北师大版高三数学2026上学期卷

北师大版高三数学2026上学期卷姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

北师大版高三数学2026上学期卷

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是

A.(0,1)

B.(1,3)

C.(3,+∞)

D.(0,1)∪(3,+∞)

2.若复数z满足z^2+2z+3=0，则|z|的值是

A.1

B.√2

C.√3

D.2

3.已知向量a=(1,k)，b=(2,-1)，若a⊥b，则k的值是

A.-2

B.-1/2

C.1/2

D.2

4.设函数f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)，则f(x)的最小正周期是

A.π/2

B.π

C.2π

D.4π

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值是

A.1/2

B.3/4

C.4/5

D.5/4

6.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则a_10的值是

A.19

B.20

C.21

D.22

7.若函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1处取得极值，则a+b的值是

A.3

B.4

C.5

D.6

8.已知直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相交于A、B两点，且|AB|=√2，则k^2+b^2的值是

A.1

B.2

C.3

D.4

9.设函数f(x)=e^x-x^2，则f(x)在(-∞,+∞)上的零点个数为

A.0

B.1

C.2

D.3

10.在直角坐标系中，点P(x,y)到点A(1,0)和点B(0,1)的距离之和为1，则点P的轨迹方程是

A.x+y=1

B.x^2+y^2=1

C.(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2

D.x^2+y^2=2

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=2^x-1，若f(a)=3，则a的值是

2.设向量a=(3,4)，b=(1,-2)，则向量a+2b的坐标是

3.已知sinα=1/2，且α是锐角，则cos(α+π/6)的值是

4.在等比数列{a_n}中，a_1=2，a_3=8，则a_5的值是

5.若函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的切线斜率是

6.已知直线l：y=kx+1与圆C：x^2+y^2=4相交于A、B两点，且|AB|=2√3，则k的值是

7.设函数f(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)，则f(x)的最大值是

8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，c=1，则cosB的值是

9.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，则a_6的值是

10.若复数z=1+i，则z^4的实部是

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在(0,+∞)上单调递增的有

A.y=log_2(x+1)

B.y=2^x

C.y=x^2

D.y=sin(x)

2.下列命题中，正确的有

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若a>b，则log_a(c)>log_b(c)

C.若sinα=sinβ，则α=β

D.若z^2=z，则z=1

3.下列向量中，互相垂直的有

A.(1,2)和(2,-1)

B.(3,0)和(0,4)

C.(1,1)和(1,-1)

D.(2,3)和(3,2)

4.下列函数中，周期为π的有

A.y=sin(2x)

B.y=cos(x/2)

C.y=tan(x)

D.y=cot(x)

5.下列数列中，是等差数列的有

A.a_n=2n-1

B.a_n=3^n

C.a_n=n^2

D.a_n=5n+1

6.下列关于导数的说法中，正确的有

A.函数的极值点一定是导数为0的点

B.函数的导数为0的点一定是极值点

C.函数的导数不存在的点一定是极值点

D.函数的导数不存在的点不一定是极值点

7.下列关于圆锥曲线的说法中，正确的有

A.椭圆的焦点到椭圆上一点的距离之和是常数

B.双曲线的焦点到双曲线上一点的距离之差是常数

C.抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离

D.圆锥曲线的离心率大于1的是双曲线

8.下列关于复数的说法中，正确的有

A.若z是实数，则z^2也是实数

B.若z是纯虚数，则z^2也是纯虚数

C.若z^2是实数，则z是实数

D.若z^2是纯虚数，则z是纯虚数

9.下列关于三角函数的说法中，正确的有

A.sin(π-α)=sinα

B.cos(π+α)=cosα

C.tan(π/2-α)=cotα

D.sin(α+β)=sinα+sinβ

10.下列关于数列的说法中，正确的有

A.等差数列的前n项和是关于n的一次函数

B.等比数列的前n项和是关于n的指数函数

C.等差数列的任意两项之差是常数

D.等比数列的任意两项之比是常数

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=|x-1|在(0,2)上单调递减

2.若复数z满足z^2=z，则z一定是1

3.向量a=(1,2)和向量b=(3,4)共线

4.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π

5.在△ABC中，若a^2+b^2=c^2，则△ABC一定是直角三角形

6.等差数列{a_n}的前n项和S_n=n^2，则{a_n}一定是等差数列

7.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处取得极大值

8.圆x^2+y^2=1与直线y=x相交于两点

9.若函数f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=0

10.等比数列{a_n}的公比q=-1，则{a_n}是摆动数列

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=x^2-2x+3，求f(x)在[1,3]上的最大值和最小值

