北师大版数学 第2章 有理数及其运算（章节复习检测培优卷） 试卷 含答案

2025-2026学年北师大版数学七年级上册章节复习检测培优卷（2024新教材）第2章有理数及其运算检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.42班级：姓名：学号：一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）1．（24-25七年级上·山西长治·期末）如图是一个正方体的展开图，若该正方体相对的面所标注的数字互为相反数，则a+b的值为（

）A．−1 B．0 C．12 D．22．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）绝对值不大于3的所有整数的积等于（

）A．−36 B．0 C．4 D．363．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下面结论正确的是（

）A．几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数B．数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数C．平方等于它本身的数只有1D．绝对值等于其本身的有理数是非负数4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数a, b, c在数轴上的位置如图所示，则下列结论A．a−b<0 B．b+c>0 C．ab>0 D．a−c5．（24-25七年级上·云南文山·期中）按如图所示的程序输入−4进行计算，则输出结果为（

）A．4 B．3 C．2 D．16．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列说法：①符号相反的数互为相反数；②−a一定是一个负数；③不是正数的数一定是整数；④一个数的绝对值越大，数轴上表示它的点离原点越远；⑤若三个有理数中只有1个负数，则这三个有理数的乘积必为正数；其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（24-25七年级上·重庆大渡口·期末）定义一种新运算：Tx,y=2x+yx+y，其中x+y≠0，如：①T0,1②当x+y≠0，Tx,y③T+⋯+T3,2A．0 B．1 C．2 D．38．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知A41=4，A42=4×3=12，A．42 B．120 C．210 D．8409．（24-25六年级上·山东烟台·期末）下列运算错误的是（

）A．−14B．−3C．−7÷2×D．710．（22-23七年级上·重庆·期中）下列说法正确的有（

）①已知a，b，c是非零的有理数，且|abc|abc=−1时，则|a|a②已知a，b，c是有理数，且a+b+c=0，abc<0时，则b+c|a|③已知x≤4时，那么x+3−x−4的最大值为7，最小值为④若a=b且|a−b|=23，则式子⑤如果定义a,b=a+b(a>b)0a=bb−a(a<b)，当ab<0，a+b<0，aA．2个 B．3个 C．4个 D．5个二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若规定a⊕b=2ab−b，则−2⊕3⊕212．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是学校400米的标准跑道，需要设计400米跑的起跑线．最内圈的跑道是“第一跑道”，若要使得每个运动员到达同一终点线，则第二跑道比第一跑道需前移米．（π取3.14）13．（24-25七年级上·浙江台州·期末）对正整数n反复进行下列两种运算：①若n是偶数，就除以2；②若n是奇数，就乘以3加1．例如：正整数6经过一次操作后的结果是3，经过两次操作后的结果是10．若某正整数m经过4次操作后的结果是2，则正整数m的值是．14．（24-25七年级上·河南周口·期中）若−1<a<0，则a，a2,−a,115．（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）我们平常用的数是十进制的数，如1234=1×103+2×10216．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点M和点N两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒45个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是17．如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为a1，第2幅图形中“•”的个数为a2，第3幅图形中“•”的个数为a3，以此类推，则1a1

