浙江省精诚联盟2026届高三下学期第二次模拟练习数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省精诚联盟2026届高三下学期第二次模拟练习试题选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知复数，，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A2.已知全集为，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D3.已知且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A4.已知函数若，则实数（）A. B. C. D.【答案】B5.从数字0，1，2，3，4中任取3个构成的无重复数字的3位数，其中能被3整除的偶数共有（）A.13个 B.15个 C.16个 D.18个【答案】A6.已知三棱锥的外接球的半径为2，底面是边长为3的正三角形，，若球心在三棱锥的内部，则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C7.已知，则的最小值为（）A. B. C.5 D.9【答案】B8.记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角或直角三角形【答案】C二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是（）A. B.C.， D.的图象关于点对称【答案】BCD10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为，为的左顶点，过点且与直线垂直的直线与轴相交于点，且.，为双曲线上关于坐标原点对称的两点（点在第一象限），记直线，的倾斜角分别为，.则下列结论正确的是（）A.双曲线的离心率 B.直线与双曲线有两个公共点C. D.【答案】ACD11.已知函数的定义域为，且对，和均恒成立，令函数，则下列结论正确的是（）A.B.函数为奇函数C.函数的图象关于直线对称D.【答案】ABD非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知为单位向量，若向量在向量方向上的投影向量为，则________.【答案】13.已知，则________.【答案】14.甲、乙两人进行摸小球游戏，游戏规则为：一个盒子中装有颜色为红、绿、黄、蓝、黑、白的小球各一个，每个小球除颜色外完全相同，甲先从盒子中随机摸取一个小球，如果摸到的是红球，则甲直接获胜，若摸到其他颜色的小球，记其颜色为后，放回盒子，然后从乙开始轮流有放回地摸取小球，直至任意一人摸出红球或颜色为的小球，该游戏结束.若结束时摸出的是红球，则乙获胜；若结束时摸出的是颜色为的小球，则甲获胜.如果甲在第次摸取后游戏恰好结束，记此时甲获胜的概率为，若，则正整数的最大值为________.（参考数据：取，.）【答案】4四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知数列的前项和为，，且对，.（1）求；（2）证明：.（1）解：由题意得①，当时，②，联立①②，解得，又，当时，，，，，由累乘可得，所以，又符合上式，所以.（2）证明：由（1）知数列为等差数列，则，所以，故，因为，所以得证.16.睡眠是人体生理活动的基本阶段，良好的睡眠质量能够保证身体健康、增强免疫力、提高工作和学习的效率.某科研小组为了研究平均每天使用电子产品的时间（单位：h）对睡眠质量的影响，对100位志愿者平均每天使用电子产品的时间和睡眠质量进行了调研，并统计得到了如下表格：轻度睡眠障碍人数12312重度睡眠障碍人数43644睡眠质量良好人数25251154总人数3030201010（1）由表中的数据求这100人平均每天使用电子产品时间的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）从这100人中随机抽取一人，求此人在轻度睡眠障碍的前提下，平均每天使用电子产品的时间在内的概率；（3）若平均每天使用电子产品的时间大于等于4小时为超标.按所给数据，完成下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关.睡眠质量平均每天使用电子产品的时间合计超标不超标良好障碍（包括轻度和重度）合计100附：，0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）设这100人平均每天使用电子产品时间的估计值为，则，所以这100人平均每天使用电子产品时间的估计值为3.8小时.（2）设：此人轻度睡眠障碍；：此人平均每天使用电子产品的时间在内，则，，所以.（3）由表中数据得列联表如下：睡眠质量平均每天使用电子产品的时间合计超标不超标良好205070障碍（包括轻度和重度）201030合计4060100零假设为：睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间无关，根据列联表中的数据，计算得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关.17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，和均是边长为2的正三角形，，分别为棱，的中点，且.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：因为和均是边长为2的正三角形，为的中点，所以，又因为为的中点，所以，因为，所以，因为，，且平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面.（2）解：由（1）知平面，所以，所以，因为，，，所以平面，所以，取中点，连接，则三条直线，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得，因为，故，得到，，所以，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，所以，易知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，点，且的外接圆半径为.（1）求的方程；（2）已知点，为上异于，的点，分别以，，为切点作的切线，，，且直线与交于点，直线与线段，分别交于点，，求面积的最大值.解：（1）由题，，，，由正弦定理得的外接圆半径，解得，所以的方程为.（2）由（1）知，，设直线：，与抛物线方程联立，得，则，得，所以：，同理可得：，联立与的方程，得，设，直线：，由，得，由得或，当时，直线：，与直线重合，此时，点与点重合，不合题意，舍去，当时，直线：，即，与直线：联立可得，点到直线的距离，又，所以，因为，所以当时，取得最大值8，所以面积的最大值为8.19.已知函数的导函数为.（1）求函数的单调区间；（2）试判断函数在上的极值点个数；（3）已知，，记，，若且，证明：.（1）解：由题意知：，当时，；当时，；的单调递增区间为；单调递减区间为.（2）解：，，令，则，令，则，则当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，又，，，，使得，且当时，；当时，