北师大版数学 第2章 实数能力提升测 试卷 含答案

第2章实数能力提升测试卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．下列各式中，与2是同类二次根式的是（

）A．3 B．5 C．8 D．142．如图，在数轴上表示15的点可能是（

）

A．点P B．点Q C．点M D．点N3．下列实数中，最大的数是（

）A．−1 B．5 C．π D．144．计算16的结果为（

）A．2 B．−4 C．4 D．85．下列说法正确的是（

）A．4的平方根是8 B．9的算术平方根是3C．8的立方根是2 D．立方根是它本身的数是16．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（

）A．−5 B．1−5 C．−1−57．如果32.37≈1.333,323.7≈2.872A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.13338．已知2<x<4，化简(x−2)2−x−4A．2 B．2x−6 C．2x+2 D．69．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（

）A．16−83 B．−12+83 C．8−4310．化去式子x2yxA．xxy B．−xxy C．−−xy11．已知：|a|=5，b2=7，且|a+b|=a+b，则A．2或−2 B．−2 C．−12 D．−2或−1212．若用x表示任意正实数的整数部分，例如：[2.5]=2，[2]=2，[2]=1，则式子[2]−[3]+[4]−[5]+⋯+[A．67 B．−22 C．68 D．−21填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）13．计算1+2202514．若x是3的小数部分，则代数式xx+2的值为15．观察下列各式：①1+13=213，②2+14=3116．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=pp−ap−bp−c．如图，在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别记为a、b、c，若三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）计算(1)32(2)7518．（10分）求x的值：(1)2x+12(2)1−x319．（10分）（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式a2（2）如果7的小数部分为a，13的整数部分为b，求a+b−720．（10分）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如2+12−1解决问题：(1)将15分母有理化得_______，1(2)x=5+25(3)利用上述方法，化简31+21．（10分）如图，在数轴上画一个边长为1的正方形OABC，然后以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴于点D．(1)点D表示的数是________，这个数是________（填“有理数”或“无理数”）；(2)通过画图说明了无理数________（填“能”或“不能”）用数轴上的点表示；(3)请你画出数轴，并在数轴上画出表示20的点M，说出你的画法．22．（12分）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b例：求3−22解：3−22=2−22+1=2你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）．(1)3+22=(2)10+83+22=(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4−23．（12分）成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式x2+1+4−x2+4x≥0的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD．连接AC、EC．已知AB=1，DE=2，BD=4．设BC=x【探究发现】（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得x2（2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式x2【拓展迁移】（3）请你用构图的方法试求4+x2

第2章实数能力提升测试卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．下列各式中，与2是同类二次根式的是（

）A．3 B．5 C．8 D．14【答案】C【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是将二次根式化为最简二次根式后，判断被开方数是否相同．先将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据“被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式”，判断哪个选项与2是同类二次根式．【详解】根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这些二次根式是同类二次根式．A、3已是最简二次根式，被开方数为3，与2的被开方数2不同，不是同类二次根式；B、5已是最简二次根式，被开方数为5，与2的被开方数2不同，不是同类二次根式；C、8=4×2=2D、14已是最简二次根式，被开方数为14，与2的被开方数2不同，不是同类二次根式．故选：C．2．如图，在数轴上表示15的点可能是（

）

A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】C【分析】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．利用无理数的估算得到3<15【详解】解：∵9<15<16，∴3<15即在数轴上表示15的点在3和4之间，∴在数轴上表示15的点可能是点M．故选：C．3．下列实数中，最大的数是（

）A．−1 B．5 C．π D．14【答案】D【分析】本题考查比较实数的大小，无理数的估值，对各个无理数进行估值后再比较大小即可．【详解】解：∵2<5<3，∴−1<5∴最大的数是143故选：D4．计算16的结果为（

）A．2 B．−4 C．4 D．8【答案】C【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义进行解答即可．【详解】解：16=4故选：C．5．下列说法正确的是（

