2.7.2 抛物线的几何性质 教学设计（表格式）-高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册

课程基本信息课题2.7.2抛物线的几何性质教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册B版出版社：人民教育出版社出版日期：2020年8月教学目标教学目标：会由抛物线的方程来研究和应用抛物线的几何性质教学重点：抛物线的几何性质教学难点：抛物线的几何性质的研究过程教学过程时间教学环节主要师生活动5分尝试与发现已知抛物线C的方程为y2=2x，根据这个方程完成下列任务.（1）观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线答：因为实数的平方是一个非负数，所以在方程y2=2x中，必有2x≥0，即x≥0.同时可以看出y能取任意实数，由此可知，抛物线C位于y轴及（2）指出抛物线C是否具有对称性；答：因为如果(x，y)是方程y2=2x的一组解，则不难看出，(x，−y)也是方程的解，这说明抛物线关于x轴对称；又因为(−x，y)（3）指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.答：在方程y2=2x中，令y=0，得x=0；令x=0，得y=0.可知抛物线C与x轴、y轴都只有一个交点，且交点都是原点(0，本节课我们要由抛物线的方程来研究抛物线具有的几何性质.13分研究抛物线具有的几何性质一、一般地，如果抛物线C的标准方程是y2则可以根据方程①来得到抛物线的一些几何性质.（1）范围由方程①可知，2px≥0，又因为p>0，所以x≥0.因此，除顶点外，抛物线上的其余点都在y轴的右侧.另外，当x无限增大时，y也无限增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，如图所示.此时，称抛物线C的开口向右（或朝右）.（2）对称性如果(x，y)是方程①的一组解，则不难看出，(x，−y)也是方程的解，这说明抛物线C关于x轴对称，如图所示.（3）顶点在方程y2=2px中，令y=0，得x=0；令x=0，得y=0.可知抛物线C与x轴、y轴都相交于原点(0，0).（4）离心率抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率，用e表示.根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率e=1二、如果抛物线的标准方程是y2=−2px

(p>0)x2=2py(p>0)x2=−2py(p>0)那么抛物线的范围（开口方向）、对称性、顶点、离心率中，哪些与①所表示的抛物线是相同的？哪些是有区别的？可以看出，②③④所表示抛物线，顶点坐标、离心率与①所表示的抛物线是相同的，但是：②y2=−2px

(p>0)所表示的抛物线中，x≤0，除顶点外，抛物线上的其余点都在y轴的左侧，抛物线的开口向左（或朝左），抛物线关于③x2=2pyp>0所表示的抛物线中，y≥0，除顶点外，抛物线上的其余点都在x轴的上方，抛物线的开口向上（或朝上），抛物线关于④x2=−2py(p>0)所表示的抛物线中，y≤0，除顶点外，抛物线上的其余点都在x轴的下方，抛物线的开口向下（或朝下），抛物线关于5分抛物线的几何性质的应用已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点M(−4，2解根据已知条件可设抛物线的标准方程为y2=−2px

(p>0)因为点M(−4，23)在抛物线上，所以(2从而可知所求方程为y2例2已知点P在抛物线x2=−5y上，且A(0，−3)解设点P的坐标为x，y，则xPA2又因为y≤0

，所以y=−12时，取最小值因此所求的最小值为352已知抛物线的顶点在原点，焦点F(−3，0)，设点A(a，0)到抛物线上的点的距离的最小值为解依题意，抛物线的方程为y2=−12x.设BxAB=（求最小值——配方）AB分析：因为y02=−12x0，所以x0≤0

，根式内二次函数对称轴是x=a+6当a≤−6时，AB的最小值为−12a−36.当a>−6时，AB的最小值为