2026秋北师9年级数学导教导学案18 核心素养专练

核心素养专练1.[转化思想]某市2023年年底自然保护区覆盖率(即自然保护区面积占全市土地面积的百分比)仅为4.85%，经过两年努力，该市2025年年底自然保护区覆盖率达到8%.设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为x，则可列方程为____________________.

4.85%(1＋x)2＝8%2.[数据分析观念、模型思想、应用意识]某厂家2025年1—5月份的口罩产量统计如图所示.设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程

(

)A.

180(1－x)2＝461

B.180(1＋x)2＝461

C.368(1－x)2＝442

D.368(1＋x)2＝442

B3.[方程思想](BS九上P56T5)(1)当x取什么值时，代数式x2－13x＋12的值等于0？

(2)当x取什么值时，代数式x2－13x＋12的值等于42？

(3)当x取什么值时，代数式x2－13x＋12的值与代数式

－4x2＋18的值相等？解：(1)依题意，得x2－13x＋12＝0，解得x1＝1，x2＝12，即当x＝1或x＝12时，代数式x2－13x＋12的值等于0.(2)依题意，得x2－13x＋12＝42，解得x1＝15，x2＝－2，即当x＝15或x＝－2时，代数式x2－13x＋12的值等于42.(3)依题意，得x2－13x＋12＝－4x2＋18，

解得x1＝3，x2＝－，即当x＝3或x＝－时，代数式x2－13x＋12的值与代数式－4x2＋18的值相等.4.[一元二次方程与勾股定理](BS九上P52T1)今有二人同所立.

甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.

问甲乙行各几何？(选自《九章算术》)

题目大意：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步.

乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.

相遇时，甲、乙各走了多远？解：设相遇所走的时间为x.依题意，得102＋(3x)2＝(7x－10)2，解得x1＝3.5，x2＝0(不合题意，舍去).∴7x＝3.5×7＝24.5，3x＝3.5×3＝10.5.答：甲走了24.5步，乙走了10.5步.5.[古代文学](BS九上P46T9)印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏.

八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮.

告我总数共多少，两队猴子在一起.”你能解决这个问题吗？解：设共有x只猴子.依题意，得

＋12＝x.解得x1＝16，x2＝48.答：共有猴子16只或48只.6.(BS九上P47T15)在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半.你能给出设计方案吗？

(1)小明的设计方案如图1所示，其中花园四周小路的宽

度都相等，求小路的宽度；

(2)小亮的设计方案如图2所示，其中花园每个角上的扇

形都相同，求图2中的x.解：(1)设小路的宽度为ym.依题意，得(16－2y)(12－2y)＝×16×12，解得y1＝2，y2＝12(不合题意，舍去).答：小路的宽为2m.(2)依题意，得4×πx2＝×16×12，解得x1＝－(不合题意，舍去)，x2＝.∴图2中的x为

.7.[动点与方程]如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动.几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？解：设xs后△DPQ的面积等于28cm2，则△DAP，△PBQ，△QCD的面积分别为cm2，cm2，cm2.依题意，得6×12－

×12x－×2x(6－x)－×6×(12－2x)＝28，即x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.答：2s或4s后△DPQ的面积等于28cm2.8.[韦达定理与几何综合](2025·禅城区月考)已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0.

(1)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；

(2)若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边长b，c恰好是这

个方程的两个根，求△ABC的周长.(1)证明：Δ＝[－(k＋2)]2－4×1×2k＝(k－2)2.∵无论k取何值，(k－2)2≥0，∴Δ≥0.∴无论k取任何实数，方程总有实数根.(2)解：①当b＝c时，则Δ＝0，即(k－2)2＝0，∴k＝2，方程可化为x2－4x＋4＝0.∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2.∴△ABC的周长＝a＋b＋c＝3＋2＋2＝7；②当b＝a＝3时，∵x2－(k＋2)x＋2k＝0，∴(x－2)(x－k)＝0.∴x＝2或x＝k.∵另两边b，c恰好是这个方程的两个根，∴k＝b＝3.∴c＝2.∴△ABC的周长＝a＋b＋c＝3＋3＋2＝8.综上所述，△ABC的周长为7或8.9.[数学模型]社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示.

已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为xm的道路.

已知铺花砖的面积为640m2.(1)求道路的宽为多少米.解：(1)依题意，得(52－2x)(28－2x)＝640，整理，得x2－40x＋204＝0，解得x1＝34(不合题意，舍去)，x2＝6.答：道路的宽为6m.(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车