第3课时 反比例关系

第3课时反比例关系教学目标课题3.1第3课时反比例关系授课人素养目标1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，结合具体情境体会反比例关系.2.初步了解反比例关系的表现形式，并能在实际问题中识别反比例关系，发展学生的抽象能力和应用意识.教学重点反比例关系的概念及识别.教学难点在实际问题中识别反比例关系.教学活动教学步骤师生活动活动一：悬疑激趣，新课导入设计意图类比正比例关系，对实例进行演变，引发学生思考，为引入反比例关系的概念做铺垫.【类比引入】1.回忆：小学我们已经学过的成正比例的量的概念是什么？如果两个变化的量的比值保持不变，或用符号表示为yx=k（k是一个确定的值，且k≠0），这时称这两个量y和x为成正比例的量.2.复习：第1课时活动二中的问题1：3.猜想我们不难回答上面“猜想”中的特点，但该怎样进一步表述这两个量之间的关系呢？让我们赶快进入新的学习吧！【教学建议】进入本节课之前先引导学生回顾正比例关系，再通过对问题进行演变使学生对反比例关系有一个初步感知，重点在于类比正比例关系使学生发现新问题中量和量之间存在共性（乘积为定值）.活动二：交流合作，探究新知设计意图通过实例引入反比例关系的概念，并与正比例关系进行比较，帮助学生更深刻地理解.探究点反比例关系问题（教材P73问题）北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260000m3.解答下列问题：（1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写下表.（2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？（续表）概念引入：像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用xy=k来表示.想一想：正比例关系与反比例关系有什么区别和联系？思考生活中，成反比例关系的例子是很常见的.例如，在购买某种商品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系.你还能举出一些例子吗？①泳池里水的体积一定，将水放完，排水的速度与所用时间成反比例关系；②路程一定，行驶速度与行完全程所需时间成反比例关系等.【对应训练】教材P75练习第1，2题.【教学建议】这部分教学应采用启发式教学的方法，教师抛出问题，鼓励学生小组合作，共同探讨、交流，引导学生通过观察和对问题的探究，说出工作时间与工作效率的乘积为定值，再一次印证学生在活动一中已经得出的结论.教师提醒学生特别注意比例系数k在当前学情下虽不做过多探讨，但k≠0仍需明确知晓，必要时可适当解释不为0的原因.【教学建议】将反比例关系与正比例关系进行对比，分析它们的异同点，这点是很有必要的，学生能借助正比例关系的探究方法进行参照学习，有助于学生更好地理解反比例关系的实质.以后这样的类比学习会经常出现，学生初学会比较困难，教师可直接讲述.而后面的“思考”是为了帮助学生更进一步巩固对反比例关系的认识.活动三：实际应用，巩固新知设计意图设计实际问题引导学生解决，进一步强化学生对于反比例关系的理解，并培养学生的应用能力和一定的计算能力.例（教材P74例5）如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为10cm2，20cm2，30cm2，60cm2.分别往这四个容器中注入300cm3的水.（1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？（2）分别用x（单位：cm2）和y（单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆柱的体积=底面积×高，高=eq\f(圆柱的体积,底面积).解：（1）四个容器中水的高度分别为eq\f(300,10)=30（cm），eq\f(300,20)=15（cm），eq\f(300,30)=10（cm），eq\f(300,60)=5（cm）.（2）xy=300.y与x成反比例关系.【对应训练】1.给一间教室铺地砖，每块地砖的面积（单位：cm2）与所需地砖的数量（单位：块）如下表所示.（1）这间教室的地面面积是多少平方米？（2）所需地砖的数量是怎样随着每块地砖的面积的变化而变化的？（3）若用n表示所需地砖的数量，m表示每块地砖的面积，用式子表示n与m的关系.n与m成什么比例关系？解：（1）这间教室的地面面积是300×1600=480000（cm2）=48m2.（2）由表可知所需地砖的数量随着每块地砖的面积的增大而减小，但它们的乘积一定，都为480000.（3）mn=480000.n与m成反比例关系.2.教材P75练习第3题.【教学建议】这里涉及的运算要让学生自主动手进行，一方面是加强理解，另一方面也是为后面学习代数式求值进行预演.可倡导按照自己所想的方法进行求值（不必硬套公式），学力稍强的学生可能已经运用代值求解的方法去解决问题了，应对这种思维超前、灵活运用的学生予以认可，对于其他学生也应当鼓励，营造积极的学习氛围，使学生在自主学习中获得成就感.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是反比例关系？