北师大版数学 第四章 一次函数（高效培优单元测试·提升卷） 试卷 含答案

第四章一次函数（高效培优单元测试·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列函数中，不是一次函数的是（

）A． B． C． D．2．下列各点中，在直线上的点是（）A． B． C． D．3．已知汽车油箱中有油30升，行驶时油从油箱中均匀流出，流速为0.1升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系是（）A． B． C． D．4．已知一次函数的图象如图所示，则方程的解为（

）A． B． C． D．5．已知，，是直线为常数上的三个点，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．6．已知：是y关于x的一次函数，下列说法正确的是（

）A．当时， B．函数图象与y轴的交点为C．y随x的增大而增大 D．函数图象经过第一、二、三象限7．华氏温度规定：在一个标准大气压下，纯净的冰水混合物的温度为，（，读作华氏度），将（，读作摄氏度）之间划分为180等份，每一等份就是，已知与的换算公式为：．根据以上信息，下列说法错误的是（

）A．相当于B．每增加，相当于增加C．华氏度与摄氏度是一次函数关系D．小明的体温为，他的体温约为8．已知是的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（

）A． B． C． D．9．如图①，在中，，D为的中点，动点P从点A出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，则的长为（

）A．10 B．12 C．14 D．1610．如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序．a.运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）；b.小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地（小车行驶路程与时间的关系）；c.一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）；d.小明从地到地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离地的距离与时间的关系）．正确的顺序是（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是．12．已知点在一次函数的图象上，则的值为．13．已知一次函数，当时，函数的最大值为．14．如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是．（写出自变量的取值范围）15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是．16．如图，直线交轴于点，交轴于点，若点是轴上一点（不与点A重合），且，则点的坐标为．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．已知关于的函数解析式为（为常数）．(1)若是的正比例函数，求的值．(2)若，求该函数图象与轴的交点坐标．18．如图，直线与轴交于点，与轴于点．(1)求，两点的坐标；(2)过点作直线与轴负半轴交于点，且，求的面积．19．已知与成正比，且时，．(1)求关于的函数表达式；(2)当时，求的值；(3)将所得函数的图象平移，使它过点，求平移后图象的表达式．20．点在第一象限，且，点A的坐标为，设的面积为S．(1)用含x的式子表示S，并直接写出x的取值范围．(2)当点P的横坐标为5时，的面积为多少？(3)的面积能大于24吗？为什么？21．画出函数的图象．…01……1…(1)根据列表，．(2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接．(3)点，，中，在函数图象上的点是（填“”“”或“”）．(4)若点在函数的图象上，求出的值．22．某中学计划购买8副乒乓球拍和x本笔记本作为运动会的奖品，文具店出售一副乒乓球拍25元，一本笔记本4元．因预算有限，想尽可能地节省开支，文具店提供了两种优惠方案：甲方案：每购买一副乒乓球拍，赠送1本笔记本；乙方案：所有商品按总价的9折出售．(1)分别求出甲方案的实际付款金额与x的函数关系式，以及乙方案的实际付款金额与x的函数关系式；(2)如果你是本次运动会奖品采购员，你将如何选择这两种方案购物更省钱．23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．(1)求点和点的坐标以及的长；(2)求点和点的坐标；(3)轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．24．阅读与理解定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点，的“和谐点”．例如，，当点满足，，则称点是点，的“和谐点”．(1)直接写出点，的“和谐点”的坐标______；(2)已知点是点，的“和谐点”，当点向左平移3个单位，求点的像点的坐标；(3)点，点，点是点，的“和谐点”．①求与之间的函数关系式；②若直线交轴于点，当时，求点的坐标．25．建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到．模型应用：(1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标；(2)在（1）的条件下，求的面积；(3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

