北师大版数学 第1章 勾股定理基础过关测 试卷 含答案

第1章勾股定理基础过关测试卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=A．3 B．4 C．5 D．122．如果下列各组数分别是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是（）A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，63．下列给出的四组数中，是勾股数的是（

）A．2，3，4 B．3，4，−5 C．0.5，1.2，1.3 D．9，40，414．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a2−bA．∠C是直角 B．∠B是直角 C．∠A是直角 D．∠A是钝角5．钟摆实验中，钟摆摆锤可看作一个点．如图，当摆锤静止时，它在点D处，当摆锤摆动到最高位置点B时，它离底座的垂直高度BF=2cm，此时摆锤与静止位置的水平距离BC=3cm，若AE=6cm，则钟摆ABA．3cm B．4cm C．5cm6．如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端4m处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（A．5m B．7m C．8m7．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（

）A．3 B．9 C．16 D．258．如图①，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四张这样的直角三角形纸片，把它们按如图②所示的方式放入一个边长为3的正方形中（纸片不重叠，无缝隙），则图②中阴影部分的面积为（

）A．45 B．35 C．4 9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，则正方形ABDE的面积为（

A．81 B．144 C．225 D．16910．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a−12+2b−132+c−5A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形 D．以c为底边的等腰三角形11．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（）A．70m B．80m C．90m D．100m12．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且S1=30,S3=75A．65 B．45 C．55 D．35填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）13．若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为．14．新情境

某中学在大门口的正上方离地2.1米的点A处装着一个红外线激光测温仪（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温，一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD为米．15．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是11、13、12、11，则最大正方形E的边长是．16．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE=1m，BE⊥FE，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD=3m，CD⊥AB），踏板离地的垂直高度CF=2m，CF⊥FE，它的绳索始终拉直，则绳索AC三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，若AC=8，AB=10．(1)求BC的长；(2)求△ABC的周长和面积．18．（8分）在△ABC中，∠C=90°，设AB=c，BC=a，AC=b．(1)已知a=8，b=15，求c；(2)已知c=13，b=5，求a．19．（8分）如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，若AB=4，BC=3，CD=8，DE=6，AE2=125．（1）求AC、CE的长；（2）求证：∠ACE=90°．20．（8分）为了绿化环境，我区某中学有一块空地四边形ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC=90°，CD=3米，AD=4米，AB=13米，BC=12米．(1)求出空地ABCD的面积；(2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？21．（8分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处4(1)求旗杆距地面多高处折断；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D22．（10分）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展：(1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____；(2)如图②，将长方形ABCD的四边AD、DC、CB、BA分别延长至E、F、G、H，使得DE=DC=BG=AB，CF=BC=AH=AD，连接EF、FG、GH、HE．①求证：EF=GH；②若AB=4，BC=3，则图中阴影部分图形的面积为_____．23．（10分）【问题背景】定义：如图，点M，N把线段AB分割成线段AM，MN，NB，若以线段AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．【知识运用】(1)已知点M，N把线段AB分割成线段AM，MN，NB，若AM=6，MN=10，BN=8，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；(2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN为直角边，若AB=30，BN=5，求AM的长．24．（12分）△ABC的三边长分别是a，b，c．(1)若△ABC为直角三角形，且a=5，b=12，则c=________；(2)设a=n2−1，b=2n，c=(3)如图，若a=8，b=6，c=10，分别以a，b为直径向外作半圆，以c为直径向上作半圆，直接写出图中阴影部分的面积．

第1章勾股定理基础过关测试卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=A．3 B．4 C．5 D．12【答案】C【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理直接计算即可；掌握勾股定理内容是关键．【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=A故选：C．2．如果下列各组数分别是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是（）A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理（判断三角形是否为直角三角形），解题的关键是对于每组边长，找出最长边，验证最长边的平方是否等于另外两边的平方和，若满足则为直角三角形．先确定每组选项中的最长边（直角三角形中最长边为斜边）；再分别计算最长边的平方，以及另外两边的平方和；比较两者是否相等，相等则该组边长能组成直角三角形，反之则不能．【详解】解：A、选项中三边长为1，2，2，最长边为2计算：22=4∵4≠5，∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意；B、选项中三边长为2，3，4，最长边为4计算：42=16∵16≠13，∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意；C、选项中三边长为3，4，5，最长边为5计算：52=25∵25=25，∴能组成直角三角形，此选项符合题意；D、选项中三边长为4，5，6，最长边为6计算：62=36∵36≠41，∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意；故选：C．3．下列给出的四组数中，是勾股数的是（

