凹函数专项练习题（含详细答案解析）

凹函数专项练习题（含详细答案解析）一、核心知识点回顾1.凹函数定义（二阶导数版）：设函数f(x)在区间I上二阶可导，若对任意x∈I，恒有f″(x)≥0，且f″(x)仅在有限个点处为0，则称2.凹函数不等式性质（琴生不等式）：若f(x)为区间I上的凹函数，对任意x1,x2∈I3.单调性特征：凹函数的一阶导数f′二、专项试题（一）选择题（每题5分，共20分）1.下列函数在全体实数域R上为凹函数的是（）A.f(x)=−x2  B.f(x)=x22.已知函数f(x)=x3+ax2A.a≥−6  B.a≤−6  C.a≥6  D.a≤63.若f(x)为区间(0,+∞)上的凹函数，且A.f(1)+f(3)>2f(2)  B.f(1)+f(3)<2f(2)C.f(1)+f(3)=2f(2)  D.无法确定大小关系4.函数f(x)=eA.(−∞,0)  B.(0,+∞)（二）填空题（每题5分，共20分）5.函数f(x)=xln6.已知f(x)=ax2+bx+c是R7.若函数f(x)=x4−28.利用凹函数性质可得ln⁡2+ln⁡4（三）解答题（共60分）9.（12分）判断函数f(x)=x10.（14分）已知函数f(x)=1x+x，x∈(0,+∞)，证明：f(x)11.（16分）已知函数f(x)=e2x−ax在R上为凹函数，求实数a的取值范围；并求x∈[0,1]12.（18分）已知f(x)=ln⁡(x+1)，求证：对任意x1,x三、详细答案解析（一）选择题解析1.答案：B解析：利用二阶导数判断凹凸性：A选项：f(x)=−x2，f′B选项：f(x)=x2，f′C选项：f(x)=ln⁡x，定义域x>0，D选项：f(x)=−ex，2.答案：A解析：求导得f′(x)=3x函数在[2,+∞)上为凹函数，需满足f″6x+2a≥0⇒a≥−3x，y=−3x在[2,+∞)单调递减，最大值为故a≥−6。3.答案：A解析：由凹函数琴生不等式，取x1f1+32≤又凹函数一阶导数单调递增，函数非线性凹函数，等号不成立，故f(1)+f(3)>2f(2)。4.答案：C解析：f(x)=ex−x，f对任意x∈R，ex>0（二）填空题解析(0,+∞解析：函数定义域x>0，f′(x)=ln⁡x+1，f″a≥06.答案：解析：二次函数f(x)=ax2+bx+c由凹函数定义，f″(x)≥0恒成立，故7.答案：凹函数解析：f′(x)=4x当x∈[1,2]时，x2≥1，8.答案：<解析：y=ln⁡x为凸函数，满足琴生不等式令x1=2,x2=4（三）解答题解析9.解析：函数定义域为R，求一阶、二阶导数：f′(x)=3x令f″(x)=0，解得当x>1时，f″(x)>0，函数在当x<1时，f″(x)<0，函数在将x=1代入原函数，得f(1)=1−3+2=0，故拐点坐标为(1,0)。10.解析：第一步：证明函数为凹函数定义域x∈(0,+∞)，f′对任意x>0，f″(x)=2x3第二步：证明不等式由凹函数琴生不等式，对任意x1,xf整理得：fx11.解析：（1）求a的取值范围f(x)=e2x−ax，f对任意x∈R，e2x>0即无论a取何实数，f(x)在R上均为凹函数，故a∈R（2）求x∈[0,1]时函数最小值令f′(x)=2e①当a2≤1即a≤2时，x∈[0,1]，f′(x)≥0，②当1<a2<e2即2<a<2③当a2≥e2即a≥2e2时，x∈[0,1]，12.解析：（1）证明不等式函数f(x)=ln⁡(x+1)，定义域f′(x)=1x+1，由凸函数琴生不等式：fxln⁡（2）证明ln由凸函数加权琴生不等式，对x1=1,x\dfrac{f(1)+f(2)+f(4)}{3}<f\left(\dfrac{1+