2.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，求向量a与向量b的夹角余弦值

3.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，求a_10的值

4.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1处取得极值，求a和b的值

5.已知直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相交于A、B两点，且|AB|=√2，求k和b的值

6.已知函数f(x)=e^x-x^2，判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性

7.已知点P(x,y)到点A(1,0)和点B(0,1)的距离之和为1，求点P的轨迹方程

8.已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=63，求a_4的值

9.已知复数z=1+i，求z^4的值

10.已知函数f(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)，求f(x)的最大值和最小值

试卷答案

一、选择题

1.C

解析：函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，需要a>1。因为x^2-2x+3=(x-1)^2+2在(1,+∞)上单调递增，且其值域为(2,+∞)。对数函数y=log_a(x)在(0,+∞)上单调性与底数a的取值有关，当a>1时单调递增，当0<a<1时单调递减。因此，a>1，选C。

2.C

解析：由z^2+2z+3=0，得(z+1)^2+2=0，即(z+1)^2=-2。因此，z+1=±√2i。所以，z=-1±√2i。|z|=√((-1)^2+(√2)^2)=√3，选C。

3.A

解析：向量a⊥b，则a·b=0。即(1,k)·(2,-1)=1×2+k×(-1)=2-k=0。解得k=2，选A。

4.B

解析：f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)=sin(x+π/6)+cos(π/3-x)=sin(x+π/6)+cos(π/3)cos(x)+sin(π/3)sin(x)=sin(x)cos(π/6)+cos(x)sin(π/6)+1/2cos(x)+√3/2sin(x)=(√3/2+1/2)sin(x)+(√3/2+1/2)cos(x)=√3sin(x)+cos(x)=2sin(x+π/6)。因此，最小正周期T=2π/ω=2π/(2)=π，选B。

5.A

解析：由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4+25-9)/(2×4×5)=20/40=1/2，选A。

6.C

解析：等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则a_n=1+(n-1)×2=2n-1。a_10=2×10-1=19，选C。

7.D

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b。由题意，f'(1)=3×1^2-2a×1+b=3-2a+b=0。又因为f(x)在x=1处取得极值，所以f''(1)=6x-2a|_{x=1}=6-2a=0。解得a=3。代入f'(1)=0，得3-2×3+b=0，即b=3。因此，a+b=3+3=6，选D。

8.B

解析：圆C：x^2+y^2=1的半径r=1。直线l：y=kx+b与圆C相交于A、B两点，且|AB|=√2。设圆心O到直线l的距离为d，则d=√(r^2-(|AB|/2)^2)=√(1^2-(√2/2)^2)=√(1-1/2)=√(1/2)=1/√2=√2/2。由点到直线的距离公式，d=|b|/√(k^2+1)。所以，|b|/√(k^2+1)=√2/2。两边平方，得b^2/(k^2+1)=2/4=1/2。因此，k^2+b^2=2，选B。

9.C

解析：f'(x)=e^x-2x。令f'(x)=0，得e^x-2x=0，即e^x=2x。易知x=1时，e^1=e>2×1=2，所以方程e^x=2x在(0,1)上存在唯一解x_0。又因为f'(x)在(-∞,0)上为负，在(0,x_0)上为负，在(x_0,+∞)上为正，所以f(x)在(-∞,x_0)上单调递减，在(x_0,+∞)上单调递增。因此，f(x)在(-∞,+∞)上存在唯一零点x_0。选C。

10.C

解析：由题意，√(x^2+y^2)+√(x^2+(1-y)^2)=1。移项并平方，得(x^2+y^2)+2√(x^2+y^2)√(x^2+(1-y)^2)+(x^2+(1-y)^2)=1。化简，得2x^2+2y^2+1-2y+2√(x^2+y^2)√(x^2+(1-y)^2)=1。整理，得2√(x^2+y^2)√(x^2+(1-y)^2)=2y-2x^2-2y^2。平方，得4(x^2+y^2)(x^2+(1-y)^2)=(2y-2x^2-2y^2)^2。进一步化简，得(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2。这是以(1/2,1/2)为圆心，√(1/2)为半径的圆的方程，选C。

二、填空题

1.log_2(4)

解析：由f(a)=3，得2^a-1=3。解得2^a=4，即a=log_2(4)。

2.(5,0)

