第2课时 方程的解及一元一次方程

第2课时方程的解及一元一次方程教学目标课题5.1.1第2课时方程的解及一元一次方程授课人素养目标1.理解方程的解的意义，能判断某个未知数的值是不是方程的解.2.理解一元一次方程的概念，能准确地识别一元一次方程.教学重点判断方程的解，识别一元一次方程.教学难点识别一元一次方程.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，引入新知设计意图引入本节课的学习内容【课堂引入】对于方程2x=12，容易知道x=6可以使等式成立；对于方程170+15x=215，你知道x等于何值时等式成立吗？当x=3时，170+15x=170+15×3=215，等式成立.(2)你知道170+15x=215是怎样的方程吗？围绕这两个问题，我们一起走进本节课的学习.【教学建议】对于问题（1），可分别让5个学生代入不同的数作为x的值进行计算，再一起讨论得出正确答案.活动二：交流讨论，引出新知设计意图通过计算验证，介绍方程的解的概念。探究点1方程的解问题1类比活动一中问题（1），对于上节课列出的方程1.2x+1=0.8x+3，如下表所示，当x为何值时，方程左、右两边的值相等？当x=5时，方程左边=1.2×5+1=7，方程右边=0.8×5+3=7，这时方程左、右两边的值相等.概念引入：问题2（教材P114例2）（1）x=2,x=32是方程2x（2）x=10，x=20是方程3x=4(x-5)的解吗？解：（1）当x=2时，方程2x=3的左边=2×2=4，右边=3，方程左、右两边的值不相等，所以x=2不是方程2x=3的解；当x=32时，方程2x=3的左边=2×32=3，右边=3，方程左、右两边的值相等，所以x=32【教学建议】教学时，教师可让学生上台板演，并共同归纳判断一个数值是不是方程的解的步骤：（1）将数值代入方程左边进行计算;（2）将数值代入方程右边进行计算;（3）若左边=右边，则是方程的解，反之，则不是.这个步骤要让学生切实掌握.教学步骤师生活动（2）当x=10时，方程3x=4（x-5）的左边=3×10=30，右边=4×（10-5）=20，方程左、右两边的值不相等，所以x=10不是方程3x=4（x-5）的解.当x=20时，方程3x=4（x-5）的左边=3×20=60，右边=4×（20-5）=60，方程左、右两边的值相等，所以x=20是方程3x=4（x-5）的解.（教材P114第1个思考）x=60是方程58x2=4000的解吗？xx=60不是方程的解，x=80是方程的解.【对应训练】教材P115练习第1题.设计意图观察归纳，引出一元一次方程的概念.探究点2一元一次方程的概念方程有多种类型，本章我们先来研究一类最简单的方程.教材P114第2个思考）观察方程1.2x+1=0.8x+3，3x=4（x-5），0.52x-（1-0.52）x=80,它们有什么共同特征？完成下表.概念引入追问170+15x=215是不是一元一次方程？是.【对应训练】教材P115练习第2题.【教学建议】给学生说明，在一元一次方程的概念中，“一元”“一次”都是针对未知数的，此外这里要求方程中只出现整式.活动三：知识升华，巩固提升设计意图强化对一元一次方程概念的理解.例(1)若xk-1+21=0是一元一次方程，则k=2.(2)若x|k|+21=0是一元一次方程，则k=1或-1.(3)若关于x的方程（k-1）x|k|+21=0是一元一次方程，则k=-1.解析：(1)因为原方程是一元一次方程，所以k-1=1,所以k=2.(2)因为原方程是一元一次方程，所以|k|=1,所以k=1或-1.(3)因为原方程是一元一次方程，所以|k|=1,且k-1≠0,所以k=-1.【对应训练】1.若3xn+4=5是一元一次方程，则n=1.2.若关于x的方程（a-2）x2+ax+1=0是一元一次方程，则a=2.3.若（m-3）x|m|-2=-5是关于x的一元一次方程，则m的值为-3.【教学建议】已知方程是一元一次方程，求方程中除未知数外的字母的值，需注意两点:（1）未知数的次数为1；（2）未知数的系数不为0.若出现未知数次数高于1的项，则该项系数应为0，从而使该项为0.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是方程的解？2.什么样的方程是一元一次方程？【知识结构】【作业布置】1.教材P118习题5.1第3题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计第2课时方程的解及一元一次方程1.方程的解2.一元一次方程．教学反思弄清楚方程的解，是今后学习各种类型方程的基础，通过代值验算，让学生切实体会了方程的解的含义.对于一元一次方程的概念，在引入之后，通过一组对比练习，让学生明白了其中的关键要素是什么，这种讲授方式，对于今后其他章节的教学，也有一定的启发作用，可以适时采用.