18．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了34×25=850的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为，该图表示的乘积结果为．三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（本题6分）（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算(1)−75−−0.420．（本题6分）（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况增产记为正、减产记为负；星期一二三四五六日增减+5−2−4+13−6+6−3(1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期______；(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？(3)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？21．（本题8分）（24-25七年级上·贵州遵义·期中）阅读材料一：生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：212=2×102+1×阅读材料二：二进制数与十进制数的对应关系如下表．十进制数0123456789二进制数01101110010111011110001001(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是__________，将十进制数“77”转化为二进制数是__________；(2)【迁移】请计算二进制的两个数相加，结果也用二进制表示：101+111(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．22．（本题8分）（24-25七年级上·四川乐山·期末）阅读材料点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=a−b．也就是说，4−(−3)表示4与−3之差的绝对值，实际上也可理解为4与−3比如x+3可以写成x−(−3)，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数−3的点之间的距离．再举个例子：等式x−1=1的几何意义可表示为：在数轴上表示数x的点与表示数1的点的距离等于1，这样的数x可以是0或2解决问题：(1)4−(−2)=(2)若x+3=7，则x=______；若x+3=x−1(3)x+3+x−1表示数轴上有理数x所对的点到−3和1所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使得23．（本题8分）（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如：2÷2÷2，−3÷−3÷−3÷−3等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，−3÷−3÷−3÷−3写作−3【初步探究】（1）直接写出计算结果：2③=_______，（2）下列关于除方说法中，错误的是：_______．A：任何非零数的圈2次方都等于1B：对于任何正整数n，1C：3D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：−3⑤=_______，（4）想一想：请把有理数aa≠0的圈nn≥3次方写成幂的形式为：（5）计算：12224．（本题8分）（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：BC=3−1，A，C之间的距离表示为：AC=3−−2=3+2．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：PA=x−−2利用数轴探究下列问题：(1)x+2+x−1的最小值是_____，此时(2)请按照（1）问的方法思考：x+3+x−1+(3)如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为100m，已知E，F，G，H四个小区各有2个，1个，2个，2个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M25．（本题10分）（24-25七年级上·安徽铜陵·期中）对于有理数x，y，a，t，若x−a+y−a=t，则称x和y关于a的“友谊数”为t(1)−1和5关于4的“友谊数”为________；(2)若2k和1关于3的“友谊数”为4，求k的值；(3)若x0和x1关于1的“友谊数”为1，x1和x2关于2的“友谊数”为1，x2和x①x0②x126．（本题10分）（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）点A、B在数轴上分别对应有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离AB=a−b(1)数轴上表示2和−1的两点之间的距离为，数轴上表示x和−1两点之间的距离为；(2)若x表示一个数，且−4<x<2，则x−2+x+4=；若x表示一个数，且x−2+(3)数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，①若以B为原点，写出点A，C所对应的数A，C，并计算②若O是原点，且OB=18，求a+b−c的值．

2025-2026学年北师大版数学七年级上册章节复习检测培优卷（2024新教材）第2章有理数及其运算检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.42班级：姓名：学号：一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）1．（24-25七年级上·山西长治·期末）如图是一个正方体的展开图，若该正方体相对的面所标注的数字互为相反数，则a+b的值为（

）A．−1 B．0 C．12 D．2【答案】C【思路引导】本题考查了正方体相对两个面上的文字．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定出相对面，再根据相对面上的两个数互为相反数，求出a、b的值，然后代入代数式计算即可得解．【规范解答】解：由题意可得，−3+2a−7=0，b−2+−5解得a=5，b=7，∴a+b=12，故选：C．2．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）绝对值不大于3的所有整数的积等于（

）A．−36 B．0 C．4 D．36【答案】B【思路引导】本题考查了绝对值的定义和有理数的乘法法则，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据绝对值的定义和有理数的乘法法则解答即可．【规范解答】解：绝对值不大于3的整数有：−3、−2、−1、0、1、2、3，则绝对值不大于3的所有整数的积等于0，故选：B．3．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下面结论正确的是（

