2026-2027学年四川部分名校高三上学期入学学情检测数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.重庆市2020-2025年新能源汽车全年产量(单位:万辆)依次为4.32，15.22，36.52，50.03，95.32，129.60，则这组数据的极差为（）A.125.38万辆 B.125.28万辆C.114.38万辆 D.114.28万辆2.已知集合，则（）A.⌀ B. C. D.3.已知函数与的最小正周期相等，则的值域为（）A. B. C. D.4.若直线将圆分成两段弧，则优弧长度与劣弧长度的比值为（）A.4 B.3 C.2 D.5.变脸、吐火、滚灯、藏刀是川剧四大绝活，也是川剧区别于其他剧种最具标志性的非遗技艺.已知某川剧剧场每日依次上演四大绝活，现要安排两天四大绝活的演出顺序，若要求第一天变脸和吐火的演出顺序相邻，第二天变脸和吐火的演出顺序不相邻，则不同的方案数为（）A.24 B.120 C.144 D.1686.若，则（）A. B. C. D.7.在同一平面直角坐标系内，函数（，且），的图象可能是（）A. B. C. D.8.已知正三棱台的侧面与底面的夹角为，，且正三棱台的个顶点均在球的球面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，满足，，则（）A. B. C. D.10.已知椭圆与双曲线的焦距相同，左、右焦点分别为的离心率分别为是与的一个交点，，则的值可能为（）A.4 B. C.2 D.11.已知函数的定义域为，当且仅当时，，且，则（）A. B.C.在上单调递减 D.是偶函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的虚部为_______.13.若函数的导函数的部分图象如图所示，则________.14.已知的内角的对边分别为，且的两条角平分线是与，则当取得最小值时，________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.箱中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种小球，黄球与白球的数量之比为.现从箱中每次随机取出1个球:若取出白球，则将其放回箱中，并继续从箱中随机取出1个球;若取出黄球，或取球的次数达到3次，则停止取球.（1）求取球终止时取到2次白球、1次黄球的概率；（2）设取球终止时取球的次数为，求.16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，分别为，的中点.（1）证明:平面.（2）已知平面.①证明:.②求直线与平面所成角的正弦值.17.已知抛物线，的焦点分别为，且.（1）求直线的方程；（2）若直线与从左到右分别交于，两点，与从左到右分别交于，两点，求.18.我们把函数的阶导数记为，已知的导数为，则.（1）若函数的图象在点处的斜率为，求.（2）已知，，为常数.①若函数，求在上的零点个数；②若函数，证明:.19.在数列中，，等差数列的前项和为，且.（1）求数列，的通项公式.（2）设集合，在数列中，定义为集合中在区间内的元素个数.①求；②求.参考公式:当时，.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.重庆市2020-2025年新能源汽车全年产量(单位:万辆)依次为4.32，15.22，36.52，50.03，95.32，129.60，则这组数据的极差为（）A.125.38万辆 B.125.28万辆C.114.38万辆 D.114.28万辆答案：B解析：解答过程：由题意知，全年产量最高为万辆，最低为万辆，所以极差为万辆.2.已知集合，则（）A.⌀ B. C. D.答案：D解析：解答过程：集合