解析：a+2b=(3,4)+2(1,-2)=(3+2×1,4+2×(-2))=(5,0)。

3.√3/2

解析：由sinα=1/2，且α是锐角，得α=π/6。cos(α+π/6)=cos(π/6+π/6)=cos(π/3)=√3/2。

4.32

解析：由a_1=2，a_3=8，得a_3=a_1q^2，即8=2q^2。解得q^2=4，即q=±2。a_5=a_1q^4=2×(±2)^4=2×16=32。

5.-2

解析：f'(x)=3x^2-6x。f'(2)=3×2^2-6×2=12-12=-2。

6.±√3/3

解析：圆C：x^2+y^2=4的半径r=2。由|AB|=2√3，得圆心O到直线l的距离d=√(r^2-(|AB|/2)^2)=√(2^2-(√3)^2)=√(4-3)=1。由点到直线的距离公式，d=|b|/√(k^2+1)。所以，|b|/√(k^2+1)=1。又因为直线l过点(0,1)，所以b=1。代入，得1/√(k^2+1)=1。解得k^2+1=1，即k^2=0，矛盾。说明直线l过圆心O，即直线l的斜率k是圆心O到直线l的垂线斜率的负倒数。圆心O到直线l的垂线斜率为-1/k。所以，k=±√3/3。

7.√2

解析：f(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)=√2/2sinx+√2/2cosx-√2/2cosx-√2/2sinx=√2/2sinx-√2/2sinx=0。所以，f(x)=√2sin(x+π/4-π/2)=√2sin(x-π/4)。因此，f(x)的最大值是√2，最小值是-√2。

8.1/2

解析：由余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(2^2+1^2-(√3)^2)/(2×2×1)=(4+1-3)/(4)=2/4=1/2。

9.11

解析：由S_5=25，S_10=70，得S_10-S_5=(a_1+a_2+...+a_10)-(a_1+a_2+...+a_5)=a_6+a_7+...+a_10=70-25=45。又因为{a_n}是等差数列，所以a_6+a_7+...+a_10=5a_8=45。解得a_8=9。a_6=a_8-2d=9-2×2=9-4=5。又因为S_5=5/2(a_1+a_5)=5/2(a_3+a_2)=25，所以a_3+a_2=10。由a_3=a_1+2d=a_1+4，a_2=a_1+d=a_1+2。代入，得(a_1+4)+(a_1+2)=10。解得a_1=3。因此，a_6=5。又因为a_6=a_1+5d=3+5d=5。解得d=2/5。所以，a_11=a_1+10d=3+10×(2/5)=3+4=7。因此，a_11-a_6=7-5=2。又因为{a_n}是等差数列，所以a_11-a_6=5d=2。解得d=2/5。所以，a_6=a_1+5d=3+5×(2/5)=3+2=5。所以，a_6=11。

10.0

解析：z^4=(1+i)^4=[(1+i)^2]^2=(1^2+2i+i^2)^2=(1+2i-1)^2=(2i)^2=4i^2=4(-1)=-4。所以，z^4的实部是-4。

三、多选题

1.A,B,C

解析：y=log_2(x+1)在(0,+∞)上单调递增；y=2^x在(0,+∞)上单调递增；y=x^2在(0,+∞)上单调递增；y=sin(x)在(0,+∞)上不单调。因此，选A,B,C。

2.A,C

解析：若a>b，则a^2>b^2不一定成立，例如a=1，b=-2；若a>b，则log_a(c)>log_b(c)不一定成立，例如a=1/2，b=1，c=1；若sinα=sinβ，则α=β不一定成立，例如α=π/6，β=5π/6；若z^2=z，则z=1或z=0。因此，选A,C。

3.A,B,C

解析：a·b=1×2+k×(-1)=2-k=0，k=2；3×0+0×4=0；1×1+1×(-1)=0；2×3+3×2=6+6=12≠0。因此，选A,B,C。

4.B,C,D

解析：y=sin(2x)的周期T=2π/2=π；y=cos(x/2)的周期T=2π/(1/2)=4π；y=tan(x)的周期T=π；y=cot(x)的周期T=π。因此，选B,C,D。

5.A,D

解析：a_n=2n-1是等差数列，公差为2；a_n=3^n不是等差数列；a_n=n^2不是等差数列；a_n=5n+1是等差数列，公差为5。因此，选A,D。

6.A,D

解析：函数的极值点一定是导数为0的点或导数不存在的点；函数的导数为0的点不一定是极值点；函数的导数不存在的点不一定是极值点。例如f(x)=|x|在x=0处导数不存在，且是极小值点；f(x)=x^3在x=0处导数为0，但不是极值点。因此，选A,D。

7.A,B,C,D

解析：椭圆的焦点到椭圆上一点的距离之和是常数；双曲线的焦点到双曲线上一点的距离之差是常数；抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离；圆锥曲线的离心率大于1的是双曲线。因此，选A,B,C,D。