）A．几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数B．数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数C．平方等于它本身的数只有1D．绝对值等于其本身的有理数是非负数【答案】D【思路引导】本题考查了有理数的乘法、数轴、有理数的乘方、绝对值，熟练掌握各运算法则和性质是解题关键．根据有理数的乘法、数轴、有理数的乘方、绝对值的性质逐项判断即可得．【规范解答】解：A、几个非零有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数，则此项结论错误，不符合题意；B、数轴上的每一个点均表示一个确定的数，但不一定是有理数，则此项结论错误，不符合题意；C、平方等于它本身的数有0和1，则此项结论错误，不符合题意；D、绝对值等于其本身的有理数是非负数，则此项结论正确，符合题意；故选：D．4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数a, b, c在数轴上的位置如图所示，则下列结论A．a−b<0 B．b+c>0 C．ab>0 D．a−c【答案】B【思路引导】本题考查有理数的乘法、有理数的加减法、数轴和绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据数轴的特点、绝对值的性质以及有理数的乘法法则、有理数的加减法法则进行解题即可．【规范解答】解：根据数轴可知a<b<0<c且a>A、a−b<0，选项正确，不符合题意；B、b+c<0，选项错误，符合题意；C、ab>0，选项正确，不符合题意；D、a−c=c−a故选：B．5．（24-25七年级上·云南文山·期中）按如图所示的程序输入−4进行计算，则输出结果为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【思路引导】本题考查了程序框图与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．把x=−4代入程序中计算得到结果，判断大于2输出即可．【规范解答】解：当输入−4时，第一次：−4=16÷=−8+6=−2<2，不输出；第二次：−2=4÷=−2+6=4>2，输出；∴输出结果为4，故选：A．6．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列说法：①符号相反的数互为相反数；②−a一定是一个负数；③不是正数的数一定是整数；④一个数的绝对值越大，数轴上表示它的点离原点越远；⑤若三个有理数中只有1个负数，则这三个有理数的乘积必为正数；其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【思路引导】本题主要考查了正数和整数的定义，绝对值的意义，相反数的定义，有理数的乘法计算，熟练掌握以上知识是解题的关键．只有符号不同的两个数互为相反数，据此可判断①；根据当a=0时，−a=0，此时不是负数，可判断②；根据不是正数的数还包括负分数可判断③；根据绝对值的几何意义可判断④；根据有理数的乘法计算法则可判断⑤，然后即可求解；【规范解答】解：①只有符号相反的数互为相反数，原说法错误；②−a不一定是一个负数，例如当a=0时，−a=0，此时不是负数，原说法错误；③不是正数的数还包括负分数，分数并不属于整数，原说法错误；④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，原说法正确；⑤若三个有理数中只有1个负数，则这三个有理数的乘积不一定为正数，例如有乘数为0时，结果为0，不是正数，原说法错误；∴说法正确的只有1个，故选：A．7．（24-25七年级上·重庆大渡口·期末）定义一种新运算：Tx,y=2x+yx+y，其中x+y≠0，如：①T0,1②当x+y≠0，Tx,y③T+⋯+T3,2A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【思路引导】本题考查新定义，正确理解题意是解题的关键，根据新定义注意分析即可得出答案【规范解答】解：∵Tx,y∴T0,1当x+y≠0，Tx,y当x=2，y=−3T0,1+T=1+=3×101+=3041故选：B8．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知A41=4，A42=4×3=12，A．42 B．120 C．210 D．840【答案】C【思路引导】此题考查了有理数的乘法运算，根据已知等式找出规律，利用规律列出乘法算式，即可求解．【规范解答】解：由已知得A7故选C．9．（24-25六年级上·山东烟台·期末）下列运算错误的是（

）A．−14B．−3C．−7÷2×D．7【答案】D【思路引导】此题考查了有理数的混合运算，根据各个选项中的式子，可以计算出正确的式子或者结果，本题得以解决．【规范解答】解：A．−14+7−B．−32C．−7÷2×−D．713故选：D．10．（22-23七年级上·重庆·期中）下列说法正确的有（