）A．4的平方根是8 B．9的算术平方根是3C．8的立方根是2 D．立方根是它本身的数是1【答案】C【分析】本题考查平方根、立方根的定义，熟记平方根、立方根的定义逐项验证即可得到答案．【详解】解：A、4的平方根是±2，选项说法错误，不符合题意；B、9=3，3的算术平方根是3C、8的立方根是2，选项说法正确，符合题意；D、立方根是它本身的数是±1和0，选项说法错误，不符合题意；故选：C．6．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（

）A．−5 B．1−5 C．−1−5【答案】C【分析】本题考查了数轴与实数及勾股定理，能求出BD的长是解此题的关键．根据图示，可得：点A是以−1,0为圆心，以5为半径的圆与数轴的交点，再进一步确定a的值为多少即可．【详解】解：由勾股定理得：BD=2∴BA=BD=5∴点A是以−1,0为圆心，以5为半径的圆与数轴的交点，且在−1左侧，∴a=−1−5故选：C．．7．如果32.37≈1.333,323.7≈2.872A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333【答案】A【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答．【详解】解：∵323.7∴323700故选：A．8．已知2<x<4，化简(x−2)2−x−4A．2 B．2x−6 C．2x+2 D．6【答案】B【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值的性质．解题的关键是要考虑开方出来的数必须是非负数，化简绝对值后的数也是非负数．根据2<x<4，可知x−2>0，x−4<0，再根据二次根式的性质及绝对值的化简，然后合并同类项即可．【详解】解：∵2<x<4，∴x−2>0，x−4<0，∴(x−2)=x−2+x−4=2x−6，故选：B．9．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（