解题大招一根据一元一次方程的概念求字母的值一元一次方程要求只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1.那么对于待求的字母，它们的取值（范围）要使得方程满足以上条件，据此可得出答案.例1关于x的方程（k-1）x+3=0是一元一次方程，则k的值不能等于(B)A.0B.1C.12D.解析:根据题意得，k-1≠0，所以k≠1.故选B.解题大招二根据方程的解求代数式的值将方程的解代入方程，可得到一个关于字母参数的等式，再将这个等式经过适当的变形，即可为求目标代数式的值创造条件.例2若x=3是关于x的方程ax-2b=5的解，求6a-4b+3的值.解：将x=3代入ax-2b=5，得3a-2b=5.所以6a-4b+3=2（3a-2b）+3=2×5+3=13.培优点一元一次方程的实际应用例刘伟去水果市场购买苹果和橘子，看中了一家店铺，店铺里每千克苹果的售价要比每千克橘子的售价多12元，买2kg苹果与买5kg橘子的总价相同.设橘子的单价为x元/kg.(1)根据题意列出方程，并判断其是否为一元一次方程.(2)在x=6，x=7，x=8中，哪一个是（1）中所列方程的解？分析:（1）根据“买2kg苹果与买5kg橘子的总价相同”列方程.方程为一元一次方程.(2)将不同x的值分别代入方程，验证方程两边的值是否相等.解：（1）根据题意，得2（x+12）=5x,该方程是一元一次方程.（2）把x=6，x=7，x=8分别代入方程2（x+12）=5x的左、右两边.当x=6时，方程的左边=2×（6+12）=36，右边=5×6=30，方程左、右两边的值不相等，所以x=6不是方程2（x+12）=5x的解；当x=7时，方程的左边=2×（7+12）=38，右边=5×7=35，方程左、右两边的值不相等，所以x=7不是方程2（x+12）=5x的解；当x=8时，方程的左边=2×（8+12）=40，右边=5×8=40，方程左、右两边的值相等，所以x=8是方程2（x+12）=5x的解.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.-37的相反数是(A.-73 B.37 C.73 D2.我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000m.将数字21500000用科学记数法表示为()A.2.15×107 B.0.215×108 C.2.15×106 D.21.5×1063.下面是从小明同学作业本摘抄的内容,请你找出其中正确的是()A.方程2x+13−10x+16=1,去分母,得2(2B.方程2x-8x=-12,6x=-12,x=-2C.方程2(x+3)-5(1-x)=3(x-1),去括号,得2x+3-5-5x=3x-3D.方程9x=-4,系数化为1,得x=-44.某个月的月历表如图所示,若从中取一个2×2方块,已知这个方块所围成的4个方格的日期之和为44,求这4个方格中的日期.若设左上角的日期为x,则下列方程正确的是()A.x+(x+1)+(x+7)+(x+14)=44 B.x+(x+1)+(x+6)+(x+12)=44C.x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=44 D.x+(x+1)+(x+6)+(x+7)=445.若A=x2y+2x+3,B=-2x2y+4x,则2A-B=()A.3 B.6 C.4x2y+6 D.4x2y+36.已知∠α+∠β=90°,若∠α=35°40',则∠β的度数为()A.54°20' B.54°60' C.55°20' D.55°40'7.如图,点B在线段AC上,D是AC的中点.若AB=a,BC=b,则BD=()A.12b-12a B.12a-12b C.b-12a 8.观察下列按一定规律排列的单项式:-a,0,a2,0,-a3,0,a4,0,…,则第2025个单项式为()A.-a2025 B.0 C.-a1013 D.a10139.如图,线段AB=24cm,动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB运动,M为线段AP的中点,N为线段BP的中点.以下说法正确的是()①运动4s后,PB=2AM;②PM+MN的值随着运动时间的改变而改变;③2BM-BP的值不变.A.①② B.③ C.①②③ D.②③10.已知∠AOB=20°,∠AOC=4∠AOB,OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,则∠MOD的度数是()A.20°或50° B.20°或60° C.30°或50° D.30°或60°二、填空题(将结果填在题中横线上)11.计算:(-2)÷(-5)×15=.12.当m的值为时,5x3-2x-1与4mx+3的和不含x的一次项.

