甘肃省兰州市2026年九年级上学期期中数学试题附答案

九年级上学期期中数学试题一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一元二次方程x2+2x-5=0的一次项系数是（）A．1 B．2 C．-5 D．02．下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（）A．邻边相等 B．对角相等C．对角线互相垂直 D．对角线相等3．将一元二次方程化成（为常数）的形式，则的值分别是（）A．， B．3，18 C．3， D．，184．“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（）A． B． C． D．5．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（）A．2 B．3 C．4 D．56．若m，n是一元二次方程的两个根，则m2+4m+n的值是（）A．6 B．12 C．0 D．187．如图，点P是正方形内位于对角线下方的一点，，则（）A． B． C． D．8．在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（）A．B．C．D．9．某花木场有一块如等腰梯形的空地（如图），各边的中点分别是、、、，用篱笆围成的四边形场地的周长为40cm，则对角线的长度为（）A．20cm B．15cm C．10cm D．5cm10．关于x的一元二次方程的新定义：关于x的一元二次方程：与称为“交换二次方程”．如与就是“交换二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“交换二次方程”．那么代数式能取到的最小值是（）A．2036 B．2030 C．2032 D．202611．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形对角线的中点，轴，，．将菱形绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则旋转后点C对应点的坐标是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）12．当m=时，关于x的方程是一元二次方程；13．在中，给出下列条件：①；②；③；④．其中能使成为菱形的是．14．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为．15．如图，和是两个不等的正方形，连接交于，如果面积为10，则面积为．三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．解方程：．17．如图，在正方形中，G是边上一点，连接，过点D作于点E，过点B作，且交于点F．求证：．18．如图，中，．（1）作点A关于的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法．保留作图痕迹）（2）在（1）)条件下，连接，与交于点O，若，，求点B到的距离．19．落日熔金，沙海与碧波相映成辉，千年壁画随歌声苏醒.8月29日，由抖音主办，甘肃省文化和旅游厅、敦煌市委宣传部指导举办的鸣沙山月牙泉“抖音七夕落日派对”隆重启幕．如图，现准备利用活动场地一面墙（最长可用），用总长为的丝带（靠墙一面不用丝带）围成一个矩形观众区．当AB长度为多少时，矩形观众区的面积为？20．如图，在中，点E在边上，和分别是和的角平分线，以为对角线向外作四边形，使，．求证：四边形是矩形．21．阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值．解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系得，，∴．解决以下问题：（1）方程的两个实数根为，，则________，________．（2）已知实数m，n满足，，且，求的值．22．为了解同学们对某月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：××小组关于××学校学生月饼品种喜爱情况调查报告数据收集调查方式抽样调查调查对象××学校九年级部分学生数据的整理与描述品种A：莲蓉月饼B：五仁月饼C：豆沙月饼D：水果月饼E：冰皮月饼数据分析及运用（1）本次被抽样调查的学生总人数为________，扇形统计图中，________；（2）请补全条形统计图；（3）甲、乙两位同学根据调查的数据发现，A，C，E三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率23．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；（2）矩形的两条边恰好是这个方程的两个根，当_______时，矩形是正方形，此时正方形的边长是________．24．某超市销售一批精装玩偶，平均每天能售出20个，每个盈利15元．为了扩大销售、增加盈利及尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，当每个玩偶每降价1元时，平均每天可多售出4个．超市要想使这批玩偶的销售利润平均每天达到396元，每个玩偶应降价多少元？25．在学习了《特殊平行四边形》这一章后，老师布置了一项课后作业：利用所学知识在一张长，宽的矩形纸片上作出一个菱形．①小明的方案，如图11．连接；2．作的垂直平分线，交于点E，F，O；3．连接；4．四边形即为所作的菱形．②小彤的方案，如图21．利用刻度尺找到四条边的中点E，F，G，H；2．顺次连接E，F，G，H；3．四边形即为所作的菱形．【解答问题】（1）方案设计正确的是________（写出序号即可）；（2）请选择一种正确的方案进行证明；（3）直接写出哪种方案构成的四边形面积大，且最大面积是多少．26．综合与探究定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论：①________；②________；问题解决：（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果．拓展应用：（4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由．

答案1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】D11．【答案】D12．【答案】-313．【答案】①③14．【答案】有两个不相等的实数根15．【答案】1016．【答案】解：∵，

∴，

∴或，

解得．17．【答案】证明：∵四边形是正方形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

在和中，

∴，

∴．18．【答案】（1）如图，点C即为所求．

（2）∵，∴．

∵C是点A关于的对称点，∴，．

∴．∴四边形是菱形．

又，，∴，，．

在中，由勾股定理得：．

如图，过B点作于E．

∵，∴．

∴．

故答案为点B到AD的距离是．19．【答案】解：设米，则米，根据题意得：，整理得：，解得：，，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意．答：当AB长度为时，矩形观众区的面积为．20．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，

∴，，．

∵，，

∴，．

∴，．

∴四边形是平行四边形．

∵和分别是和的角平分线，

∴，．

∴．

∴．

∴四边形是矩形．21．【答案】（1）4，（2）解：∵，，且，∴m，n可看作方程的两个不相等的实数根．∴，．∴m，n均为正数，∴．∴．​​​​​​​22．【答案】（1）120，30解：（2）喜欢豆沙月饼的人数为：120-36-12-18-30=24（人），补图如下：（3）根据题意，画树状图如下：一共有9种等可能结果，其中两位同学选择同一种月饼有3种可能结果，．23．【答案】（1）证明：关于的一元二次方程，∴，

∴无论取何值，方程总有两个实数根；（2）7，324．【答案】解：设每个玩偶应降价元，可使超市销售利润平均每天达到396元，根据题意得：，整理得：，解得：，，因要尽快减少库存，故，经检验，符合题意．答：每个玩偶应降价6元．25．【答案】（1）①②（2）解：方案1：四边形为菱形，理由如下：

由作法得：是的垂直平分线，

∴，

∴，

∵四边形是矩形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四