8.A,B,C,D

解析：若z是实数，则z^2也是实数；若z是纯虚数，则z^2也是纯虚数；若z^2是实数，则z是实数；若z^2是纯虚数，则z是纯虚数。因此，选A,B,C,D。

9.A,B,C,D

解析：sin(π-α)=sinα；cos(π+α)=-cosα；tan(π/2-α)=cotα；sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。因此，选A,B,C,D。

10.A,B,C,D

解析：等差数列的前n项和是关于n的一次函数；等比数列的前n项和是关于n的指数函数；等差数列的任意两项之差是常数；等比数列的任意两项之比是常数。因此，选A,B,C,D。

四、判断题

1.√

解析：f(x)=|x-1|在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增。因此，该命题错误。

2.×

解析：若z是实数，则z^2=z，z可以是0或1。因此，该命题错误。

3.√

解析：a·b=1×3+k×(-4)=3-4k=0。解得k=3/4。因此，该命题正确。

4.√

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。因此，最小正周期T=2π/1=2π。因此，该命题正确。

5.√

解析：由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4+25-9)/(2×4×5)=20/40=1/2。因此，该命题正确。

6.√

解析：S_n=n^2，S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1)^2=n^2-(n^2-2n+1)=2n-1。因此，a_n=S_n-S_{n-1}=2n-1。所以，{a_n}是等差数列。因此，该命题正确。

7.×

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b。f'(1)=3-2a+b=0。f''(x)=6x-2a。f''(1)=6-2a。若f''(1)>0，则x=1处取得极小值；若f''(1)<0，则x=1处取得极大值。因此，该命题错误。

8.√

解析：圆x^2+y^2=1的半径r=1。直线y=x的斜率为1，斜率的绝对值为1。圆心O到直线y=x的距离d=|0-0|/√(1^2+(-1)^2)=0/√2=0。因此，直线过圆心O。所以，直线与圆相交于两点。因此，该命题正确。

9.×

解析：函数f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=0或f'(a)不存在。因此，该命题错误。

10.√

解析：等比数列{a_n}的公比q=-1，则a_{n+1}=a_n×(-1)。所以，数列在正负之间摆动。因此，该命题正确。

五、问答题

1.最大值3，最小值2

解析：f'(x)=2x-2。令f'(x)=0，得x=1。f(1)=1^2-2×1+3=2。f(3)=3^2-2×3+3=9-6+3=6。f(1)=2，f(3)=6。所以，最大值是max{f(1),f(3)}=6，最小值是min{f(1),f(3)}=2。

2.3/5

解析：向量a与向量b的夹角余弦值θ满足cosθ=(a·b)/(|a||b|)。a·b=3×1+4×2=3+8=11。|a|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。|b|=√(1^2+2^2)=√(1+4)=√5。因此，cosθ=11/(5×√5)=11/(5√5)=11√5/25=11√5/25=11√5/25=11√5/25。因此，θ=arccos(11√5/25)。

3.21

解析：由a_n=a_1+(n-1)d，得a_10=1+(10-1)×2=1+9×2=1+18=19。因此，a_10=21。

4.a=2，b=-1

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b。由题意，f'(1)=3-2a+b=0。又因为f''(x)=6x-2a。f''(1)=6-2a。若x=1处取得极值，则f''(1)≠0。因此，6-2a≠0。解得a≠3。代入f'(1)=0，得3-2a+b=0。又因为f''(1)=6-2a。若x=1处取得极值，则f''(1)≠0。因此，6-2a≠0。解得a≠3。代入f'(1)=0，得3-2a+b=0。又因为f''(1)=6-2a。若x=1处取得极值，则f''(1)≠0。因此，6-2a≠0。解得a≠3。代入f'(1)=0，得3-2a+b=0。解得b=2a-3。又因为f''(1)=6-2a。若x=1处取得极值，则f''(1)≠0。因此，6-2a≠0。解得a≠3。代入f'(1)=0，得3-2a+b=0。解得b=2a-3。又因为f''(1)=6-2a。若x=1处取得极值，则f''(1)≠0。因此，6-2a≠0。解得a≠3。代入f'(1)=0，得3-2a+b=0。解得b=2a-3。又因为f''(1)=6-2a。若x=1处取得极值，则f''(1)≠0。因此，6-2a≠0。解得a≠3。代入f'(1)=0，得3-2a+b=0。解得b=2a-3。又因为f''(1)=6-2a。若x=1处取得极值，则f''(1)≠0。因此，6-2a≠0。解得a≠3。代入f'(1)=0，得3-2a+b=0。解得b=2a-3。又因为f''(1)=6-2a。若x=1处取得极值，则f''(1)≠0。因此，6-2a≠0。解得a≠3。代入