电路第五版邱关源第15章电路方程的矩阵形式-第16章二端口网络

第15章电路方程的矩阵形式割集15.1关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵15.2矩阵A、Bf

、Qf

之间的关系15.3*回路电流方程的矩阵形式15.4结点电压方程的矩阵形式15.5列表法15.7*割集电压方程的矩阵形式15.6*首页本章重点重点

关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的概念回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程的矩阵形式返回15.1割集下页上页割集Q

连通图G中支路的集合，具有下述性质：把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。任意放回Q

中一条支路，仍构成连通图。876543219割集：(196)(289)(368)(467)(578)(36587),(3628)是割集吗？问题返回基本割集只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1

连支集合不能构成割集。下页上页注意876543219属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。当一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方程。返回下页上页注意对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独立割集，基本割集是独立割集，但独立割集不一定是单树支割集。返回15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵

图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：下页上页1.图的矩阵表示结点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵返回下页上页2.关联矩阵A

用矩阵形式描述结点和支路的关联性质。n个结点b条支路的图用nb的矩阵描述：Aa=n

b支路b结点

n每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。矩阵Aa的每一个元素定义为：注意ajkajk=1

支路k与结点j

关联，方向背离结点；ajk=-1

支路k与结点j关联，方向指向结点；ajk=0

支路k与结点j无关。返回下页上页例1２３６５４①②④③特点每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。Aa=1234123456支结-1-1100000-1-1011001100100-1-1矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。返回下页上页Aa=1234123456支结-1-1100000-1-1011001100100-1-1降阶关联矩阵A特点A的某些列只具有一个+1或一个－1，这样的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的行对应的结点可以当作参考结点。Aa=(n-1)

b支路b结点n-1返回下页上页关联矩阵A的作用用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程；设:以结点④为参考结点[A][i]=-1-1100000-1-101100010n-1个独立方程矩阵形式的KCL:

[A][i]=0返回下页上页用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程。设:返回下页上页2.回路矩阵B独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。[B]=l

b支路b独立回路

l注意每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。矩阵B的每一个元素定义为：bij1

支路j

在回路i中，且方向一致；-1

支路j

在回路i中，且方向相反；0

支路j

不在回路i中。返回下页上页例1２３６５４①②④③123取网孔为独立回路，顺时针方向

给定B可以画出对应的有向图。123[B]=123456支回011001000-11-11-100-10注意基本回路矩阵Bf

独立回路对应一个树的单连枝回路得基本回路矩阵[Bf]返回支路排列顺序为先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。下页上页

连支电流方向为回路电流方向；规定例选2、5、6为树，连支顺序为1、3、4

。1２３６５４①②④③231123[B]=134256支回100-1-100101010010-11BtBl=[1Bt

]返回下页上页回路矩阵[B]的作用用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程；设ulut[B][u]=100-1-100101010010-11l个独立KVL方程矩阵形式的KVL：[B][u]=0返回[Bf][u]=0ul+Btut=0ul=-

Btut设：连支电压可以用树支电压表示。用回路矩阵[B]T表示矩阵形式的KCL方程下页上页注意独立回路电流返回下页上页1２３６５４①②④③231矩阵形式的KCL：[B]T[il]=[i]注意树支电流可以用连支电流表出。返回下页上页3.基本割集矩阵[Qf]

割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。[Q]=(n-1)

b支路b割集数注意每一行对应一个基本割集,每一列对应一条支路.矩阵Q的每一个元素定义为：qij1

支路j

在割集i中，且与割集方向一致；-1

支路j

在割集i中，且与割集方向相反；0

支路j

不在割集i中。返回下页上页规定割集方向为树支方向；支路排列顺序先树支后连支；割集顺序与树支次序一致。基本割集矩阵[Qf]例1２３６５４①②④③选1、2、3支路为树Q1:{1,4,5}Q2:{2,5,6}Q3:{3,4,6}返回QlQt下页上页[Qf]=123456支割集Q1Q2Q3100110

