北师大版数学 第2章 有理数及其运算·基础通关卷 试卷 含答案

2026-2027学年七年级上册数学单元自测第二章有理数及其运算·基础通关建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．的相反数是（

）A． B．2026 C． D．2．下列数轴表示正确的是（

）A． B．C． D．3．下列各式中，化简正确的是（

）A． B．C． D．4．与相等的是（

）A． B． C． D．5．DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，其活跃用户数在上线天后达到了万，将万用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．6．下列计算结果正确的是（

）A． B．C． D．7．如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（）A．一定都是正数 B．一定都是负数C．一定也异号 D．一定同号8．在有理数中负数有（

）个A．4 B．3 C．2 D．19．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．10．如图，四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（

）A．23 B．19 C．18 D．17二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．化简________．12．中国古代数学著作《九章算术》，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．如果向东走30米记作米，那么向西走40米记作_______米．13．若，则________．14．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________15．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________．16．爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．计算题(1)；(2)．18．用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来．．19．小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下：解：……第一步………………第二步…………………第三步解答下列问题：(1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程；(2)计算：．20．把下列各数填入相应的集合里：，，0，，，，，，．(1)正整数集合：{_________…}；(2)负分数集合：{_________…}；(3)非负整数集合：{_________…}．21．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）．(1)收工时该检修小组距离A地多远？(2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？22．如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”．(1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果；(2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果．23．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”．【初步探究】(1)直接写出计算结果：______；______；(2)下列关于除方说法中，不正确的是（）．A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数；C．D．1和的圈n次方都等于它本身．(3)算一算：24．我们都知道，表示8与3的差的绝对值，也可以理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索：(1)表示数轴上数与数_____两点间的距离．(2)表示数轴上数与数_____两点间的距离和数与数_____两点间的距离的和．(3)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．25．【定义新知】数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”．【尝试应用】（1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由；【拓展探索】（2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点：①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数；②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数．

2026-2027学年七年级上册数学单元自测第二章有理数及其运算·基础通关建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．的相反数是（

）A． B．2026 C． D．【答案】B【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可．【详解】解：的相反数是2026．2．下列数轴表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可．本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键．【详解】解：A．单位长度不同，该选项错误，不符合题意；B．负数的标记位置错误，该选项错误，不符合题意；C．没有原点，该选项错误，不符合题意；D．表示正确，该选项正确，符合题意；故选：D．3．下列各式中，化简正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查相反数的化简规则，依据“负负得正、正负得负、正正得正”的符号化简法则，对各选项逐一判断即可．【详解】解：A.负负得正，故，选项A化简正确，符合题意；B.正负得负，故，选项B化简错误，不符合题意；C.正号不改变数的符号，故，选项C化简错误，不符合题意；D.先化简内层，，再化简外层，，故，选项D化简错误，不符合题意．故选：A．4．与相等的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：．5．DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，其活跃用户数在上线天后达到了万，将万用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法的一般形式为，其中要求，为正整数，进行解答，即可．【详解】解：万．6．下列计算结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则逐项分析即可得出结果，熟练掌握有理数的混合运算法则是解此题的关键．【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；B、，故原选项计算错误，不符合题意；C、，故原选项计算正确，符合题意；D、，故原选项计算错误，不符合题意；故选：C．7．如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（）A．一定都是正数 B．一定都是负数C．一定也异号 D．一定同号【答案】D【分析】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得．【详解】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数），∴另外两个数的积一定为正数，∴另外两个数一定同号．8．在有理数中负数有（

）个A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本题考查有理数乘方、相反数、绝对值的基础化简知识．先分别化简题目给出的四个有理数，再根据负数的定义统计负数的个数．【详解】解：依次化简各数：∵，1>0，是正数，，，是正数，，，是负数，，，是负数，∴负数一共有2个．9．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数轴得到，进而根据不等式的性质逐一判断即可．【详解】解：由数轴可知，∴，，，．10．如图，四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（