两个相关联的量何时满足反比例关系，你能举例说明吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P76习题3.1第4,5,9题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计第3课时反比例关系1.反比例关系的概念2.反比例关系的识别3.反比例关系的应用教学反思本节课先由小学已经学过的正比例关系引入，通过实例使学生认识到反比例关系，再联系实际使学生能够从具体情境中准确识别反比例关系，让学生感受到生活中处处有数学.本节课的教学从实际出发，通过实例构建数学模型，是以后学习反比例函数的基础.为达到更好的学习效果，应尽可能多举实例，也可让学生尽情发挥想象，从身边的事例中找出这种关系，学以致用.解题大招一识别反比例关系的方法识别两个量是否成反比例关系，主要从以下两个方面进行判断：（1）观察这两个量之间的乘积是否始终为一个非零定值，若是，则成反比例关系，否则不成反比例关系；（2）当题目中只给出了用式子表示的两个量（x与y）之间的关系，则看是否符合xy=k（k是一个固定的值，且k≠0）的形式，若符合，则成反比例关系，否则不成反比例关系.例1下列选项中y与x的关系是反比例关系的是（B）A.xy=0B.2xy=5C.eq\f(y,x)=32D.x2y=1例2下列数量关系中，成反比例关系的是（C）A.橘子的单价一定，购买橘子的总价与购买数量B.学校计划种植500棵树，已种的棵数与未种的棵数C.两地之间铺设全长一定的铁轨，每日铺设长度与所需天数D.一个人的体重与他的年龄解析：选项判断理由是否成反比例关系A橘子的单价一定，购买橘子的总价与购买数量成正比例关系否B已种的棵数与未种的棵数的和是定值500，而乘积不是定值否C两地之间铺设全长一定的铁轨，每日铺设长度与所需天数的乘积是定值，即为铁轨全长是D一个人的体重与他的年龄的乘积不为定值否培优点判断实际问题中的反比例关系例某兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行实验，得到对应的扭矩M（使物体发生转动的力矩，单位：N·m)和转速n（发动机曲轴的转动速度，单位：kr/min)的数据如表：（1）用式子表示M与n的关系，M与n成什么比例关系？（2）当转速为2.4kr/min时，扭矩是多大？当转速为5kr/min时呢？解：（1）由表可知，表中所有扭矩与对应转速的乘积为定值600，所以Mn=600.M与n成反比例关系.（2）当转速为2.4kr/min时，扭矩为eq\f(600,2.4)=250（N·m）；当转速为5kr/min时，扭矩为eq\f(600,5)=120（N·m）.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.某品牌酸奶外包装上标明“净含量:300mL±5mL”,随机抽取该品牌四种口味的酸奶分别称重如下表.其中,净含量不合格的是()种类原味草莓味香草味巧克力味净含量/mL295300310305A.原味 B.草莓味C.香草味 D.巧克力味2.下列大小比较错误的是()A.|-34|<-(-911) B.-(+214)<-[-(-C.-|-(-6)|<-(+5) D.-0.01>-0.13.某玩具商店周年店庆,全场八折促销,持会员卡可在促销活动的基础上再打六折.某电动玩具车原价300元,小明持会员卡购买这个电动玩具车需要花()元.A.240 B.180C.160 D.1444.将数据42000000用科学记数法表示为()A.0.42×108 B.4.2×106C.4.2×107 D.42×1065.某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本的价格为10元/本,乙种读本的价格为8元/本.设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为()A.8x元 B.10(100-x)元C.8(100-x)元 D.(100-8x)元6.下列说法中正确的是()①-0.5x2y3与5y2x3不是同类项;②两个单项式的和一定是多项式;③2π与-4是同类项;④单项式mn3的系数与次数之和为4.A.①② B.②③C.①③ D.②④7.老师在课堂上讲去括号法则时,给出一道题:2(a+b)-3(a+b),甲、乙分别给出了不同的解法:甲乙2(a+b)-3(a+b)=(2-3)(a+b)=-(a+b)=-a-b.2(a+b)-3(a+b)=2a+2b-(3a+3b)=2a+2b-3a-3b=-a-b.则去括号正确的是()A.甲对,乙错 B.甲和乙都错C.甲和乙都对 D.甲错,乙对8.在古代,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.有位父亲为了准确记录孩子的出生天数,在粗细不同的绳子上打结(如图),由细到粗(右细左粗),满七进一,那么孩子已经出生了()A.1335天 B.516天C.435天 D.54天9.如果关于x的代数式4x2+2x-1与ax2+x+a的和不含x2项,那么这个和为()A.3x-5 B.3x+3 C.4x-4 D.3x-310.已知A=4x2-2x,B=x,C=2-x2,D=y2,E=y-x.则下列说法正确的个数是()①多项式A+4C+B+D-E的值与x的取值无关;②当x2-13y2=2时,多项式A+3B+C-D+E③存在正整数x和正整数y,使得D-C=11.A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题(将结果填在题中横线上)11.计算:-2-(-3)=.

