计量经济学第3章一元线性回归模型-第4章多元线性回归模型

第三章一元线性回归模型一元线性回归模型的表达及模型假设模型的参数估计对参数的性质进行讨论模型的统计检验模型的预测Eviews的使用方法12026/11/1一个引例消费这个随机变量在总体上是变异的或者是变化的。为什么有的家庭的消费水平低，有的家庭的消费水平高——收入水平、家庭成员的消费习惯、家庭所在的地理位置等影响消费。经济学理论认为，可支配收入的高低，决定了消费支出的水平。以上的分析说明，在4亿家庭消费这个总体中，消费与收入这两个变量之间，存在某种关系。回归分析的目的就是要描述总体中变量之间的关系。为此，我们首先应准确理解总体回归模型。2026/11/122026/11/13

X为每周家庭收入，总体：Y为家庭每周消费支出，单位为元。60户居民家庭每周家庭收入与消费支出数据

对应不同收入水平的60户家庭的每周消费Y

40801201602006080100120140160180200220240260280家庭每周收入X2026/11/14下图说明，收入X从80变化至280，这一变化解释了消费Y的总体的条件期望（均值）从65、89等变化至173。也就是说，X的变化解释了Y的总体的条件期望的变化（总体的平均变化）。或者说，X的变化，决定了Y的总体的平均变化。而X的变化解释（或决定）了Y的总体的平均变化，这正是回归分析的意义所在。因此，称这条线为总体回归模型。由于它是一条直线，故也称为总体回归直线。2026/11/15总体回归直线是X的函数，于是，根据条件期望的定义，Y的总体回归直线可以表述为：

引入随机扰动项U，以描述随机因素对消费Y的影响,

在给定X的条件下，Ui等于Yi与其总体条件均值的“距离”

从而可得变量Y为被解释变量，X为解释变量。或者Y称为因变量，X称为自变量，或Y称为回归元，X称为回归子。ui为随机扰动项或随机误差项。β1是总体回归直线的斜率，而β0为截距。为方便，将β0和β1统称为回归参数。计量经济学中的线性模型或线性总体，一般是指对参数而言的线性模型，或者是可以转换为关于参数是线性的模型。

一元线性回归模型是指模型中只有一个解释变量的模型，也称为简单线性回归模型，其一般形式是：Y为被解释变量，X为解释变量。因为模型中共有两个变量，所以，模型也被称为双变量线性回归模型，β0与β1为待估参数，ui为随机误差项或随机扰动项。

一、基本假定假定1：零均值假定---即在给定解释变量的条件下，随机扰动项的条件均值为零，即2026/11/16§1一元线性回归模型的表达及模型假设假定2：同方差（等方差）假定，即假定3：无自相关假定，即假定4：解释变量是外生变量。解释变量X是外生变量，是指在重复抽样中，X取固定不变的值。这一假定意味着我们的回归分析是条件回归分析，就是以解释变量X的给定值作为条件的。根据这一假定，有解释变量X与随机扰动项ui不相关，即：说明：在线性模型的推导过程中这一假设等同于解释变量是确定性变量。2026/11/17假定5：随机干扰项服从正态分布，即

ui~N(0,，

2)；

yi

N(β0+β1xi

，

)模型暗含假设回归模型对参数（系数）而言是线性模型：所谓线性回归模型是指关于参数是线性的模型。无论关于变量是线性还是非线性的模型，只要它关于参数（系数）是线性模型，都称为线性回归模型。比如：第一个模型变量、参数均为“线性”，这是线性回归模型；第二个模型参数“线性”，变量“非线性”，这也是线性回归模型；第三个模型变量“线性”，参数“非线性”，这就是一个非线性回归模型。模型是正确设定的：模型对变量和函数形式没有设定偏误。2026/11/18YXX1X2Xnf(u)随机误差项基本假定示意图以上这些对随机扰动项的假定是由德国数学家高斯（Gauss）最早提出的，也称为线性回归模型的经典假定或高斯假定，满足上述假定的线性回归模型，称为经典线性回归模型。高斯（Gauss）（1777－1855）浅薄的学识使人远离神，广博的学识使人接近神。数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。高斯2026/11/192026/11/110§2一元线性回归模型的参数估计估计出的参数要使残差的平方和最小,求解这一最小化问题，根据求极值的原理，应满足一、普通最小二乘法（OLS）2026/11/111可得到以下正规方程（Normalequation）：通过解上述正规方程组可以得到OLS估计量（estimator)：样本回归模型：

总体回归直线：样本回归直线：总体回归模型：残差二、残差的性质2026/11/112由最小二乘的正规方程残差的性质如下三、估计量的变形（模型的斜率）高斯-马尔柯夫定理：在CLRM假定下，在所有线性无偏估计量中，OLS估计量有最小方差，即OLS是BLUE（BestLinearUnbiasedEstimator）。先给出几个有用的公式：一、线性性：估计量是被解释变量或随机干扰项的线性函数。二、无偏性：证明：因为因此三、有效性2026/11/113§3回归参数最小二乘估计量的统计性质2026/11/114同理，截距的方差以及截距和斜率的协方差为：2026/11/115有效性证明（以β1的估计量为例）：综上所述，满足经典假设的一元线性回归模型的OLS估计量是有效估计量。一、模型方差的估计量2026/11/116§4参数估计量的抽样分布及模型方差的估计量下面分别求出各自的期望值：2026/11/117整理得到：这样，模型方差的无偏估计量为：二、估计量的抽样分布由于估计量是随机干扰项的线性函数，根据随机服从正态分布的假设，估计量在方差已知时服从正态分布，即：2026/11/118当模型方差未知时，用其无偏估计量代替：得到参数估计量的抽样分布为：一、回归参数的统计检验---t检验2026/11/119§5回归参数的统计检验及区间估计二、回归参数的区间估计0接受域-atc2n,2拒绝