）A．23 B．19 C．18 D．17【答案】A【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以列出算式，计算即可．理解题目提示的运算顺序是解题的关键．【详解】解：由题意得：，∴经过顺序的运算结果为23．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．化简________．【答案】/【分析】先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质化简即可求解．【详解】解：，，．12．中国古代数学著作《九章算术》，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．如果向东走30米记作米，那么向西走40米记作_______米．【答案】【详解】解：“正”和“负”相对，若向东走米记作米，那么向西走米记作米．13．若，则________．【答案】2【详解】解：∵，，，∴，∴，解得：，∴．14．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________【答案】（答案不唯一）【详解】解：依题意可得（答案不唯一）．15．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________．【答案】49【详解】解：由题意得，．16．爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____【答案】或【分析】求得横、竖以及内外两圈上的个数字之和为，求得的值，即可得到的值，代入求解即可．【详解】解：∵，∴，即：，∵，∴，当时，，当时，，综上：或．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．计算题(1)；(2)．【答案】(1)60(2)【详解】（1）解：．（2）解：．18．用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来．．【答案】；图见解析【分析】先根据有理数的乘方运算法则，相反数定义进行解答，然后把各数在数轴上表示出来，最后比较有理数的大小即可．【详解】解：，，把各数在数轴上表示为：用“”号连接各数为：．19．小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下：解：……第一步………………第二步…………………第三步解答下列问题：(1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程；(2)计算：．【答案】(1)小明在第一步出现错误；正确计算过程为：；(2)【分析】（1）小明在第一步中先计算了，因此出现错误；根据有理数混合运算法则进行计算即可；（2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可．【详解】（1）略（2）解：．20．把下列各数填入相应的集合里：，，0，，，，，，．(1)正整数集合：{_________…}；(2)负分数集合：{_________…}；(3)非负整数集合：{_________…}．【答案】(1)，(2)，，(3)，0，【分析】本题考查了有理数的分类．（1）先计算绝对值和乘方，并化简多重符号，再根据正整数的定义判断即可；（2）根据负分数的定义判断即可；（3）根据非负整数的定义判断即可．【详解】（1），，，正整数集合：{，，...}，故答案为：，；（2）负分数集合：{，，，...}，故答案为：，，；（3）非负整数集合：{，0，，...}，故答案为：，0，．21．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）．(1)收工时该检修小组距离A地多远？(2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？【答案】(1)收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米(2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米【详解】（1）解：（千米），答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米；（2）解：（千米），答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米．22．如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”．(1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果；(2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可；（2）根据流程图规则列式计算即可．【详解】（1）解：根据题意，得；（2）解：根据题意，得，∴原式．23．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”．【初步探究】(1)直接写出计算结果：______；______；(2)下列关于除方说法中，不正确的是（）．A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数；C．D．1和的圈n次方都等于它本身．(3)算一算：【答案】(1)1，(2)D(3)12【详解】（1）解：由题意可得：；（2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确；B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确；C．，，且，则，故正确；D．，或1，故错误；故选D；（3）24．我们都知道，表示8与3的差的绝对值，也可以理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索：(1)表示数轴上数与数_____两点间的距离．(2)表示数轴上数与数_____两点间的距离和数与数_____两点间的距离的和．(3)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在最小值，最小值为【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）根据绝对值的几何意义即可解答；（2）根据绝对值的几何意义即可解答；（3）根据绝对值的几何意义画出图形，结合图形，根据与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，即可求解．【详解】（1）解：表示数轴上数与数两点间的距离．故答案为：．（2）表示数轴上数与数两点间的距离和数与数2两点间的距离的和．故答案为：，．（3）存在，的最小值为5．如图，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，，当点在点的左边时，大于5；当点在点的右边时，大于5；当点在点和点之间或者与点或点重合时，．所以的最小值为5．25．【定义新知】数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”．【尝试应用】（1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由；【拓展探索】（2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点：①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数；②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数．【答案】（1）点A是点B，C的“关联点”，∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，∴，∴点A到点C的距离等于点A到点B距离的2倍，点A也是点B，C的“关联点”．（2）①点P所表示的数为，0或4；②点P所表示的数为，或【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴上两点之间的距离表示有理数，有理数的四则运算，解题的关键是掌握分类讨论的思想．（1）根据“关联点”的定义进行判断即可；（2）①先求出两点之间的距离，分类讨论：第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，第二种