）①已知a，b，c是非零的有理数，且|abc|abc=−1时，则|a|a②已知a，b，c是有理数，且a+b+c=0，abc<0时，则b+c|a|③已知x≤4时，那么x+3−x−4的最大值为7，最小值为④若a=b且|a−b|=23，则式子⑤如果定义a,b=a+b(a>b)0a=bb−a(a<b)，当ab<0，a+b<0，aA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【思路引导】①由题意可得，abc<0，则a，b，c中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由abc<0可得a，【规范解答】解：①由|abc|abc=−1可得abc<当a<0，b>0，c>0当a<0，b<0故①正确；②由abc<0和a+b+c=0得∴a+b=−c，a+c=−b，b+c=−a∴−a|a|故②错误；③当−3≤x≤4时，x−4≤0，x+3≥0，则x+3−x−4当x<−3时，x−4≤0，x+3<0则x+3故③正确；④由a=b可得a=b当a=b时，a−b=0与|a−b|=2当a=−b时，a−b=−2b，a+b=0且2b解得a=13则ab=−19a+b−ab故④正确；⑤由题意可得a，当a<0，b>0时，a=−a，b由a>b可得−a>b，即a+b<0则{a当a>0，b<0时，a=a，由a>b可得a>−b，即a+b>0，与综上{a故⑤正确；正确的个数为4故选：C【考点剖析】本题主要考查了绝对值的性质，新定义问题，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子．二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若规定a⊕b=2ab−b，则−2⊕3⊕2【答案】−50【思路引导】此题考查的是有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新定义列式计算即可．【规范解答】解：3⊕2=2×3×2−2=10，∴−2⊕故答案为：−50．12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是学校400米的标准跑道，需要设计400米跑的起跑线．最内圈的跑道是“第一跑道”，若要使得每个运动员到达同一终点线，则第二跑道比第一跑道需前移米．（π取3.14）【答案】7.85【思路引导】本题考查圆的周长，根据圆的周长公式，根据第二跑道的周长-第一跑道的周长列式计算即可．【规范解答】解：72.6+1.25×2=2.5π=2.5×3.14=7.85（米）．故答案为：7.85．13．（24-25七年级上·浙江台州·期末）对正整数n反复进行下列两种运算：①若n是偶数，就除以2；②若n是奇数，就乘以3加1．例如：正整数6经过一次操作后的结果是3，经过两次操作后的结果是10．若某正整数m经过4次操作后的结果是2，则正整数m的值是．【答案】32或5/5或32【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，从最后一步向前进行计算：因为计算的结果应是奇数或偶数，所以分数不符合题意；根据题中的运算，计算的结果是奇数，应是乘以3加上1得到的，结果是偶数，则是除以2得到的，根据上述的要求来进行解答即可，解题的关键是根据题中的运算要求来进行解答．【规范解答】解：第4步运算前的数：2×2=4；(2−1)÷3=1第3步运算前的数：4×2=8；(4−1)÷3=1（不符合题意）．第2步运算前的数：8×2=16；(8−1)÷3=7第1步运算前的数：16×2=32；(16−1)÷3=5．故正整数m的值是32或5．故答案为：32或5．14．（24-25七年级上·河南周口·期中）若−1<a<0，则a，a2,−a,1【答案】1【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘方运算的含义，根据−1<a<0，可得0<−a<1，0<a2<−a<1【规范解答】解：∵−1<a<0，∴0<−a<1，0<a2<−a<1∴1a故答案为：1a15．（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）我们平常用的数是十进制的数，如1234=1×103+2×102【答案】93【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，认真观察已知给出的两个式子，依照示例进行计算即可．【规范解答】解：1011101=1×2故答案为：93．16．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点M和点N两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒45个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是【答案】−135【思路引导】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出M，N表示的数分别为−4和3，根据题意得出乙所在位置表示的数为75【规范解答】解：根据数轴可得M，N表示的数分别为−4和3，∵乙的速度是平均每秒45经过2秒后，乙所在位置表示的数为3−2×∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，∴此时甲所在位置表示的数是75−4=−故答案为：−135或17．如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为a1，第2幅图形中“•”的个数为a2，第3幅图形中“•”的个数为a3，以此类推，则1a1

