2026-2027学年广东省广州市实验学校高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省广州市实验学校高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知直线l1：mx+y=0，l2：3x+（2m-5）y+m+1=0（m∈R），若l1⊥l2，则m=（）A.-5 B. C.1 D.32.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形．若∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1=3，则AC1的长为（）A. B. C. D.53.经过两点A（4，2y+1），B（2，-3）的直线的方向向量为，则y=（）A.-1 B.-3 C.0 D.24.过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A.x-y+1=0 B.x+y-3=0 C.y=2x或x+y-3=0 D.y=2x或x-y+1=05.对于直线l：，现有下列说法：

①无论a如何变化，直线l的倾斜角大小不变；

②无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限；

③无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限；

④当a取不同数值时，可得到一组平行直线.其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.46.圆C：（x+3）2+（y-4）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）A.（x-4）2+（y+3）2=1 B.（x-4）2+（y-3）2=49

C.（x+4）2+（y-3）2=1 D.（x+4）2+（y+3）2=497.在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别是BC，A'D'的中点，下列说法错误的是（）A.四边形B'EDF是菱形

B.直线A'C与DE所成的角的余弦值是

C.直线AD与平面B'EDF所成角的正弦值是

D.平面B'EDF与平面ABCD所成角的正弦值是8.在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax+y-2=0与过定点Q的直线m：x-ay+2=0相交于点M，则点M到点（1，1）的距离的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知向量，，，则（）A. B.

C. D.10.下列说法正确的是（）A.截距相等的直线都可以用方程=1表示

B.方程x+my-2=0（m∈R）能表示平行y轴的直线

C.经过点（1，1），倾斜角为θ的直线方程为y-1=tanθ（x-1）

D.经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程（y2-y1）（x-x1）-（x2-x1）（y-y1）=011.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|=|AD|=1，|AA1|=2，动点P在体对角线BD1上（含端点），则下列结论正确的有（）A.当P为BD1中点时，∠APC为锐角

B.存在点P，使得BD1⊥平面APC

C.|AP|+|PC|的最小值2

D.顶点B到平面APC的最大距离为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量，，，若，，三向量共面，则实数λ=

.13.P（x,y）在线段AB上运动，已知A（2，4），B（5，-2），则的取值范围是

.14.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线AM与AB的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆E经过点A（0，0），B（1，1），C（2，0）.

（1）求圆E的一般方程；

（2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.16.(本小题15分)

已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0）.求：

（1）BC边上的中线所在直线的方程；

（2）BC边上的高所在直线方程；

（3）∠BAC平分线的方程.17.(本小题15分)

已知直线l1：x-y-1=0，直线l2：2x-y-4=0，l1与l2交于点A，点B（1，0）．

（1）求线段AB的垂直平分线的方程；

（2）求过A，B两点，且圆心在2x-y=0上的圆的标准方程．18.(本小题17分)

如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1．

（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；

（Ⅱ）求直线BE与直线DF所成角的余弦值；

（Ⅲ）求点D到直线BF的距离．19.(本小题17分)

在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，BP=1，，平面PBC⊥平面ABC，E为线段CP的中点.

（1）证明：AE⊥CP；

（2）在直线BC上是否存在点F，使得直线AF与平面ABP所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】BCD

10.【答案】BD

11.【答案】ABD

12.【答案】2

13.【答案】[-，]

14.【答案】

15.【答案】解：（1）设圆E：x2+y2+Dx+Ey+F=0，D2+E2-4F＞0，

因为圆E经过点A（0，0），B（1，1），C（2，0），

所以，

整理得，解得，可得圆E的一般方程为x2+y2-2x=0；

（2）设M（x,y），P（x0，y0），

结合M是线段AP的中点，可得，即，

因为点P是圆E上的点，所以，

即（2x）2+（2y）2-2（2x）=0，整理得x2+y2-x=0，

所以中点M的轨迹方程为．

16.【答案】解：（1）因为B（3，1），C（-1，0），

所以BC的中点坐标为（1，），又A（1，3），

所以BC边上的中线所在直线的方程为x=1；

（2），则BC边上的高所在直线的斜率为-4，

又A（1，3），所以BC边上的高所在直线方程为y-3=-4（x-1），

即4x+y-7=0；

（3）A（1，3），B（3，1），C（-1，0），

则，，

设∠BAC的角平分线所在直线的斜率为k,

则，即，

化简得k2+10k-1=0，解得k=或k=-5+，

由题意可得k＜0，则k=-5-，

则∠BAC平分线的方程为y-3=-（5+）（x-1），

即（5+）x+y-8-=0．

17.【答案】解：（1）直线l1：x-y-1=0，直线l2：2x-y-4=0，l1与l2交于点A，

可得，解得，所以A（3，2），点B（1，0）．

kAB==1，所以线段AB的垂直平分线的斜率为-1，

AB的中点（2，1），所以线段AB的垂直平分线的方程：y-1=-（x-2），即x+y-3=0；

（2）由，解得x=1，y=2，所以圆的圆心（1，2），圆的半径为：=2，

过A，B两点，且圆心在2x-y=0上的圆的标准方程：（x-1）2+（y-2）2=4．

18.【答案】解：（Ⅰ）证明：∵AE∥CF，AE⊄平面BFC，CF⊂平面BFC，

∴AE∥平面BCF，

∵AD∥BC，同理可得AD∥平面BFC，

又AD∩AE=A，∴平面BCF∥平面ADE，

∵BF⊂平面BFC，∴BF∥平面ADE；

（Ⅱ）以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），E（0，0，2），F（2，2，1），

则=（-2，0，2），=（2，-1，1），

cos＜，＞===-，

∴直线BE与直线DF所成角的余弦值为；

（Ⅲ）根据（Ⅱ）可知=（0，2，1），=（2，-1，1），

cos＜，＞===-，

∴sin＜＞==，

∴点D到直线BF的距离为||sin＜＞==．

19.【答案】（1）证明：作PM⊥BC于M，由平面PBC⊥平面ABC，且平面PBC⋂平面ABC=BC，得PM⊥平面ABC，∴PM⊥AM．

∵PB=1，BC=2，，由勾股定理得PC2+PB2=BC2，

所以∠BPC=90°，

∴，，，

在直角三角形APM中，由勾股定理可得，

又AC=2．∴AE⊥CP．

（2）解：在平面ABC内，过点M作HM⊥BC，垂足