第一章 空间向量与立体几何 空间坐标法解决线面关系的证明（题型专练）（答案版）高二数学人教A版选择性必修第一册

空间向量与立体几何空间坐标法解决线面关系的证明（题型专练）题型01空间坐标法证面面平行【例3】【答案】(1)证明见解析(2)存在.【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行；（2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可.【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系：由题知，则，设平面的法向量为，则，故可取，设平面的法向量为，则，故可取，因为，所以平面平面.（2）设线段上存在点使得平面，由（1）得，，平面的法向量，所以，由解得，即为线段中点时，平面.【变式3-1】【答案】(1)在直三棱柱中，，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，于是，即，因此直线，而平面，则平面；又，则，直线，而平面，则平面，又点平面，所以平面平面.

(2)存在，为靠近的三等分点，或与重合.【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得.（2）设，，进而得到，结合（1）中，利用点到平面的距离公式列方程求参数，即可得.【详解】（1）略（2）假设存在点到平面的距离为，且，，所以，则，由（1）知，是平面的一个法向量，所以点到平面的距离，所以，可得或，所以，当为靠近的三等分点或与重合时，满足要求.【变式3-2】【答案】(1)如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，∴，，∴，，设是平面的法向量，设是平面的法向量，则解得取，则，，得是平面的一个法向量.则解得，取，则，，得是平面的一个法向量.∴，∴平面平面.(2)(3)16【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，证明这两个法向量平行或相等即可.（2）利用点到平面距离的向量公式计算即可；（3）直接利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】（1）略（2）由（1）知平面平面，∴平面与平面的距离等于点到平面的距离，∵，，∴，又∵是平面的一个法向量，∴平面与平面的距离.（3）由（2）知点到平面的距离为，∵，∴梯形为等腰梯形，易得梯形的高为∴，.【变式3-3】【答案】(1)连接，，，因为是该正八面体的中心，所以，由正八面体的定义可知四边形是正方形，可得，因为是该正八面体的中心，所以平面，所以，，两两垂直，故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，，，，，故，，因为，所以，即，因为平面，平面，所以平面.因为，所以，即.因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面，且，所以平面平面.(2)【分析】（1）连接，，，证得，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求得的坐标，得到，证得，和，证得，结合线面平行的判定，证得平面和平面，进而证得平面平面.（2）分别求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）略（2）由（1）可得，，，，设平面的法向量为，则，令，可得，所以.设平面的法向量为，则，令，可得，所以.设平面与平面的夹角为，则.所以平面与平面夹角的余弦值为.▌题型02空间坐标法证线面平行【例2】【答案】(1)因为，为平行四边形，，由余弦定理可得：，，则，底面，又平面平面，可得.故以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图示的空间直角坐标系，则，的中点，设平面的一个法向量，则，取，则，故.又，故.所以平面.(2)【分析】（1）根据题目条件，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量乘积为，即可求证平面；（2）利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离.【详解】（1）略（2）由（1）知，平面的一个法向量，则点与平面的距离.【变式2-1】【答案】(1)解法1：取，分别为的中点，连接，则过，且四边形是平行四边形.如图.因为分别为中点，所以，又平面，平面，所以平面.解法2：以点为原点，直线所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则.由上得.设得，解得，所以.因为平面，平面，所以平面.(2)(3)【分析】（1）解法1：过点作，分别交于点，结合正四棱柱的性质及平行四边形的性质得，利用线面平行的判定定理证明即可；解法2：建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，然后利用共面定理得，进而利用向量法证明线面平行即可；（2）解法1：过点作，垂足为，连接，利用线面垂直的性质和判定定理得平面，利用线面角的定义知就是直线与平面所成的角，再在直角三角形中求解即可；解法2：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量法求解线面角即可；（3）解法1：先判断在平面上的射影是的垂心，又在平面上的射影是的重心，则为正三角形，求得；再验证时，在平面内的射影为的重心.解法2：建立坐标系求出的重心，利用向量坐标运算求得，即可得解.【详解】（1）略（2）解法1：过点作，垂足为，连接.