13.在手工制作课上,老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒.七年级一班共有学生50人,每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个.要求一个筒身配两个筒底,那么安排人剪筒身,才能使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套.

14.已知A,B,C三点在同一条直线上,若D,E分别为线段AB,BC的中点,且AB=80,BC=60,则线段DE的长为.

15.2024年元旦,小颖在一张长方形宣纸上的四个正方形格子中写下了“元旦快乐”的毛笔书法作品,如图所示.已知宣纸的长为108cm,正方形格子的边长相等,正方形格子与纸边之间的边空宽相等,相邻两个字的字距相等,且边空宽、字宽、字距之比为3∶6∶2,则这张长方形宣纸的面积为cm2.

16.如图,已知O是直线AE上一点,OC是一条射线,OB平分∠AOC,OD在∠COE内,∠COD=2∠DOE.若∠BOD=110°,则∠DOE的度数为.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算:(1)(+4.3)-(-4)+(-2.3)-(+4);(2)[12-(14−16(3)-1.53×0.75+0.53×34-3.4×0.7518.解下列方程:(1)4x+3=2(x-1)+1;(2)x-19.先化简,再求值:9x2-4(2x2-3xy+y2)+4y2,其中x=1,y=-1320.如图,M是线段AB的中点,N是线段BD的中点,AB=8cm,BN=3NC,CD=6cm,求线段MN的长.21.如图,A,B,C,D四点在同一条直线上,根据图形填空:(1)图中共有条线段;

(2)AD=++;

(3)AC+BD-=AD;

(4)若C是线段BD的中点,AD=12cm,AB=2BC,求线段AC的长.22.某班组织交通安全知识竞赛,共设有20道选择题,各题分值相同,每题必答.下表记录了其中5位参赛者的得分情况,根据表中信息回答下列问题:参赛者答对题数答错题数得分A200100B19194C18288D14664E101040(1)这次竞赛中答对一题得分,答错一题得分;

(2)若参赛者F共答对了m题,则他的得分是分;(用含m的式子表示)

(3)若参赛者G比参赛者H多答对2题,两人总得分为128分,求参赛者H答对了几道题?23.某服装批发商促销一种裤子和文化衫,在促销活动期间,裤子每条定价100元,文化衫每件定价50元,并向客户提供两种优惠方案.方案一:买一条裤子送一件文化衫;方案二:裤子和文化衫都按定价的80%付款.现某客户要购买30条裤子,x件(x>30)文化衫:(1)按方案一,购买裤子和文化衫共需付款(50x+1500)元;按方案二,购买裤子和文化衫共需付款元.(用含x的式子表示)