【答案】18【思路引导】首先根据图形中“•”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．【规范解答】解：a1a2a3…，an1===故答案为：1837【考点剖析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．18．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了34×25=850的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为，该图表示的乘积结果为．【答案】2或3728【思路引导】如图2所示，由题意得，5a+e+f=6，由此可得a=1，进而求出e=0，ℎ=6，f=1；如图2-1所示，5b的结果十位数为1，则b=2或b=3，由此讨论【规范解答】解：如图2所示，由题意得，5a+e+f=6，∵a、e、f都是自然数，且a≠0，∴a=1，∴e=0，∴f=1；如图2-1所示，∵5b的结果十位数为1，∴b=2或b=3，当b=2时，g=1，当b=3时，g=1，c=8，故答案为：2或3；728【考点剖析】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算特点进行求解．三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（本题6分）（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算(1)−7(2)1【答案】(1)0；(2)7【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，包括减法法则、乘方运算以及乘法分配律的应用．熟练掌握有理数的运算法则和运算顺序是解题的关键．（1）解题思路是先将分数化为小数或者将小数化为分数，使式子中的数形式统一，然后按照有理数的减法法则将减法转化为加法进行计算．（2）根据四则运算的优先级，先计算乘方，再利用乘法分配律计算(3【规范解答】（1）解：(−=−=−1.4+0.4+1=−1+1=0；（2）解：1==2+(9−4)=2+5=7．20．（本题6分）（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况增产记为正、减产记为负；星期一二三四五六日增减+5−2−4+13−6+6−3(1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期______；(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？(3)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【答案】(1)四(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝(3)该厂工人这一周的工资总额是14225元【思路引导】此题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．（1）比较出记录中的数的最大数即可判断；（2）用记录中的最大数减去最小数即可；（3）根据“每周计件工资制”的方法列式计算解答即可．【规范解答】（1）∵+13>+6>+5>−2>−3>−4>−6∴该厂生产风筝最多的一天是星期四．故答案为：四；（2）+13−(−6)=13+6=19只答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝；（3）+5−2−4+13−6+6−3=9只，700+9×20+9×5=14225答：该厂工人这一周的工资总额是14225元．21．（本题8分）（24-25七年级上·贵州遵义·期中）阅读材料一：生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：212=2×102+1×阅读材料二：二进制数与十进制数的对应关系如下表．十进制数0123456789二进制数01101110010111011110001001(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是__________，将十进制数“77”转化为二进制数是__________；(2)【迁移】请计算二进制的两个数相加，结果也用二进制表示：101+111(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．【答案】(1)22，1001101(2)101+111=1100(3)42【思路引导】本题考查了有理数乘方的应用，仿照二进制转十进制的方法列式计算是关键．（1）根据题目信息直接进行计算即可；（2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可；（3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可．【规范解答】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是10110=1×24+0×故答案为：22；将十进制数“77”转化为二进制数是77=1×故答案为：1001101；（2）解：二进制的两个数相加：101+111=1100；（3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1，所以孩子已经出生的天数为2+3×522．（本题8分）（24-25七年级上·四川乐山·期末）阅读材料点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=a−b．也就是说，4−(−3)表示4与−3之差的绝对值，实际上也可理解为4与−3比如x+3可以写成x−(−3)，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数−3的点之间的距离．