第四章一次函数（高效培优单元测试·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列函数中，不是一次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义逐项分析即可．【详解】解：A、满足一次函数的定义，故该选项不符合题意；B、满足一次函数的定义，故该选项不符合题意；C、满足一次函数的定义，故该选项不符合题意；D、不满足一次函数的定义，故该选项符合题意；故选：D2．下列各点中，在直线上的点是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．依据题意，将下列各选项中的点的横坐标代入解析式，如果左右两边的值相同，即为在直线上的点，据此计算判断得解．【详解】解：A．当时，，则点不在直线上，选项A不符合题意；B．当时，，则点在直线上，选项B符合题意；C．当时，，则点不在直线上，选项C不符合题意；D．当时，，则点不在直线上，选项D不符合题意．故选：B．3．已知汽车油箱中有油30升，行驶时油从油箱中均匀流出，流速为0.1升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查函数关系式，理解“剩余油量总油量流出油量”是正确解答的前提．根据“剩余油量总油量流出油量”，用代数式表示流出油量即可．【详解】解：根据“剩余油量总油量流出油量”可得，，故选：B．4．已知一次函数的图象如图所示，则方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据图象可得，一次函数的图象经过点，即当时，自变量的值就是对应的一元一次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：根据图象可得，一次函数的图象经过点，∴方程的解是，故选：．5．已知，，是直线为常数上的三个点，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出．本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．【详解】解：，随的增大而减小，又，，是直线为常数上的三个点，且，．故选：B．6．已知：是y关于x的一次函数，下列说法正确的是（

）A．当时， B．函数图象与y轴的交点为C．y随x的增大而增大 D．函数图象经过第一、二、三象限【答案】B【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的图象和性质，以及一次函数图象上点的坐标特征，一次函数解析式系数的几何意义，逐一判断选项，即可．【详解】解：∵，，∴y值随x值的增大而减小，故C错误，函数图象经过第一、二、四象限，故D错误当时，∴函数图象与y轴的交点为，故B正确，当时，，故A错误，故选：B．7．华氏温度规定：在一个标准大气压下，纯净的冰水混合物的温度为，（，读作华氏度），将（，读作摄氏度）之间划分为180等份，每一等份就是，已知与的换算公式为：．根据以上信息，下列说法错误的是（