因为平面平面，所以，平面，所以平面，所以就是直线与平面所成的角.设，则.所以，直线与平面所成角的正弦值是.解法2：当时，由，得.设平面的法向量为，则由得.，所以直线与平面所成角的大小为.（3）解法1：连接，，

因为，，平面，所以平面，所以，同理，所以在平面上的射影是的垂心.又在平面上的射影是的重心，则为正三角形，即，所以.反之，当时，，所以三棱锥为正三棱锥.所以在平面内的射影为的重心.解法2：设的重心，

所以，所以，则，若在平面内的射影恰好为的重心，则有解得.所以当时，在平面内的射影恰好为的重心.【变式2-2】【答案】(1)证明：法一：如图，连接，交于，连接，因为底面为矩形，所以为的中点，因为为的中点，所以是的中位线，得到，而平面，平面，故平面.法二：根据题意，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，由题意得，则，设为平面的法向量，则，即，令，则，故，，平面，平面.(2)【分析】（1）法一：连接，由中位线的性质可证，再由线面平行的判定定理可证平面；法二：以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量证明；（2）利用空间向量求线面角的方法计算.【详解】（1）略（2），，直线与平面所成角的正弦值为.【变式2-3】【答案】(1)证明：，为原点建立空间直角坐标系，如图，则，是的中点，，由图可知，是平面的一个法向量，由，且不在平面内，平面·(2)【分析】（1）判断方向向量平行于平面，（2）通过向量积找法向量，然后利用点积确定角度.【详解】（1）略（2）设与面所成的角为，因为，设是平面的一个法向量，则由得，令，得，又，，则，与面所成的角为正弦值为.题型03空间坐标法证四点共面【例1】【答案】(1)(2)法1：连接，易知，，故，得、、、四点共面；法2：；故，得、、、四点共面；法3：以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，易得，，，，得，，故有，，得、、、四点共面．【分析】（1）由向量的线性表示即可求解；（2）法1：由题可得，，进而得到即可证明；法2：根据向量的线性运算可得即可证明；法3：建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可．【详解】（1）；（2）略【变式1-1】【答案】(1)，，(2)连接，

由题意可得则所以，所以，故四点共面.(3)由题意可得则所以，因为平面平面，且，所以平面.【分析】（1）根据空间直角坐标系的概念直接写出点的坐标即可；（2）根据直线平行的向量坐标表示证明即可；（3）利用直线垂直的向量坐标表示和线面垂直的判定定理证明即可.【详解】（1）由题意可得的坐标为，的坐标为，的坐标为.（2）略（3）略【变式1-2】【答案】(1)因为四边形为正方形，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，在直角梯形中，可知，所以两两互相垂直．以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，故四点共面．(2).【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，可证平面，因为，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示，证明，进而得出四点共面；（2）分别求平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法，得到平面与平面夹角的余弦值．【详解】（1）略（2）因为．所以，设平面的法向量为，则取．因为是的中点，所以，所以，设平面的法向量为，则取．因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.【变式1-3】【答案】(1)因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面，又，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，易得，则，则，则，即，所以四点共面.(2).【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，由平行向量的坐标关系证得，即可证得四点共面；（2）由题意设，求出，分别求出平面与平面的法向量，由垂直向量的坐标表示求出，再求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式即可得出答案.【详解】（1）略（2）由（1）知，，，，，设，则，则，设平面的一个法向量为，则，取，得，设平面的一个法向量为，则，取，得，由平面平面，则，解得，则，则，又，设平面的一个法向量为，则，取，得，易得平面的一个法向量为，则，则平面与平面夹角的余弦值为.▌题型04空间坐标法证线线垂直【例4】【答案】(1)证明：方法一：如图①，连接，由题意知，，，，由勾股定理得，，过点作⊥于点，，则，由勾股定理得，故，因此，在矩形中，为的中点，所以，所以，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以．方法二：设的中点为的中点为，连接，以所在直线分别为轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则，所以，由于，因此．(2)【分析】（1）方法一：连接，由勾股定理逆定理及线面垂直的判定得出平面，再根据线面垂直的性质即可证明；方法二：建立空间直角坐标系，由空间向量的数量积即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由面面夹角的向量公式即可求解．【详解】（1）略（2）设的中点为的中点为，连接，以所在直线分别为轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为．【变式4-1】【答案】(1)证明：连接交于点，则，连接．在中，，，所以．所以，所以，由于平面平面，所以底面．以所在直线为轴、轴、轴建立如图2所示的空间直角坐标系，则．由于，则，所以．(2)(3)存在，点在的延长线上且使．【分析】（1）连接交于点，则，连接，先根据勾股定理和面面垂直的性质证得线面垂直，以所在直线为轴、轴、轴建立的空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线垂直；（2）根据（1）建立的空间直角坐标系，利用空间向量法计算二面角平面角的余弦值；（3）解法一：根据（1）建立的空间直角坐标系，利用空间向量法结合线面平行计算得到点的位置；解法二：连接，根据题设知，可得平面，在平面找到过点有即为所求.【详解】（1）略（2）由于平面，由（1）可知，所以平面的法向量．设平面，则设，得到取，所以．所以二面角的平面角的余弦值是．（3）存在，点在的延长线上且使，使得平面.解法1：假设在直线上存在点，使平面．设，则，得，由（1）可知设平面，则设，得到不妨取．又因为平面，所以，即，得，即点在的延长线上且使．解法2：连接，由题设知，因为平面，平面，所以平面，所以在平面找到过点有即为所求.如图3．假设在直线上存在点，使平面，在的延长线上取点，使，则，从而平面．【变式4-2】【答案】(1)连接，过作，垂足为，过作，垂足为，∵为等边三角形，N分别为BE的中点，∴∵平面平面平面平面平面，∴平面以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设等边的边长为2，则设则∵四边形ABCD为平行四边形，M为AD的中点，所以.，，∵，所以，即.