，所以.3.已知函数与的最小正周期相等，则的值域为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：易知函数的最小正周期为；对于函数可知其最小正周期为，解得；因此，即的值域为.4.若直线将圆分成两段弧，则优弧长度与劣弧长度的比值为（）A.4 B.3 C.2 D.答案：B解析：解答过程：由圆，得圆心，半径，则圆心到直线的距离，记直线与圆相交两点为，则弦长，因为，所以，所以劣弧所对圆心角为，优弧所对圆心角为，由于弧长与对应圆心角成正比，所以优弧长度与劣弧长度的比值为.5.变脸、吐火、滚灯、藏刀是川剧四大绝活，也是川剧区别于其他剧种最具标志性的非遗技艺.已知某川剧剧场每日依次上演四大绝活，现要安排两天四大绝活的演出顺序，若要求第一天变脸和吐火的演出顺序相邻，第二天变脸和吐火的演出顺序不相邻，则不同的方案数为（）A.24 B.120 C.144 D.168答案：C解析：解答过程：先安排第一天的演出：变脸和吐火的演出顺序相邻，共有种情况，捆绑后与滚灯、藏刀全排列，共有种情况，所以第一天有种不同的演出顺序；再安排第二天的演出：变脸和吐火的演出顺序不相邻，先对滚灯、藏刀排列，共有种情况，形成的三个空隙中选两个排变脸和吐火，共有种情况，所以第二天有种不同的演出顺序；由分步乘法计数原理，不同的方案数为.6.若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先利用两角和的余弦公式展开已知等式，化简得到的值，再通过二倍角公式计算所求表达式的值.解答过程：易知，代入已知等式可得，即，可得.显然，所以.7.在同一平面直角坐标系内，函数（，且），的图象可能是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分别根据图象确定参数的取值范围，再判断选项.解答过程：A.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故A错误；B.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故B错误；C.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值一致，故C正确；D.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故D错误；8.已知正三棱台的侧面与底面的夹角为，，且正三棱台的个顶点均在球的球面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先由正三棱台的边角关系求出上下底面半径及高，再假设球心位置，利用球心到各顶点距离相等建立方程，解出半径后求表面积.解答过程：设正三棱台上下底面中心分别为

​、​，下底面边长

​，上底面边长

.上下底面的外接圆半径分别为，

；内切圆半径分别为，

.侧面与底面夹角为，该二面角在垂直于底边的截面中，斜高

满足.棱台高.①若

在

和

之间，设

到

距离为

（），则到

距离为

.由球心到上下底面顶点距离相等，可得，代入

，得，矛盾.②若在

和

下方，如图.设

，则球心到上底面中心距离为

.由球心到上下底面顶点距离相等可得，化简得，因此，可得球的表面积.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，满足，，则（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：根据条件求向量的坐标，再根据选项，判断选项.解答过程：由条件可知，，，故A正确其中，故B错误；，故C正确；，所以，故D正确.10.已知椭圆与双曲线的焦距相同，左、右焦点分别为的离心率分别为是与的一个交点，，则的值可能为（）A.4 B. C.2 D.答案：CD解析：思路：设半焦距为，设，且，则根据椭圆定义与双曲线定义得，再结合，根据余弦定理求得即可求得答案.解答过程：设半焦距为，因为与的焦距相同，所以，对椭圆，，，对双曲线，，，所以，即.设，所以，由椭圆的定义得，，根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设，所以，解得，因为，所以，当时，，解得.此时，，.当时，，解得，此时，.综上，的值可能为或.11.已知函数的定义域为，当且仅当时，，且，则（）A. B.C.在上单调递减 D.是偶函数答案：ABD解析：思路：推导的解析式，代入解析式求参数，逐一判断选项.解答过程：令，，即，，不恒为零，所以.选项A，，，正确；选项B，，正确；选项C，在上单调递增，错误；选项D，是偶函数，正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的虚部为_______.答案：解析：解答过程：，则其虚部为.13.若函数的导函数的部分图象如图所示，则________.答案：解析：思路：先求出函数的导函数，根据图象可知，代入求出的值并验证即可.解答过程：由，得.由导函数的图象可知，，即，解得或.若，则，其零点为和1，显然与图象不符合，故舍去.若，则，其零点为1和3，与图象相符.综上所述，.14.已知的内角的对边分别为，且的两条角平分线是与，则当取得最小值时，________.答案：解析：思路：根据角平分线性质得，，进而结合余弦定理求得，再根据，求解即可求得答案.解答过程：因为，所以所以，由余弦定理得将代入得：，即设边上的高为，因为为角的角平分线，，，所以，，即，因为，所以，解得同理，由为角的角平分线得：所以，因为所以，因为，，所以，配方得，所以，当时，取得最小值，即取得最小值.所以，当取得最小值时，四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.箱中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种小球，黄球与白球的数量之比为.现从箱中每次随机取出1个球:若取出白球，则将其放回箱中，并继续从箱中随机取出1个球;若取出黄球，或取球的次数达到3次，则停止取球.（1）求取球终止时取到2次白球、1次黄球的概率；（2）设取球终止时取球的次数为，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先确定单次取球取到黄球、白球的概率，第一问根据事件对应“前两次取白球、第三次取黄球”的独立重复试验计算概率；（2）先明确X的所有可能取值，分别计算对应概率后代入离散型随机变量期望公式求解；（1）由题意可知，每次取球相互独立，取到黄球的概率为，取到白球的概率为；若取球终止时取到2次白球、1次黄球，则前两次取球均为白球（否则取球提前终止，无法得到2次白球），第三次取球为黄球，因此所求概率为：；（2）由取球规则得，X的可能取值为1，2，3：当时，对应第一次取到黄球，；当时，对应第一次取到白球、第二次取到黄球，；当时，对应前两次均取到白球，此时无论第三次取球结果如何均停止取球，根据期望公式得.16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，分别为，的中点.（1）证明:平面.（2）已知平面.①证明:.②求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）取中点，连接，因为分别为的中点，所以EG⫽PA，因为平面，平面，所以EG⫽平面，同理GF⫽平面，又平面，，所以平面EFG⫽平面，因为平面，所以EF⫽平面.（2）①因为

