2026秋北师9年级数学导教导学案5 第5课　解一元二次方程(公式法)

第5课解一元二次方程(公式法)一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0).1.将x2＋4＝5x化为一元二次方程的一般形式：________________；其中a＝______，b＝______，c＝_____.

x2－5x＋4＝01－54一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：x＝________________.

(其中b2－4ac记作Δ，且Δ≥0) 解：方程化为x2－3x－4＝0.Δ＞0⇒x1≠x22.用公式法解一元二次方程：x2－3x＝4.

∵a＝1，b＝－3，c＝－4.Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－4)＝25＞0.∴

x1＝4，

x2＝－1.∴x＝

.3.用公式法解方程：5x2＋1＝6x.解：方程化为5x2－6x＋1＝0. ∵a＝5，b＝－6，c＝1，

Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×5×1＝16>0，

∴x＝. ∴x1＝1，x2＝

.解：方程化为x2＋2x＋1＝0，4.用公式法解方程：x2＋1＝－2x.

Δ＝0⇒x1＝x2＝－∵a＝1，b＝2，c＝1，Δ＝b2－4ac＝22－4×1×1＝0，∴x1＝x2＝－

＝－

＝－1.5.用公式法解方程：4x2＝4x－1.解：方程化为4x2－4x＋1＝0. ∵a＝4，b＝－4，c＝1，

Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝0，

∴x1＝x2＝－

.解：方程化为2x2－2x＋1＝0.6.

用公式法解方程：2x(x－1)＋1＝0.

Δ＜0⇒方程无实根∵a＝2，b＝－2，c＝1.Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×2×1＝－4＜0.∴方程无实数根.7.用公式法解方程：3x(x－2)＋8＝0.解：方程化为3x2－6x＋8＝0. ∵a＝3，b＝－6，c＝8，

Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×3×8＝－60<0，

∴方程无实数根.课堂总结：

(1)公式法解一元二次方程的步骤：①化成一般式，确定a，b，c的值；②计算Δ；③当Δ≥0时，代入求根公式求解；当Δ＜0时，无实数解；(2)公式法也叫作“万能法”，能解所有一元二次方程，Δ有三种情况：Δ>0，Δ＝0，Δ<0.8.解方程：2x2＋4x－1＝0.解：∵a＝2，b＝4，c＝－1，Δ＝b2－4ac＝42－4×2×(－1)＝24>0，

∴x＝

.∴x1＝

，x2＝

.9.解方程：x2＝2x＋3.解：方程化为x2－2x－3＝0.∵a＝1，b＝－2，c＝－3，Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－3)＝20>0，∴x＝

.∴x1＝，

x2＝.10.方程x2＋x－1＝0的根是

(

)

A.1－B.

C.－1＋

D.11.(2025·南海区期中)一个三角形的两边长分别为5和8，第三边长是方程x2－8x＋15＝0的根，则该三角形的周长为

5.D1812.

阅读材料：为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看作一个整体，然后设x2－1＝y，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0(①)解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，x＝±

；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，x＝±

.故原方程的解为x1＝

，x2＝－

，x3＝

，x4＝－

.(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程(x2＋x)2＋(x2＋x)－6＝0.换元即x2＋x＋3＝0.∵Δ＝b2－4ac＝1－4×1×3＝－11＜0，∴x2＋x＋3＝0无实数根.当y＝2时，x2＋x＝2，即x2＋x－2＝0.解