）A．16−83 B．−12+83 C．8−43【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出CD、BC的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出CD、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【详解】解：∵在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm∴小正方形边长为：12=23cm，大正方形边长CD∴BC=2∴图中空白部分的面积为：S长方形故选：B．10．化去式子x2yxA．xxy B．−xxy C．−−xy【答案】D【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的性质化简得出答案．【详解】解：x2故选：D．11．已知：|a|=5，b2=7，且|a+b|=a+b，则A．2或−2 B．−2 C．−12 D．−2或−12【答案】D【分析】本题主要考查了绝对值和二次根式，根据绝对值的性质和二次根式的性质可得：a=±5，b=±7，又因为|a+b|=a+b，根据非负数的绝对值等于它本身，可知a=5b=7或a=−5b=7，根据a、b的值求代数式【详解】解：∵|a|=5，b2∴a=±5，b=±7，∵|a+b|=a+b，∴a+b≥0，∴a=5b=7或当a=5时，b=7，则a−b=−2；当a=−5时，b=7，则a−b=−12．故选：D．12．若用x表示任意正实数的整数部分，例如：[2.5]=2，[2]=2，[2]=1，则式子[2]−[3]+[4]−[5]+⋯+[A．67 B．−22 C．68 D．−21【答案】B【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论．【详解】解：∵12=1∴2与3之间共有2∵22=4∴4与8之间共有(2×2+1)∵32=9∴9与15之间共有(3×2+1)⋯，∵442=1936∴1936与2024之间共有(2×44+1)[=(1−1)+(=0+2−3+4−5+⋯+44−45=2=−22．故选B．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）13．计算1+22025【答案】2−1/【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，积的乘方逆运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据积的乘方逆运算，将其变形为1+2【详解】解：1+====2故答案为：2−114．若x是3的小数部分，则代数式xx+2的值为【答案】2【分析】本题主要考查了无理数小数部分的表示，利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握无理数小数部分的表示．根据无理数的取值范围表示出小数部分，然后代入求值即可．【详解】解：∵1<∴x=3∴xx+2故答案为：2．15．观察下列各式：①1+13=213，②2+14=31【答案】n+1n+2=n+11【分析】本题考查了二次根式有关的规律题，观察等式左右两边的式子结构，即可得出第nn≥1【详解】解：①1+②2+③3+⋯，∴第nn≥1的式子为n+1n+2=n+1故答案为：n+1n+2=n+1116．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=pp−ap−bp−c．如图，在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别记为a、b、c，若【答案】24【分析】本题考查根式求值，根据题中所给公式，代入三角形的三边长度直接计算即可．【详解】解：p=a+b+c∴△ABC的面积S===246故答案为：246三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）计算(1)32(2)75【答案】(1)3(2)8【分析】本题考查了二次根式计算，熟练掌握二次根式的化简，灵活进行合并同类二次根式，二次根式的混合运算是解题的关键；先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】（1）解：32−=42=32（2）解：75+=53=8318．（10分）求x的值：(1)2x+12(2)1−x3【答案】(1)x=4或x=−5(2)x=5【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．（1）根据平方根的定义解方程即可；（2）根据立方根的定义解方程即可．【详解】（1）解：2x+122x+1=±9，2x+1=9或2x+1=−9，解得：x=4或x=−5；（2）解：1−x31−x31−x=−4，解得：x=5．19．（10分）（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式a2（2）如果7的小数部分为a，13的整数部分为b，求a+b−7【答案】（1）−2a−2b+c；（2）1【分析】本题考查了估算无理数的大小及实数与数轴，熟练掌握估算无理数的方法以及会根据数轴判定实数的大小是解题的关键．（1）根据数轴上a的位置，判断出a，b，c的取值范围，然后代入所求的式子中进行化简；（2）先估算出7与13的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可．【详解】解：（1）由数轴知c<a<0<b，a+b>0，∴a=−a−=−a−a−b−b+c=−2a−2b+c；（2）∵2<7<3，∴a=7−2，∴a+b−720．（10分）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如2+12−1解决问题：(1)将15分母有理化得_______，1(2)x=5+25(3)利用上述方法，化简31+【答案】(1)55，(2)322(3)27【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化．（1）利用分母有理化直接求解；（2）先利用分母有理化把x、y化简，然后再求它们的和与积，再利用完全平方公式变形求解即可；（3）先分母有理化，然后合并即可．【详解】（1）解：1516故答案为：55，6（2）解：∵x=5y=5xy=5∴x+y=18，∴x2故答案为：322；（3）解：3=3×=3×=3×=27．21．（10分）如图，在数轴上画一个边长为1的正方形OABC，然后以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴于点D．(1)点D表示的数是________，这个数是________（填“有理数”或“无理数”）；(2)通过画图说明了无理数________（填“能”或“不能”）用数轴上的点表示；(3)请你画出数轴，并在数轴上画出表示20的点M，说出你的画法．【答案】(1)2，无理数(2)能(3)详见解析【分析】本题考查了勾股定理，用数轴上的数表示无理数，尺规作图．（1）根据OB=OD及勾股定理求出OD=2（2）根据（1）即可得到结论；（3）根据20=25画出表示5的点，进而可画出表示20的点【详解】（1）由图可知OB=OD=12+∴点D表示的数是2，这个数是无理数故答案为：2，无理数（2）由（1）可知，无理数能用数轴上的点表示故答案为：能（3）因为20=2所以画法如下：①在数轴上画长方形OABC,OA=2,AB=1，使OA在数轴上且点A在原点右侧，点B在数轴的上方；②以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴于点D；③以点D为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数是20，如答图所示．证明：∵OA=2,AB=1∴OB=OD=∴DM=OD=∴OM=222．（12分）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b例：求3−22解：3−22=2−22+1=2你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）．(1)3+22=(2)10+83+22=(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4−【答案】(1)1+(2)4+(3)2【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．（1）将3+22变形为完全平方式2（2）先利用（1）中得到的结论，把3+22换成1+2，然后将18+82（3）先利用勾股定理表示出BC=16−83，同样仿造上面把16−83【详解】（1）解：原式====2故答案为：1+2（2）解：原式======4+2故答案为：4+2（3）解：根据题意，得BC=======2323．（12分）成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式x2+1+4−x2+4x≥0的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD．连接AC、EC．已知AB=1，DE=2，BD=4．设BC=x，则AC=【探究发现】（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得x2（2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式x2【拓展迁移】（3）请你用构图的方法试求4+x2【答案】（1）5；（2）13；（3）17【分析】本