平面

，平面，所以

，因为底面

为正方形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又

，平面，所以

平面，因为

平面，所以；②解析：思路：(1)中点条件优先构造中位线得到线线平行；(2)①要证线线垂直，先证线垂直于包含另一条直线的平面；②线面角计算核心：直线方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值等于线面角正弦.（1）略（2）①略②分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则,，设平面法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角为，则.17.已知抛物线，的焦点分别为，且.（1）求直线的方程；（2）若直线与从左到右分别交于，两点，与从左到右分别交于，两点，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先根据两焦点距离求出值得到焦点坐标，进而求出直线的方程；（2）再将直线分别与两个抛物线联立，得到四点的横坐标，由即可求解；（1）对于抛物线，其焦点坐标为，对于抛物线，其焦点坐标为；由两点间距离公式：，已知，故，结合解得，因此，直线的斜率，由斜截式得直线方程为，即.（2）由（2）知,则，.联立直线与的方程：，设的横坐标为，得联立直线与的方程：，设的横坐标为，得，因为点都在直线上，且斜率为，所以.18.我们把函数的阶导数记为，已知的导数为，则.（1）若函数的图象在点处的斜率为，求.（2）已知，，为常数.①若函数，求在上的零点个数；②若函数，证明:.答案：（1）（2）①在上的零点个数为2；②因为，，因此，当时，，设，，设，，所以在上单调递增，则，所以，所以，故；当时，，设，，在单调递增，由零点存在定理得存在唯一使，即，当，，单调递减，当，，单调递增，所以的极小值，设，，因为，所以，在上单调递减，所以，所以0,故，综上，得证.解析：思路：（1）求出，，建立方程求解参数；（2）①转化为方程，先看出是零点，当,证明在存在唯一零点，当时不再有零点，合计2个零点；②当时，利用不等式放缩证明，当时，利用隐零点代换证明的极小值，故.从而得证.（1）函数

，，则的图象在点处的斜率为，由于

，所以

，由题意得

，即，所以.（2）①由题意得，，因此，令，得，当时，左右两边均为，是个零点；当时，，无零点；当时，令，，设，，当，，所以在上单调递增，即在上单调递增，，，由在上单调递增和零点存在定理得在内有且仅有一个零点，当，，单调递减，当，，单调递增，所以在处取得最小值，因为，，则，，，由，所以，故，由零点存在定理得，在内有且仅有一个零点；综上，方程在上有且仅有2个解，所以在上共有个零点；②略19.在数列中，，等差数列的前项和为，且.（1）求数列，的通项公式.（2）设集合