，，，解得：，即．11．解：如图，在上截取，连接，∵平分，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，∵，当H，M，B三点共线时，取得最小值，且最小值为，根据垂线段最短，当时，取得最小值，设，则，由勾股定理，得，，故，解得，故，故的最小值是12．12．13解：如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为，∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长，由勾股定理得，，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是；故答案为：1313．解：正方形的面积为，，在中，，，由勾股定理得：，延长，过点作的延长线于点，四边形是正方形，，，，，，，，，在和中，，，，，，在中，由勾股定理得：．三、解答题14．（1）解：∵，最长边为，又，，∴，∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角；（2）解：∵，最长边为，又，，∴，∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角；（3）解：∵，最长边为和（长度均为），又，，∴，∴最长边所对的角不是直角，该三角形不是直角三角形；（4）解：设三边长的每份长度为（），则，，，最长边为，又，，∴，∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角．15．解：∵，，∴，∵，，∴，∴．16．(1)气象观测站受台风影响，过点C作于点D，、、，是直角三角形，，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，气象观测站受台风影响；（2）解：如图：距离台风中心及以内的地区会受到影响，时，正好影响C气象站，在直角三角形中，由勾股定理得：，∵，，（小时）．答：受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时．17．（1）解：如图所示，点即为所求作的点．（2）解：，，，，，，设，则，中，，，解得，．18．(1)；；(2)证明：由题意，第一种方法：，第二种方法：，，，；（3）解：由题意,如图,∵“数学风车”外围轮廓(图中实线部分)的总长度为,，设则，在中,，，将代入可得，，，∴小正方形的边长等于∴风车的面积为：．B卷（共50分）一、填空题19．解：过作于点，，，，设，则，，，，，，，，，即，，．20．34解：∵，∴，在和中，根据勾股定理得：，∴，∵，∴．21．20解：如图，将圆柱侧面展开，作点关于杯口上沿的对称点，连接，由对称性可得，，线段的长即为蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离，由题意得，，，，，在中，由勾股定理得．22．解：将长方体展开，连接，∵长方体的底面边长分别为和，高为4cm，点在边上，且，∴，根据“两点之间线段最短”得．23．解：在中，，，由折叠可知，，；在中，，，，，由折叠可知，，设，则，在中，，，解得：；二、解答题24．（1）解：设，则，，，在中，由勾股定理，得，即，解得，故的长为．(2)是直角三角形，理由如下：在中，，，由勾股定理，可得，在中，，，由勾股定理，可得，则，，故是直角三角形．25．（1）解：如图所示，过点A作，交的延长线于点F，连接交于点，∴，∴．∵，∴当三点共线时最小，即的最小值为；（2）解：如图所示，令，，则，，，，．∵，∴当三点共线时最小，即的最小值为；（3）解：如图所示，记与交于点，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴．设，则，根据