再举个例子：等式x−1=1的几何意义可表示为：在数轴上表示数x的点与表示数1的点的距离等于1，这样的数x可以是0或2解决问题：(1)4−(−2)=(2)若x+3=7，则x=______；若x+3=x−1(3)x+3+x−1表示数轴上有理数x所对的点到−3和1所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使得【答案】(1)6(2)4或−10；−1；(3)−3、−2、−1、0、1【思路引导】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．（1）根据数轴上表示4的点与表示−2的点之间的距离为6，即可得到结论；（2）根据数轴上与表示−3的点相距7个单位的点表示的数为4或−10，数轴上与表示−3的点和表示1的点距离相等的点所表示的数为−1，即可得到结论；（3）根据|x+3|+|x−1|表示数轴上有理数x所对的点到−3和1所对的两点距离之和，即可得到使得|x+3|+|x−1|=4成立的所有符合条件的整数x为−3，−2，−1，0，1；【规范解答】（1）解：∵数轴上表示4的点与表示−2的点之间的距离为6，∴|4−(−2)|=6．故答案为：6；（2）∵x+3=7∴x+3=±7，解得：x=4或x=−10；x+3=x+3=±(x−1)解得：x=−1；故答案为：4或−10；−1；．（3）∵x+3+x−1表示数轴上有理数x所对应的点到−3和1所对应的点的距离之和，这样的整数有−3、−2、−1、0、123．（本题8分）（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如：2÷2÷2，−3÷−3÷−3÷−3等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，−3÷−3÷−3÷−3写作−3【初步探究】（1）直接写出计算结果：2③=_______，（2）下列关于除方说法中，错误的是：_______．A：任何非零数的圈2次方都等于1B：对于任何正整数n，1C：3D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：−3⑤=_______，（4）想一想：请把有理数aa≠0的圈nn≥3次方写成幂的形式为：（5）计算：122【答案】（1）12；4；（2）C；（3）−133，5【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．（1）分别按除方公式进行计算即可；（2）根据定义依次判定即可；（3）把除法化为乘法，根据幂的乘方进行计算；（4）根据幂的乘方进行计算即可得到答案（5）先根据新运算代入，再根据积的乘方与幂的乘方直接计算即可得到答案；【规范解答】解：（1）由题意可得，2③=2÷2÷2=1故答案为：12（2）由题意可得，A选项任何非零数的圈2次方都等于1；所以选项A正确，B选项因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝC选项3④=3÷3÷3÷3=19，D选项负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确，本题选择说法错误的，故选C；（3）由题意可得，−3⑤=−3故答案为：−133（4）由题意可得，aⓝ（5）由题意可得，原式======−224．（本题8分）（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：BC=3−1，A，C之间的距离表示为：AC=3−−2=3+2．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：PA=x−−2利用数轴探究下列问题：(1)x+2+x−1的最小值是_____，此时(2)请按照（1）问的方法思考：x+3+x−1+(3)如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为100m，已知E，F，G，H四个小区各有2个，1个，2个，2个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M【答案】(1)3，−(2)5，1(3)700米【思路引导】（1）由x+2+x−1=x−−2+x−1可知式子x+2+x−1表示x到−2（2）同理（1）解答即可；（3）以其中一点F为原点，一个单位表示200建立数轴，则点E、F、G、H四点分别表示−100，0，100，200，设点M表示的数为x，可得所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为2x+100+x+2x−100+2x−200，分−100≤x<0、0≤x<100、100≤x≤200时，去绝对值，得出2本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键．【规范解答】（1）解：∵x+2+∴式子x+2+x−1表示x到−2和到当x<−2时，x+2+当−2≤x≤1当x>1时，x+2+∴当x在−2和1之间时，距离之和最小，最小值为1−−2=3，此时x的取值范围故答案为：3，−2（2）解：∵x+3+∴式子x+3+x−1+x−2表示x分别到−3、同（1）可知，−3≤x≤2时，x到到−3、2的距离之和最小，∴当x−1=0时，x分别到−3、1、2的距离之和最小，即x=1时，x分别到−3、1、2的距离之和最小，最小值为2−−3故答案为：5，1；（3）解：如图，以其中一点F为原点，一个单位表示100建立数轴，则点E、F、G、H四点分别表示−100，0，100，200，设点M表示的数为x，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为2x+100由（1）（2）可知点M在E、H之间，当−100≤x<0时，2x+100∴800<2x+100当0≤x<100时，2x+100∴700<2x+100当100≤x≤200时，2x+100∴700≤2x+100综上所述：当x=100时