H0区域-atc2n,2拒绝

H0区域置信度为（1-α），β1的区间估计：置信度为（1-α），β0的区间估计：一、平方和分解公式2026/11/120§6回归方程的拟合优度及显著性检验总离差平方和回归平方和残差平方和自由度二、拟合优度（样本决定系数）2026/11/121三、模型的拟合优度检验来源自由度df平方和SS均方MSF回归1RSSRMS=RSS/1F=RMS/EMS残差n-2ESSEMS=ESS/(n-2)

总和n-1TSS

回归分析的方差分析表(ANOVA）四、F与R2的关系一、点预测以

Ŷf

作为条件均值

E(Y|X=Xf)

或个值

Yf

的点预测值。1、均值

E(Yf)

的点预测

对总体回归函数

E(Y|X=Xi)=β0+β1Xi，当X=Xf

时，E(Y|X=Xf)=β0+β1Xf通过样本回归函数求得的拟合值为：于是可见，Ŷf是条件均值E(Y|X=Xf)的无偏估计。2、个值Yf

的点预测。对总体模型

，当X=Xf

时Ŷf

是Yf

点预测的预测误差均值为零，即§7预测2026/11/122二、区间预测关键问题是确定

Ŷf与

E(Yf)或个值

Yf之间的偏差的分布情况，即估计预测误差的分布情况。1、总体均值的预测区间2026/11/1232026/11/1242、yt的预测区间给定显著性水平α，由t分布表查临界值，可得置信度为（1-α）的Yf的预测区间为：2026/11/125

影响预测区间大小的因素（1）误差项的方差或标准差的大小：

误差项的方差或标准差越大，预测区间越大；反之越小。（2）样本容量n的大小：

样本容量越大，预测区间越窄，预测精度越高。区间预测的特点：（1）Y个值的置信区间宽于均值置信区间。（2）置信区间的宽度从样本均值处向两边对称地增加。2026/11/126§8Eviews软件介绍

Eviews软件安装数据输入模型估计结果输出2026/11/127第四章多元线性回归模型多元线性回归模型的表达及模型假设模型的参数估计对参数的性质进行讨论模型的统计检验模型的预测案例分析282026/11/1一、线性回归模型的一般形式其中

为被解释变量的第i个样本观测值，

为第j个解释变量的第i个样本观测值，

为随机干扰项。令则线性回归模型的矩阵形式为或其中模型的表达形式2026/11/129§1多元线性回归模型的表达及模型假设

二、影响随机干扰项的因素

省略变量、非线性、度量误差、不可预测影响等。三、模型假定假定1：零均值假定---即在给定解释变量的条件下，随机扰动项的条件均值为零，即假定2：2026/11/130

假设3

X为确定的矩阵，若为随机变量，则假设4

解释变量观测值矩阵列满秩暗含假设5

随机干扰项矩阵u服从多元正态分布假设暗含模型为线性模型且设定正确、所有变量没有设定误差。2026/11/1312026/11/132§2多元线性回归模型的参数估计2026/11/133残差为2026/11/134可以验证：正规方程为模型参数的最小二乘估计为：矩阵求导形式：一阶条件：二阶条件：几个表达式：一、线性性：估计量是被解释变量或随机干扰项的线性函数。二、无偏性：三、有效性：2026/11/135§3

回归参数最小二乘估计量的统计性质2026/11/136估计量的方差估计量的方差协方差矩阵表达设任意无偏估计由于是无偏估计可得这样因为任意无偏估计的方差协方差矩阵为2026/11/137有效性的证明由于DDT是非负定矩阵（主对角线元素为平方和），主对角线元素均大于零一、平方和分解公式2026/11/138§4σ2的估计量和拟合优度R2总离差平方和回归平方和残差平方和自由度二、拟合优度（样本决定系数）2026/11/139三、修正拟合优度（调整样本决定系数）四、σ2的估计量2026/11/140五、平方和的表达1、数据中心化2、平方和的表达2026/11/141RSS表达式推导一、参数估计量的抽样分布由于估计量是随机干扰项的线性函数，根据随机服从正态分布的假设，估计量在方差已知时服从正态分布，即：2026/11/142当模型方差未知时，用其无偏估计量代替：§5回归参数的显著性检验和置信区间得到参数估计量的抽样分布为：二、回归参数的统计检验---t检验2026/11/143二、回归参数的区间估计0接受域-atc2n,2拒绝

H0区域-atc2n,2拒绝

H0区域这样，置信度为（1-α）βi的区间估计为：

2026/11/144一、模型的拟合优度检验来源自由度df平方和SS均方MSF回归kRSSRMS=RSS/kF=RMS/EMS残差n-k-1ESSEMS=ESS/(n-k-1)

总和n-1TSS

回归分析的方差分析表(ANOVA）二、F与R2的关系§6模型的拟合优度检验---F检验一、模型形式及假设二、模型参数的OLS估计目标函数正规方程2026/11