）A．相当于B．每增加，相当于增加C．华氏度与摄氏度是一次函数关系D．小明的体温为，他的体温约为【答案】B【分析】本题考查了一次函数的应用，根据与的换算公式为，结合一次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．【详解】解：A、当时，，故相当于，此选项正确；B、由与的换算公式可得，每增加，相当于增加，此选项错误；C、由与的换算公式可得，华氏度与摄氏度是一次函数关系，此选项正确；D、当时，，解得，故小明的体温为，他的体温约为，此选项正确；故选：B．8．已知是的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，理解一次函数图象上点的坐标满足一次函数的表达式，及“姐妹点”的定义是解决问题的关键．先设直线上的“姐妹点”的坐标是，再根据“姐妹点”定义得，然后将点M代入之中求出m即可得出答案．【详解】解：设直线上的“姐妹点”的坐标是，则，∴，∴，∵点M是直线上的“姐妹点”，，∴，∴点，故答案为：D．9．如图①，在中，，D为的中点，动点P从点A出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，则的长为（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】A【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积公式，勾股定理，由题图②可知，当时，的面积最大，此时点运动到点，此时，利用三角形面积求出的长，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：由题图②可知，当时，的面积最大，此时点运动到点，．为的中点，，即，解得．在中，，故选：A．10．如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序．a.运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）；b.小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地（小车行驶路程与时间的关系）；c.一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）；d.小明从地到地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离地的距离与时间的关系）．正确的顺序是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了函数的图象，应首先看清横轴和纵轴表示的意义，以及图象的变化趋势，然后根据实际情况作出选择即可．【详解】解：a：运动员推出去的铅球的高度与时间的关系，因为铅球的高度是在运动员的身高的基础上变化的，且变化趋势为先变大在变小，故为第一个图象；b：小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地，因此小车的路程应从零开始，且小车行驶的路程会随时间的变化越来越大，故为第四个图象；c：一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加，弹簧的长度会随着所挂重物的质量的增加而变长，因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，故是第二个图象；d：小明从A地到B地这一过程，小明离A地的距离会随着时间的增长而增加；在“停留一段时间”这个过程中，小明离A地的距离不会变化；在“原速度原路返回”的过程中，小明离A地的距离会随着时间的增长而减小，一直到回到原地，故是第三个图象．综上，正确的顺序是，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是．【答案】第四象限【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．当，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．根据一次函数的解析式可得，，进而即可求解．【详解】解：∵，，，∴一次函数的图象不经过的象限是第四象限，故答案为：第四象限．12．已知点在一次函数的图象上，则的值为．【答案】【分析】本题考查了一次函数图像与性质、代数式的化简与求值等知识点，解题的关键在于利用点在函数图像上的条件将未知数之间的关系建立起来．根据点在函数图象上，将b用a表示，再代入代数式化简即可．【详解】解：将点坐标代入得，，则，所以，故答案为：．13．已知一次函数，当时，函数的最大值为．【答案】8【分析】本题考查一次函数的性质，掌握知识点是解题的关键．根据时，y随x的增大而减小，当时，函数取得最大值，即可求解．【详解】解：由，得一次函数的函数值随着x的增大而减小，∵，∴当时，函数的最大值为．故答案为：8．14．如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是．（写出自变量的取值范围）【答案】【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟知梯形的面积等于上底加下底乘高除以是解答的关键．根据是长方形知，，，若设，则，在梯形中，上底为，下底为，高为，根据梯形的面积计算公式即可得到答案，并根据不与、重合求出的范围．【详解】解：∵四边形是长方形，∴，，，∵，∴，∴．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是．【答案】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、、、、的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论．【详解】解：当时，有，解得，∴点的坐标为．∵四边形为正方形，∴点的坐标为．当时，有，解得：，∴点的坐标为．同理，可得出：，∴的纵坐标为（为正整数），∴点的纵坐标是．故答案为：．16．如图，直线交轴于点，交轴于点，若点是轴上一点（不与点A重合），且，则点的坐标为．【答案】或【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点，一次函数与几何综合，解题的关键在于根据建立等式．利用解析式求出点的坐标为，点的坐标为，设点的坐标为，再结合建立等式求解，即可解题．