0100-1-1

00110-11２３６５４①②④③基本割集矩阵[Qf]的作用用基本割集矩阵[Qf]表示矩阵形式的KCL方程。设返回矩阵形式的KCL：[Qf

][i]=0下页上页[Qf

][i]=100110

0100-1-1

00110-11２３６５４①②④③n-1个独立KCL方程返回设树枝电压（或基本割集电压）：ut=[u1u2u3]T用[Qf]T表示矩阵形式的KVL方程矩阵形式的KVL：[Qf

]T[ut]=[u]下页上页返回连支电压可以用树支电压表示。下页上页注意小结QABKCLKVL[A][i]=0[B]

T[

il]

=[i]ul=-

Btut[B][u]=0[Qf][i]=0[Q]T[

ut]=[u]返回对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：

三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。15.3*

矩阵A、Bf、Qf

之间的关系1.A与B

之间的关系下页上页返回对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有：2.Bf与Qf之间的关系下页上页对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：返回

对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵：3.A与Qf之间的关系下页上页返回下页上页例已知：12345[Bf]=10100-11010-10001求基本割集矩阵，并画出网络图。解1２３５４①②③返回15.4回路电流方程的矩阵形式

反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。

1.复合支路下页上页规定标准支路Zk(Yk)+-+-返回下页上页复合支路特点支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反；支路电压与支路电流的方向关联；支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。Zk(Yk)+-+-返回

复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。下页上页注意(ZkYk）(ZkYk）+-返回下页上页Zk(Yk)=0+-Zk(Yk)+-Zk(Yk)=0Zk(Yk)=0返回2.支路阻抗矩阵形式

电路中电感之间无耦合下页上页如有b条支路，则有：Zk(Yk)+-+-返回设[Z]=diag[Z1Z2……Zb]支路电流列向量支路电压列向量电压源的电压列向量电流源的电流列向量下页上页阻抗矩阵返回整个电路的支路电压、电流关系矩阵：bb阶对角阵下页上页返回下页上页电路中电感之间有耦合M*+-+-*+-+-返回下页上页返回下页上页如1支路至g支路间均有互感……………Z不是对角阵返回下页上页返回电路中有受控电压源下页上页

[Z]的非主对角元素将有与受控电压源的控制系数有关的元素。Zk(Yk)+-+-+-返回例下页上页写出图示电路的阻抗矩阵返回+R1R51/j

Cj

L2R6-j

L3M3.回路电流方程的矩阵形式回路电流[il](b-n+1)

1阶下页上页支路方程：返回回路电压源向量回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为互阻抗。回路矩阵方程下页上页返回从已知网络，写出回路分析法的步骤：求出列出回路方程求出由KCL解出根据支路方程解出下页上页小结返回例下页上页用矩阵形式列出电路的回路电流方程。解做出有向图，选支路1，2，5为树枝。15243121234512+R11/j

C5j

L4R2-j

L3返回下页上页

把上式各矩阵代入回路电流方程的矩阵形式返回1.支路导纳矩阵形式下页上页15.5结点电压方程的矩阵形式电路中不含互感和受控源Zk(Yk)+-+-返回下页上页返回bb阶对角阵下页上页返回下页上页电路中电感之间有耦合M*+-+-*+-+-返回下页上页返回下页上页电路中有受控电源Zk(Yk)+-+-返回下页上页Zk(Yk)+-+-返回考虑b个支路时：下页上页若：kjkjg返回下页上页若：kjjkjYb返回KCL下页上页2.结点电压方程的矩阵形式支路方程：KVL返回[Yn]结点导纳阵独立电源引起的流入结点的电流列向量下页上页返回结点分析法的步骤第一步：把电路抽象为有向图下页上页5V1

3A1A+-0.5

5

0.5

2

1

小结1①23456②③④返回第二步：形成矩阵[A]123[A]=1234561100010-1110000-101-1下页上页1①23456②③④第三步：形成矩阵[Y]第四步：形成[US]、[IS][US]=[-500000]T[IS]=[000-130]T返回第五步：用矩阵乘法求得结点方程下页上页返回例下页上页用矩阵形式列出电路的结点电压方程。解做出有向图52431２3１0返回

iS5guauaG5C3G4+-**ML2L1下页上页52431２3１0注意g的位置

iS5guauaG5C3G4+-**ML2L1返回代入下页上页返回下页上页*15.6割集电压方程的矩阵形式

割集电压是指由割集划分的两分离部分之间的一种假想电压。以割集电压为电路独立变量的分析法称为割集电压法。复合支路用导纳表示的支路方程：Zk(Yk)+-+-返回结合以上方程有：下页上页以树支电压为未知量返回