(2).【分析】（1）连接，过作，垂足为，过作，垂足为，由题意得到，利用面面垂直的性质得到平面，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设等边的边长为2，写出各点坐标，通过证明即可证得；（2）由（1）求得的坐标，进而求得平面ACE的一个法向量的坐标，根据即可求得结果.【详解】（1）略（2）由（1）知,设平面的一个法向量为，取则，所以是平面的一个法向量..所以直线MN与平面ACE所成角的正弦值为.【变式4-3】【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点为，连接，，根据面面垂直的性质定理证得底面，再由线面垂直的性质定理得，，从而建立空间直角坐标系，由向量法证明垂直关系；（2）求出平面与平面的法向量，由平面夹角的向量公式计算即可求解.【详解】（1）取的中点为，连接，，因为是等边三角形，所以，因为侧面底面，侧面底面，所以底面，因为底面，所以，，所以，，两两垂直，则分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，，，因为，所以，所以；（2）在平面中，，，设为平面的一个法向量，则，令，则为平面的一个法向量．又平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．▌题型05空间坐标法证线面垂直【例5】【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）结合已知条件，建立空间直角坐标系，求出相应点及向量坐标，通过向量数量积为零得出垂直关系，结合已知条件，利用线面垂直定理证明结论；（2）求出相应点和向量坐标，进而求出各平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求余弦值，再根据同角三角函数关系求解正弦值．【详解】（1）取中点，连接，则，，四边形是正方形，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，则，则，，故，平面，平面，，平面，平面，平面．（2），则，，在平面中，设平面法向量为，则，令，则，，则，在平面中，设平面法向量为，则，令，则设平面与平面所成二面角为，则,，故平面与平面所成二面角的正弦值为．【变式5-1】【答案】(1)(2)证明：由，所以，所以，即，又，所以，所以，即，又，，平面，所以直线平面.【分析】（1）以，，为空间向量的基底，利用基底表示向量，即可得；（2）利用基底法表示向量，再根据向量位置关系证明线面垂直.【详解】（1）以，，为空间向量的基底，则，则；（2）略【变式5-2】【答案】(1)法一、在正方形中，由条件易知，所以，则，故，即，在正方体中，易知平面，且，所以平面，又平面，∴，∵平面，∴平面；法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系，则，所以，设是平面的一个法向量，则，令，则，所以，易知，则也是平面的一个法向量，∴平面；(2)(3)【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可；（2）利用空间向量计算面面夹角即可；（3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可.【详解】（1）略（2）同上法二建立的空间直角坐标系，所以，由（1）知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，所以，令，则，即，设平面与平面的夹角为，则；（3）由（1）知平面，平面，∴，易知，又，则D到平面的距离为，由棱锥的体积公式知：.【变式5-3】【答案】(1)如图，取中点，连接，，在正三角形中，，∵平面平面，平面平面，∴平面，且平面，∴，在梯形中，，∴四边形为平行四边形，∴，又∵，∴，又，平面，平面，∴平面，平面，∴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，∵，，∴且，且，平面，平面，∴平面.(2).【分析】（1）取中点，由线面垂直证明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，然后得到点坐标，由空间向量的数量积证明线线垂直，从而得到线面垂直；（2）由空间直角坐标系得到点坐标，由空间向量求得平面的一个法向量，由空间向量的夹角求得线面角的正弦值.【详解】（1）略（2）由（1）可知，∴，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，即，直线与平面所成角，则，即直线与平面所成角的正弦值为.▌题型06空间坐标法证面面垂直【例6】【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用空间向量法证明线面垂直证明面面垂直；（2）利用空间向量法证明平面，再根据线面垂直的性质得到面面平行；【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，，.设，则，，.因为，，，所以，.所以，，即，.又平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）因为，，，所以，.所以，.因为平面，所以平面.又由（1）知平面，所以平面平面.【变式6-1】【答案】(1)如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为，且，则，所以，因为，则，即，又，则，即，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.(2)(3)，点在靠近点的线段的三等分点处【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据条件求得，从而有，，利用线面垂直的判断定理得面，再利用面面垂直的判定定理，即可求解；（2）设是直线上任意一点，且，利用向量法，求得到直线的距离，即可求解；（3）利用线