【详解】解：直线交轴于点，交轴于点，当时，，当时，，解得，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上一点（不与点A重合），且，点在点右侧，设点的坐标为，则，整理得，当时，，解得；当时，，解得；综上所述，点的坐标为或．故答案为：或．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．已知关于的函数解析式为（为常数）．(1)若是的正比例函数，求的值．(2)若，求该函数图象与轴的交点坐标．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数与轴的交点坐标；（1）由是的正比例函数，可得，再进一步求解即可；（2）由，可得．令，即，从而可得答案．【详解】（1）解：是的正比例函数，，解得．（2）解：∵，则．令，即，解得，该函数图象与轴的交点坐标为．18．如图，直线与轴交于点，与轴于点．(1)求，两点的坐标；(2)过点作直线与轴负半轴交于点，且，求的面积．【答案】(1)点A的坐标为，则点B的坐标为(2)12【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数与x轴，y轴的交点，直线围成时三角形面积，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．（1）分别令x，y为0即可得出点A，B两点的坐标；（2）画图结合三角形面积求解即可．【详解】（1）解：对于，当时，，解得：，则点A的坐标为，当时，，则点B的坐标为．（2）解：当点P在x轴的负半轴上时，如图，∵，∴，∴的面积．19．已知与成正比，且时，．(1)求关于的函数表达式；(2)当时，求的值；(3)将所得函数的图象平移，使它过点，求平移后图象的表达式．【答案】(1)关于的函数表达式为；(2)；(3)平移后图象的表达式为．【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的平移，（1）根据题意设；然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）把代入一次函数解析式可求得；（3）设平移后直线的解析式为，把点代入求出b的值，即可求出平移后直线的解析式．【详解】（1）解：依题意设∵时，，∴，解得∴关于的函数表达式为；（2）解：当时，；（3）解：将函数平移的表达式设为因为平移后的函数的图象经过点，所以，解得因此，平移后图象的表达式为．20．点在第一象限，且，点A的坐标为，设的面积为S．(1)用含x的式子表示S，并直接写出x的取值范围．(2)当点P的横坐标为5时，的面积为多少？(3)的面积能大于24吗？为什么？【答案】(1)(2)的面积为9(3)的面积不能大于24，理由见解析【分析】本题考查了一次函数的性质、三角形面积，坐标所在的象限，熟练掌握以上知识点是关键．（1）根据，将代入整理可得，根据条件确定x的取值范围即可；（2）将代入（1）中的解析式计算即可；（3）根据面积逆推x值，再根据x的取值范围进行判断即可．【详解】（1）解：和P点的坐标分别是、，，点P在第一象限，，，，，；，解得：；又点P在第一象限，，即x的范围为：，；（2），∴当时，．即当点P的横坐标为5时，的面积为9；（3）的面积不能大于24．理由如下：，，随x的增大而减小，又时，，当．即的面积不能大于24．21．画出函数的图象．…01……1…(1)根据列表，．(2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接．(3)点，，中，在函数图象上的点是（填“”“”或“”）．(4)若点在函数的图象上，求出的值．【答案】(1)(2)见解析(3)C(4)5【分析】本题考查画一次函数图像，列表，描点，判断点是否在函数上：（1）将值代入求解即可得到答案；（2）根据表描点，连线即可得到答案；（3）将点代入求解，比较判断即可得到答案；（4）将点代入求解即可得到答案．【详解】（1）解：当时，，∴故答案为：（2）解：描点并连接，画出图象如下：（3）解：当时，，当时，，当时，，∴点C在函数图象上，点A、B不在函数图象上，故答案为：C（4）解：∵点在函数的图象上，∴，解得：．22．某中学计划购买8副乒乓球拍和x本笔记本作为运动会的奖品，文具店出售一副乒乓球拍25元，一本笔记本4元．因预算有限，想尽可能地节省开支，文具店提供了两种优惠方案：甲方案：每购买一副乒乓球拍，赠送1本笔记本；乙方案：所有商品按总价的9折出售．(1)分别求出甲方案的实际付款金额与x的函数关系式，以及乙方案的实际付款金额与x的函数关系式；(2)如果你是本次运动会奖品采购员，你将如何选择这两种方案购物更省钱．【答案】(1)甲方案的实际付款金额与x的函数关系式为，乙方案的实际付款金额与x的函数关系式为；(2)当时，选择甲方案更省钱；当时，两种方案花费都一样；当时，选择乙方案更省钱【分析】本题考查了一次函数的应用．（1）根据所给优惠方案分别计算对应的函数关系式即可；（2）根据（1）所求，分三种情况讨论，计算即可得到答案．【详解】（1）解：由题意，得；；答：甲方案的实际付款金额与x的函数关系式为；乙方案的实际付款金额与x的函数关系式为；（2）解：当时，则有：，解得，∴当时，两种方案花费都一样，当时，则有：，解得，∴当时，选择乙方案更省钱，当时，则有：，解得，又∵，∴当时，选择甲方案更省钱，答：当时，选择甲方案更省钱；当时，两种方案花费都一样；当时，选择乙方案更省钱．23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．(1)求点和点的坐标以及的长；(2)求点和点的坐标；(3)轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1),，(2),(3)或【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键．（1）令，求出；令，求出；继而求出；（2）由折叠的性质可知，，，则，即；设，则，，依题意得，，计算求解，然后作答即可；（3）存在；由，可得，可求出，进而可求点坐标．【详解】（1）解：令，则，解得：，；令，则，；，，；（2）解：由折叠的性质可知，，，则，；设，则，，，解得：，；（3）解：轴上存在一点，使得，理由如下：，，解得：，点的坐标为或．24．阅读与理解定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点，的“和谐点”．例如，，当点满足，，则称点是点，的“和谐点”．(1)直接写出点，的“和谐点”的坐标______；(2)已知点是点，的“和谐点”，当点向左平移3个单位，求点的像点的坐标；(3)点，点，点是点，的“和谐点”．①求与之间