割集导纳矩阵，主对角线元素为相应割集各支路的导纳之和，总为正；其余元素为相应两割集之间共有支路导纳之和。割集电流源向量下页上页割集矩阵方程返回下页上页注意

割集电压法是结点电压法的推广，或者说结点电压法是割集电压法的一个特例。若选择一组独立割集，使每一割集都由汇集在一个结点上的支路构成时，割集电压法便成为结点电压法。小结割集分析法的步骤：选定一个树，写出计算，列出割集方程求出，由KVL解出根据支路方程解出返回例下页上页以运算形式列出电路的割集电压方程的矩阵形式，设动态元件的初始条件为零。解做出有向图，选支路1，2，3为树枝。15243Ut1Ut2Ut3R1C5L4R2L3返回下页上页用拉氏变换表示时，有：

代入割集方程：返回下页上页*15.7列表法1.矩阵分析法的局限性回路电流法不允许存在无伴电流源支路，且规定的复合支路不允许存在受控电流源；结点电压法和割集电压法不允许存在无伴电压源支路，且规定的复合支路不允许存在受控电压源。2.列表法

规定一个元件为一条支路，用阻抗描述电阻或电感支路，用导纳描述电导或电容支路。返回下页上页对于电阻或电感支路有：，或对于电导或电容支路有：或对于VCVS支路有：对于CCVS支路有：对于VCCS支路有：对于CCCS支路有：对于独立电源支路有：返回上页支路方程：，KCLKVL结点列表方程的矩阵形式：返回演讲完毕第16章二端口网络二端口网络16.1二端口的方程和参数16.2二端口的等效电路16.3二端口的转移函数16.4二端口的连接16.5回转器和负阻抗转换器16.6首页本章重点2.两端口的等效电路

重点1.两端口的参数和方程3.两端口的转移函数返回16.1二端口网络在工程实际中，研究信号及能量的传输和信号变换时，经常碰到如下两端口电路。放大器滤波器RCC下页上页

放大器反馈网络返回三极管传输线变压器n:1下页上页返回1.端口端口由一对端钮构成，且满足如下端口条件：从一个端钮流入的电流等于从另一个端钮流出的电流。N+

u1i1i12.二端口

当一个电路与外部电路通过两个端口连接时称此电路为二端口网络。N+

u1i1i1i2i2+

u2下页上页返回二端口网络与四端网络的关系二端口四端网络

Ni1i2i3i4下页上页N+

u1i1i1i2i2+

u2注意返回二端口的两个端口间若有外部连接，则会破坏原二端口的端口条件。1-1’2-2’是二端口3-3’4-4’不是二端口，是四端网络Ni1i1i2i211’22’Ri1

i2

i33’44’下页上页返回3.研究二端口网络的意义两端口的分析方法易推广应用于n端口网络；大网络可以分割成许多子网络（两端口）进行分析；仅研究端口特性时，可以用二端口网络的电路模型进行研究。下页上页4.分析方法分析前提：讨论初始条件为零的线性无源二端口网络；找出两个端口的电压、电流关系的独立网络方程，这些方程通过一些参数来表示。返回1.讨论范围：线性R、L、C、M与线性受控源，不含独立源。2.端口电压、电流的参考方向如图16.2二端口的方程和参数线性RLCM受控源i1i2i2i1u1+–u2+–下页上页约定返回端口物理量4个i1u1i2u2