）A．2，3，4 B．3，4，−5 C．0.5，1.2，1.3 D．9，40，41【答案】D【分析】本题考查了勾股数的定义，准确理解其定义是解题的关键．根据勾股数的定义，需满足三个正整数且满足a2+b【详解】解：A：22+3B：三个数必须为正整数，−5不符合要求，故该选项不合题意；C：0.5，1.2，1.3均为小数，非正整数，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意；D：92+40故选：D．4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a2−bA．∠C是直角 B．∠B是直角 C．∠A是直角 D．∠A是钝角【答案】C【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；将a2−b【详解】由a2−b∴△ABC是直角三角形，且∠A是直角．故选：C．5．钟摆实验中，钟摆摆锤可看作一个点．如图，当摆锤静止时，它在点D处，当摆锤摆动到最高位置点B时，它离底座的垂直高度BF=2cm，此时摆锤与静止位置的水平距离BC=3cm，若AE=6cm，则钟摆ABA．3cm B．4cm C．5cm【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意可推出AC=4cm，然后在Rt【详解】解：根据题意可知，BC∥EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF=2cm∴CE=BF=2cm∴AC=AE−CE=6−2=4(在Rt△ABC中，∠∴AB=A故选：C．6．如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端4m处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（A．5m B．7m C．8m【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断部分的高度为x m，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：设折断部分的高度为x m，由勾股定理，得：x=3∴木杆折断之前的高度为：5+3=8m故选：C．7．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（

）A．3 B．9 C．16 D．25【答案】B【分析】本题考查的是勾股定理，由勾股定理和正方形的面积公式解答．【详解】解：由图可知正方形的边长为52∴正方形的面积为3×3=9，故选：B．8．如图①，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四张这样的直角三角形纸片，把它们按如图②所示的方式放入一个边长为3的正方形中（纸片不重叠，无缝隙），则图②中阴影部分的面积为（

）A．45 B．35 C．4 【答案】A【分析】本题考查勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．根据题意可知直角三角形纸片的斜边长为3，根据勾股定理可求出另一条直角边长，进而由三角形面积公式求解即可．【详解】解：由题意可知直角三角形纸片的斜边长为3，∵一条直角边长为2，∴另一条直角边长为32∴该直角三角形的面积为12∴图②中阴影部分的面积为45故选A．9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，则正方形ABDE的面积为（

A．81 B．144 C．225 D．169【答案】C【分析】此题主要考查了勾股定理以及正方形的面积求法，得出AB2【详解】解：因为∠C=90°,AC=12,BC=9，所以正方形ABDE的面积为AB2故选C．10．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a−12+2b−132+c−5A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形 D．以c为底边的等腰三角形【答案】B【分析】根据非负数的性质列方程，求出a、b、c的值，然后利用勾股定理逆定理判断即可．【详解】解：由题意得，a−12=0，b−13=0，c−5=0，解得a=12，b=13，c=5，∵122∴a∴∠ABC=90°，故选：B．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，还考查了勾股定理逆定理．关键是由非负数的性质，求出三角形三边之长．11．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（）A．70m B．80m C．90m D．100m【答案】D【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，AP=3×20=60m，BP=4×20=80【详解】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°，AP=3×20=60m，BP=4×20=80∴AB=A即20s后他们之间的距离为100m故选：D【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．12．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且S1=30,S3=75A．65 B．45 C．55 D．35【答案】B【分析】本题主要考查勾股定理，设直角三角形三边分别为a,b,c，根据勾股定理得a2+b2=【详解】解：如图，设直角三角形三边分别为a,b,c，根据勾股定理得：a2又S1∴S1∵S1∴S2故选：B．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）13．若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为．【答案】10或2【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键．根据题意，运用勾股定理，分类讨论计算即可．【详解】解：当这个直角三角形的两直角边长分别为6和8时，第三边为斜边，斜边长=6当这个直角三角形的一直角边长6、斜边长为8时，第三边为直角边，这条直角边的长=8故答案为：10或2714．新情境