12.请回忆有理数的运算法则,写出下列相关运算的第一步:(1)-8-5=-8+();(2)12÷(-2)=12×(13.某细菌的直径为0.696μm,用四舍五入法将数据0.696精确到百分位的近似数为.

14.计算:-[-(+2)]=,-|-2|=.

15.-4m2-5m+2m2+6m+3m2合并同类项的结果为.

16.一个“数据转换器”的示意图如图所示,它的作用是求转换器内各代数式的和.现输入x的值,经过转换器,输出的值为y.若无论输入的x为何值,输出的y值不变,则m=.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算:(1)(-85)×154÷((2)-32+(78-1)×(-2)218.以下是小方化简整式3x-2(x+y)的解答过程,他的解答过程是否有错误?如果有错误,请写出正确的解答过程.解:3x-2(x+y)=3x-2x+y=1+y.19.先化简,再求值:(1)2(2x-3)-3(13x+1),其中x=2(2)已知3x-my2与2x3y4-n是同类项,求3(m+n)-12(m-n)-5(m+n)+12(m-n20.在一次考试中,晓珊将题目“若m=-1,n=1,则多项式2mn3-3(m4n-mn3)-5(mn3+2n2)+11n2的值为”中的已知条件“m=-1,n=1”看成了“m=1,n=1”,并进行了计算.但试卷批改出来后,该题的答案竟然填对了,晓珊百思不得其解,请帮晓珊解释为什么.

21.小明有以下8张卡牌,第一组卡牌上标有数,第二组卡牌上标有多项式,请你根据要求完成以下任务.第一组:1-42-3第二组:a2+bab-ba2+12a-2任务1:请在第一组卡牌中选择3张卡牌,使所标数的积最小,请列出算式并求得结果;任务2:请在第一组中选择1张卡牌,在第二组中选择2张卡牌,将这3张卡牌上所标的数与多项式相加,化简结果为二项式,请列出算式并求其结果.22.三个连续的奇数(均为一位数),最大的数是2n+1,将这三个连续的奇数按照从小到大的顺序排列(即最小的数位于百位,最大的数位于个位),得到一个三位数,记为M.(1)用整式表示M,并化简;(2)若将这三个连续的奇数按照从大到小的顺序排列,所得到的三位数记为N,则N-M的值是否为定值?请通过计算说明.23.如图,每个小正方形的面积均为1,第1个等式:2+4=2×3第2个等式:2+4+6=3×4第3个等式:

……据此规律:(1)请写出第3个等式:;

(2)猜想第n个等式为(用含n的等式表示);

(3)已知如上图所示的一个草垛的最底端有2024支小正方形草束,则这堆草垛共有多少支草束?24.【感悟方法】数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系,有些运算结果由每个变量的值来确定,也有些运算结果与某个变量无关,但这无关变量有时也有它的意义.(1)已知代数式(2x2+ax-13y+15)-(x-2y+1-bx2)的值与字母x的取值无关,其中a,b是常数,求a,b【迁移运用】请用(1)中的方法解决下面的问题:(2)某自行车专卖店计划购进甲、乙两种品牌的自行车.已知甲品牌自行车的进价为1000元/辆,乙品牌自行车的进价为1200元/辆.该商店决定购进两种品牌的自行车共30辆,有多种进货方案.销售一辆甲品牌的自行车利润率为50%,乙品牌自行车的售价为每辆2000元.为鼓励顾客多消费,商店决定每售出一辆乙品牌的自行车,返还顾客现金a元,甲品牌的自行车售价不变.要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后,商店最终获利相同,求a的值.综合训练1.C2.B3.D4.C5.C6.C7.C8.B9.A10.C解析:A+4C+B+D-E=4x2-2x+4(2-x2)+x+y2-(y-x)=4x2-2x+8-4x2+x+y2-y+x=y2-y+8,故说法①符合题意;A+3B+C-D+E=4x2-2x+3x+2-x2-y2+y-x=3x2-y2+y+2,当x2-13y2=2时,原式=3×2+y+2=y+8,故说法②不符合题意因为D-C=y2-(2-x2)=11,所以y2-2+x2=11.即y2+x2=13.当x=2,y=3或x=3,y=2时,22+32=13,故说法③符合题意.综上所述,符合题意的有2个.故选C.11.112.(1)-5(2)-113.0.7014.2-215.m2+m16.-317.解:(1)-85×154÷((2)-32+78-1×(-2)2=-9+-18×4=-9-18.解:小方的解答过程有误,去括号时出现错误,正确的解答为:3x-2(x+y)=3x-2x-2y=(3-2)x-2y=x-2y.19.解:(1)2(2x-3)-31=4x-6-x-3=3x-9,当x=2时,原式=3×2-9=-3.(2)3(m+n)-12(m-n)-5(m+n)+12(m-n)=-2(m+n因为3x-my2与2x3y4-n是同类项,所以-m=3,2=4-n,所以m=-3,n=2.原式=-2×(-3+2)=-2×(-1)=2.20.解:2mn3-3(m4n-mn3)-5(mn3+2n2)+11n2=2mn3-3m4n+3mn3-5mn3-10n2+11n2=(2mn3+3mn3-5mn3)-3m4n+(-10n2+11n2)=n2-3m4n.当m=-1,n=1时,n2-3m4n=12-3×(-1)4×1=-2;当m=1,n=1时,n2-3m4n=12-3×14