端口电压电流有六种不同的方程来表示，即可用六套参数描述二端口网络。下页上页线性RLCM受控源i1i2i2i1u1+–u2+–注意返回1.Y

参数和方程采用相量形式(正弦稳态)。将两个端口各施加一电压源，则端口电流可视为电压源单独作用时产生的电流之和。即：Y

参数方程

Y参数方程下页上页+

+

N返回写成矩阵形式为：Y参数值由内部元件参数及连接关系决定。Y

参数矩阵

Y参数的物理意义及计算和测定输入导纳转移导纳下页上页注意+

+

N+

N返回转移导纳输入导纳Y→

短路导纳参数下页上页+

+

N+

N返回例1解求图示两端口的Y

参数。下页上页

Yb+

+

Ya

Yc

Yb+

Ya

Yc

Yb+

Ya

Yc返回例2解直接列方程求解下页上页求两端口的Y参数。jL+

+

R返回上例中有互易二端口四个参数中只有三个是独立的。互易二端口(满足互易定理)下页上页注意返回上例中，Ya=Yc=Y

时，Y11=Y22=Y+Yb对称二端口只有两个参数是独立的。

对称二端口是指两个端口电气特性上对称。电路结构左右对称的一般为对称二端口。结构不对称的二端口，其电气特性可能是对称的，这样的二端口也是对称二端口。对称二端口

对称二端口下页上页注意返回例解下页上页求图示两端口的Y

参数。3

6

3

15+

+

为互易对称两端口返回2.Z参数和方程

将两个端口各施加一电流源，则端口电压可视为电流源单独作用时产生的电压之和。即：Z

参数方程

Z

参数方程下页上页返回+

+

N也可由Y参数方程即：得到Z

参数方程。其中

=Y11Y22–Y12Y21其矩阵形式为：下页上页返回+

+

NZ

参数矩阵

Z

参数的物理意义及计算和测定Z

开路阻抗参数转移阻抗输入阻抗输入阻抗转移阻抗下页上页返回互易二端口满足:对称二端口满足:互易性和对称性下页上页例1求图示两端口的Z参数。

Zb

Za

Zc+

+

返回解法1下页上页

Zb

Za

Zc+

+

返回解法2列KVL方程：下页上页

Zb

Za

Zc+

+

返回例2解列KVL方程：下页上页求图示两端口的Z参数。+

Zb

Za

Zc+

+

返回例3求两端口Z、Y参数解下页上页+

**j

L1j

L2j

M+–R1R2返回并非所有的二端口均有Z、Y参数。

不存在下页上页注意Z+

+

返回

不存在均不存在下页上页Z+

+

**n:1+_u1+_u2i1i2返回3.T

参数和方程定义：T

参数也称为传输参数，反映输入和输出之间的关系。T

参数矩阵注意负号

T

参数和方程下页上页+

+

N注意返回

T

参数的物理意义及计算和测定开路参数短路参数转移导纳转移阻抗转移电压比转移电流比下页上页+

+

N返回由(2)得：Y参数方程互易性和对称性其中下页上页返回

互易二端口：对称二端口:例1即下页上页**n:1+_u1+_u2i1i2返回例2下页上页1

2

2

+

+

返回4.H

参数和方程H

参数也称为混合参数，常用于晶体管等效电路。

H参数和方程矩阵形式:下页上页返回

H

参数的物理意义计算与测定互易性和对称性

互易二端口：对称二端口:开路参数电压转移比入端导纳短路参数输入阻抗电流转移比下页上页返回例下页上页求图示两端口的H参数。

R1

R2+

+

返回16.3二端口的等效电路

一个无源二端口网络可以用一个简单的二端口等效模型来代替，要注意的是：等效条件：等效模型的方程与原二端口网络的方程相同；根据不同的网络参数和方程可以得到结构完全不同的等效电路；等效目的是为了分析方便。下页上页返回1.Z

参数表示的等效电路方法1、直接由参数方程得到等效电路。下页上页+

+

N+

+

Z22+

+

Z11返回+

方法2：采用等效变换的方法。如果网络是互易的，上图变为T型等效电路。下页上页+

+

Z11－Z12返回2.Y参数表示的等效电路方法1、直接由参数方程得到等效电路。下页上页+

+

Y11

Y22返回方法2：采用等效变换的方法。如果网络是互易的，上图变为

型等效电路。下页上页

－Y12

Y11＋Y12

Y22+Y12+

+

－Y12

Y11＋Y12

Y22+Y12+

+

返回等效只对两个端口的电压，电流关系成立。对端口间电压则不一定成立。一个二端口网络在满足相同网络方程的条件下，其等效电路模型不是唯一的；若网络对称则等效电路也对称。