某中学在大门口的正上方离地2.1米的点A处装着一个红外线激光测温仪（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温，一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD为米．【答案】1.3【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．过点D作DE⊥AB，则AE=0.5米，在Rt△ADE【详解】解：过点D作DE⊥AB，由题意知，AB=2.1米，BC=DE=1.2米，CD=BE=1.6米，∴AE=AB−BE=2.1−1.6=0.5（米），在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD=故答案为：1.3．15．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是11、13、12、11，则最大正方形E的边长是．【答案】47【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，由勾股定理得a2=11+13=24，b2【详解】解：如图，∵所有的三角形都是直角三角形，∴ab2∴c∴c=47∴最大正方形E的边长是47，故答案为：47．16．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE=1m，BE⊥FE，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD=3m，CD⊥AB），踏板离地的垂直高度CF=2m，CF⊥FE，它的绳索始终拉直，则绳索AC【答案】5【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．由题意可知，CF=DE=2m，BE=1m，CD=3m【详解】解：由题意可知，CF=DE=2m，BE=1m，∴BD=2−1=1m设AB=AC=xm，则AD=由勾股定理得：AD∴x−1解得：x=5，即绳索AC的长是5m故答案为：5．三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，若AC=8，AB=10．(1)求BC的长；(2)求△ABC的周长和面积．【答案】(1)BC的长为6(2)△ABC的周长等于24；△ABC的面积等于24【分析】本题考查了勾股定理，三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键；（1）利用勾股定理求解；（2）利用三角形的周长和面积公式求解．【详解】（1）∵∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=A∴BC的长为6．（2）△ABC的周长等于AB+BC+AC=10+6+8=24，△ABC的面积等于1218．（8分）在△ABC中，∠C=90°，设AB=c，BC=a，AC=b．(1)已知a=8，b=15，求c；(2)已知c=13，b=5，求a．【答案】(1)c=17(2)a=12【分析】本题考查了勾股定理；（1）由勾股定理得c=a（2）由勾股定理得a=c【详解】（1）解：∵∠C=90°，∴c===17；（2）解：∵∠C=90°，∴a===12．19．（8分）如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，若AB=4，BC=3，CD=8，DE=6，AE2=125．（1）求AC、CE的长；（2）求证：∠ACE=90°．【答案】（1）AC=5；CE=10；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）根据勾股定理的逆定理，求得△ACE为直角三角形，即可求解．【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=∴AC∵在Rt△EDC中，∠D=90°，CD=8，DE=6∴CE=（2）证明：∵AC2=25，C∴AE∴△ACE为直角三角形，∠ACE=90°【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的表达式是解题关键．20．（8分）为了绿化环境，我区某中学有一块空地四边形ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC=90°，CD=3米，AD=4米，AB=13米，BC=12米．(1)求出空地ABCD的面积；(2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？【答案】(1)24(2)9600元【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，根据勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键；（1）连接AC，利用勾股定理求得AC，再根据勾股定理的逆定理判断出∠ACB=90°，由S四边形（2）由总面积×每平米的费用求解即可．【详解】（1）解：连接AC，在Rt△ACDAC=A∵AC∴AC∴∠ACB=90°，∴S答：空地ABCD的面积为24m2（2）解：总共需投入24×400=9600（元），答：总共需投入9600元．21．（8分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处4(1)求旗杆距地面多高处折断；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D【答案】(1)旗杆距地面3米处折断(2)42【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先理解AC+BC=8米，因为AB=4米，把数值代入16+AC（2）先得出D点距地面AD=3−1=2（米），把数值代入AB【详解】（1）解：∵一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C∴AC+BC=8米，∵∠A=90°，∴AB又∵AB=4米，∴16+AC∴AC=3米，∴BC=5米，∴旗杆距地面3米处折断；（2）解：如图，D点距地面AD=3−1=2（米），∴B′∴AB22．（10分）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展：(1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____；(2)如图②，将长方形ABCD的四边AD、DC、CB、BA分别延长至E、F、G、H，使得DE=DC=BG=AB，CF=BC=AH=AD，连接EF、FG、GH、HE．①求证：EF=GH；②若AB=4，BC=3，则图中阴影部分图形的面积为_____．【答案】(1)6(2)①证明见解析；②37【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．（1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得a−b2=1,a（2）①由SAS可证△HBG≌△FDE，可得EF=GH；②由面积的和差关系可求解．【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，∴a−b2∴ab=12，∴每个朱实的面积=1故答案为：6；（2）①证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC,CD=AB,∠ADC=∠BCF=∠ABC=∠DAB=90°，∴∠EDF=∠GBH=90°，∵DE=DC=BG=AB,CF=BC=AH=AD，∴DF=BH，∴△HBG≌△FDESAS∴EF=GH；②解：∵AB=4,BC=3，∴DE=DC=BG=AB=4,CF=BC=AH=AD=3，∴阴影部分图形的面积=3×4+2×1故答案为：37．23．（10分）【问题背景】定义：如图，点M，N把线段AB分割成线段AM，MN，NB，若以