(2)计算一下,购买多少件文化衫时,两种优惠方案付款一样?(3)若两种优惠方案可同时使用,当x=40时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗?若能,请直接写出该购买方案下共需付款的数目.24.现有一副三角尺AOB和COD按如图所示的方式放置,它们的直角顶点O重合,已知OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.(1)若∠BOC=30°,求∠BOE的度数;(2)若∠BOC=α°,求∠BOF的度数(用含α的式子表示);(3)在(2)的条件下,求∠EOF的度数,并说明∠EOF的度数是否随α的变化而变化.综合训练1.B2.A3.D4.C5.C解析:因为A=x2y+2x+3,B=-2x2y+4x,所以2A-B=2(x2y+2x+3)-(-2x2y+4x)=2x2y+4x+6+2x2y-4x=(2x2y+2x2y)+(4x-4x)+6=4x2y+6,故选C.6.A解析:因为∠α+∠β=90°,且∠α=35°40',所以∠β=90°-∠α=54°20'.7.A解析:因为AB=a,BC=b,所以AC=AB+BC=a+b.因为D是AC的中点,所以CD=12AC=12a+1因为BC=b,所以BD=BC-CD=b-12a+18.D解析:根据题意,知偶数位置对应的单项式均为0.奇数位置对应的单项式中,第1项,系数为-1,指数为1+12=1;第3项,系数为1,指数为1+32=2;第5项,系数为-1,指数为1+52=3;第7项,系数为1,指数为1+72=4;则第2025个单项式的系数为1,指数为1+20252=1故选D.9.D解析:运动4s后,AP=2×4=8(cm),PB=AB-AP=16(cm).因为M为线段AP的中点,所以AM=12AP=4所以4AM=PB,故①错误;设运动ts,则AP=2tcm,PB=24-2t(其中t大于或等于0,且t<12)cm,因为M为线段AP的中点,N为BP的中点,所以AM=PM=12AP=tcm,PN=BN=12PB=12-t所以PM+MN=PM+PM+PN=12+t(cm).所以PM+MN的值随着运动时间的改变而改变,故②正确;因为BM=AB-AM=24-t(cm),PB=24-2t(t大于或等于0,且t<12)(cm),所以2BM-BP=2(24-t)-(24-2t)=24(cm),所以2BM-BP的值不变,故③正确.故选D.10.C解析:分为两种情况:如图1,当∠AOB在∠AOC内部时,图1因为∠AOB=20°,∠AOC=4∠AOB,所以∠AOC=80°.因为OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,所以∠AOD=∠BOD=12∠AOB=10°,∠AOM=∠COM=12∠AOC=所以∠MOD=∠AOM-∠AOD=40°-10°=30°.如图2,当∠AOB在∠AOC外部时,图2因为∠AOB=20°,∠AOC=4∠AOB,所以∠AOC=80°.因为OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,所以∠AOD=∠BOD=12∠AOB=10°,∠AOM=∠COM=12∠AOC=所以∠MOD=∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°.综上所述,∠MOD的度数为30°或50°.11.225解析:原式=2×112.12解析:5x3-2x-1+4mx+3=5x3+(4m-2)x+2,由和不含x的一次项,知4m-2=0,解得m=113.30解析:设x人剪筒身,则(50-x)人剪筒底,根据每小时剪出的筒身与筒底恰好配套,列得方程2×40x=120(50-x),解得x=30.安排30人剪筒身,才能使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套.14.70或10解析:因为D是线段AB的中点,AB=80,所以AD=BD=12AB=40因为E是线段BC的中点,BC=60,所以BE=CE=12BC=30分两种情况讨论:如图1,当点C在线段AB的延长线上时,DE=BD+BE=70.图1如图2,当点C在线段AB上时,DE=BD-BE=10.图2故答案为70或10.15.3888解析:因为边空宽、字宽、字距之比为3∶6∶2,所以设边空宽为3xcm,则字宽、字距分别为6xcm,2xcm.因为宣纸的长为108cm,正方形格子的边长相等,正方形格子与纸边之间的边空宽相等,相邻两个字的字距相等,所以3x×2+6x×4+2x×3=108,解得x=3,所以宣纸的宽为3x×2+6x=12x=36(cm).所以这张长方形宣纸的面积为108×36=3888(cm2).16.40°解析:因为OB平分∠AOC,所以∠COB=12∠AOC因为∠COD=2∠DOE,所以∠COE=3∠DOE.因为∠AOC+∠COE=180°,所以∠AOC=180°-∠COE=180°-3∠DOE.所以∠COB=12(180°-3∠DOE)=90°-32∠因为∠BOD=110°,即∠COB+∠COD=110°,所以90°-32∠DOE+2∠DOE=110°所以∠DOE=40°.故答案为40°.17.解:(1)(+4.3)-(-4)+(-2.3)-(+4)=4.3+4-2.3-4=2.(2)12-14=12-14=12×(-12)-14×(-12)+16×=-6+3-2=-5.(3)-1.53×0.75+0.53×34-3.4×0.=34×(-1.53+0.53-3.=34×(-4.=-3.3.18.解:(1)去括号,得4x+3=2x-2+1.移项,得4x-2x=-2+1-3.合并同类项,得2x=-4.系数化为1,得x=-2.(2)去分母,得2(x-1)-(x+2)=3(4-x).去括号,得2x-2-x-2=12-3x.移项,得2x-x+3x=12+2+2.合并同类项,得4x=16.系数化为1,得x=4.19.解:9x2-4(2x2-3xy+y2)+4y2=9x2-8x2+12xy-4y2+4y2=x2+12xy,当x=1,y=-13时,原式=12+12×1×-1320.解:因为M是线段AB的中点,AB=8cm,所以MB=12AB=4cm因为N是线段BD的中点,所以BN=ND.因为BN=3NC,所以3NC=ND=NC+CD.所以CD=2NC.因为CD=6cm,所以NC=3cm.所以BN=9cm.所以MN=BM+BN=4+9=13(cm).21.解:(1)6(2)ABBCCD(3)BC(4)因为C是线段BD的中点,且AB=2BC,所以B