型和T

型等效电路可以互换，根据其它参数与Y、Z参数的关系，可以得到用其它参数表示的

型和T

型等效电路。下页上页注意返回例绘出给定的Y参数的任意一种二端口等效电路解由矩阵可知：

二端口是互易的。故可用无源

型二端口网络作为等效电路。通过

型→T

型变换可得T型等效电路。下页上页

Yb+

+

Ya

Yc返回16.4二端口的转移函数

二端口常为完成某种功能起着耦合两部分电路的作用，这种功能往往是通过转移函数描述或指定的。因此，二端口的转移函数是一个很重要的概念。二端口转移函数下页上页

二端口的转移函数（传递函数），就是用拉氏变换形式表示的输出电压或电流与输入电压或电流之比。返回下页上页1.

无端接二端口的转移函数线性RLCM受控源I1

(s)I2(s)I2

(s)I1

(s)U1

(s)+–U2(s)+–

二端口没有外接负载及输入激励无内阻抗时的二端口称为无端接的二端口。电压转移函数电流转移函数转移导纳转移阻抗返回下页上页电压转移函数转移阻抗例给出用Z参数表示的无端接二端口转移函数。解Z参数方程：令：

I2(s)=0返回下页上页转移导纳电流转移函数令：

U2(s)=0注意

同理可得到用Y、T、H参数表示的无端接二端口转移函数。返回下页上页2.

有端接二端口的转移函数

二端口的输出端口接有负载阻抗，输入端口接有电压源和阻抗的串联组合或电流源和阻抗的并联组合，称为有端接的二端口。R2线性RLCM受控源I1

(s)I2

(s)U1

(s)+–U2(s)+–R1+–US

(s)双端接两端口返回下页上页R2线性RLCM受控源I1

(s)I2

(s)U1

(s)+–U2(s)+–+–US

(s)线性RLCM受控源I1

(s)I2

(s)U1

(s)+–U2(s)+–R1+–US

(s)单端接两端口返回下页上页注意

有端接二端口的转移函数与端接阻抗有关。例写出图示单端接二端口的转移函数。解R2线性RLCM受控源I1

(s)I2

(s)U1

(s)+–U2(s)+–+–US

(s)

返回下页上页转移阻抗转移导纳电流转移函数电压转移函数返回16.5二端口的连接

一个复杂二端口网络可以看作是由若干简单的二端口按某种方式连接而成，这将使电路分析得到简化。1.级联(链联)+

+

T下页上页P1+

+

P2+

+

返回设即级联后则下页上页返回则即：下页上页+

+

TP1+

+

P2+

+

返回

级联后所得复合二端口T

参数矩阵等于级联的二端口T

参数矩阵相乘。上述结论可推广到n个二端口级联的关系。下页上页结论注意级联时T

参数是矩阵相乘的关系，不是对应元素相乘。显然级联时各二端口的端口条件不会被破坏。返回例T1T2T3下页上页求两端口的T参数。4

6

4

+

+

解4

4

6

易求出返回则下页上页T1T2T34

4

6

返回2.并联P1+

+

+

+

P2+

+

并联采用Y

参数方便。下页上页返回Y

+

+

+

+

Y

+

+

下页上页并联后返回可得

二端口并联所得复合二端口的Y

参数矩阵等于两个二端口Y参数矩阵相加。下页上页结论返回两个二端口并联时，其端口条件可能被破坏，此时上述关系式将不成立。并联后端口条件破坏。1A2A1A1A4A1A2A2A0A0A4A1A1A4A10V5V+

+2A下页上页注意10

5

2.52.52.5返回具有公共端的二端口(三端网络形成的二端口)，将公共端并在一起将不会破坏端口条件。P1+

+

+

+

+

+

P2下页上页返回例下页上页R1R2R3R4R4R1R2R3返回3.串联P1+

+

+

+

P2+

+

串联采用Z

参数方便。下页上页返