2026秋北师9年级数学导教导学案6 第6课　正方形的判定

第6课正方形的判定图形正方形的判定(1)正方形的判定(2)正方形的判定(3)正方形的判定(4)有一组邻边_____的矩形是正方形对角线_________的矩形是正方形有一个角是_____的菱形是正方形对角线_____的菱形是正方形相等互相垂直直角相等1.(2025·龙岗区期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是

()A.OA＝BDB.AB⊥BDC.AD＝BDD.AC＝BDD2.(2025·宝安区月考)如图，在▱ABCD中，AC＝BD．再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的是

()A.AB＝BCB.∠ABC＝90°C.AC⊥BDD.∠ABD＝∠CBDB3.

(BS九上P19例2)如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC.∴▱BECF是菱形．在△EBC中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°.∴四边形BECF是正方形．∴∠EBC＝

∠ABC＝45°，∠ECB＝

∠DCB＝45°.4.(BS九上P27T13)已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：四边形CEDF是正方形．证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠FCD＝∠ACB＝45°.∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°.在Rt△FCD中，∠FDC＝90°－∠FCD＝45°，∴∠FCD＝∠FDC.∴FC＝FD.∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°.∴∠DFC＝∠FCE＝∠DEC＝90°.∴四边形CEDF是矩形．又∵FC＝FD，∴四边形CEDF是正方形．5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O.若添加一个条件后，可使得四边形ABCD是正方形，则添加的条件可以是_______________________.(不再增加其他线条和字母)AC＝BD(答案不唯一)6.如图，已知▭ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件后，▭ABCD不一定是正方形的是

(

)A.AB＝AD，AC＝BD

B.AB＝BC，AC⊥BD

C.∠BAD＝90°，AC⊥BD

D.∠AOD＝90°，AO＝DOB7.(2025·东莞三模)如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，E是边CD的延长线上的动点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F.(1)求证：四边形ABCD是正方形；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形．又∵AB⊥BC，∴∠B＝90°.∴四边形ABCD是正方形．(2)当F是AE的中点，且CE＝8时，求四边形ABCD的面积．解：如图，连接AC.∵CF⊥AE，F是AE的中点，∴CF是线段AE的垂直平分线．∴AC＝CE＝8.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2，∴AD2＝AC2＝×(8)2＝64.∴四边形ABCD的面积＝AD2＝64.8.

(BS九上P22T4改编)如图，E，F，P，Q分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE．求证：

(1)EF＝FP＝PQ＝QE；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠D＝90°.∵AP＝AB－BP，DF＝AD－AF，BP＝AF，∴AP＝DF.∴△APF≌△DFE(SAS)，∴FP＝EF，同理PF＝PQ＝QE.∴EF＝FP＝PQ＝QE.在△APF和△DFE中，(2)四边形EFPQ是正方形．证明：由(1)知四边形EFPQ是菱形．∵△APF≌△DFE，∴∠AFP＝∠DEF.∵∠DEF＋∠DFE＝90°，∴∠AFP＋∠DFE＝90°.∴∠PFE＝90°，∴四边形EFPQ是正方形．9.(2025·原阳县期末)综合与实践

【问题情境】

如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.【猜想证明】(1)求证：四边形DEFG是正方形．【解决问题】(2)求∠DCG的度数；(3)已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长．(1)证明：如图，过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N.∴∠EMC＝∠ENC＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°.∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°.∴NE＝NC.∴四边形EMCN是正方形．∴∠MEN＝90°，EM＝EN.∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEN＋∠NEF＝90°＝∠FEM＋∠NEF.∴∠DEN＝∠FEM.在△DEN和△FEM中，∴△DEN≌△FEM(ASA).∴ED＝EF.∴四边形DEFG是正方形．(2)解：∵矩形DEFG是正方形，∴DE＝DG，∠EDC＋∠CDG＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°，AD＝DC，∠ADE＋∠EDC＝90°.∴∠ADE＝∠CDG.∴△ADE≌△CDG(SAS).∴∠DCG＝∠DAE＝45°.(3)解：①当点F在线段BC上时，如图．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC＝BC＝4.∵四边形EMCN是正方形，∴EM＝MC＝NC.∴BC－MC＝DC－NC，即BM＝DN.由(1)得△DEN≌△FEM，∴DN＝FM.∴BM＝FM＝＝＝1.∴MC＝MF＋FC＝1＋2＝3.∴EC＝＝MC＝3，AC＝＝BC＝4.由(2)得△ADE≌△CDG，∴CG＝AE＝AC－EC＝4－3＝；②当点F在线段BC的延长线上时，如备用图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥DC于点N.同理