2026-2027学年四川省大数据智学领航联盟高三上学期入学定时模拟训练数学试卷（含解析）

/数学试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，能被整除”的否定是（）A.，不能被整除B.，能被整除C.，不能被整除D.，不能被整除2.（）A. B.C. D.3.已知为纯虚数，且的实部为，则（）A. B.C. D.4.函数的图象在处的切线方程为（）A. B.C. D.5.已知，，，则（）A. B.C. D.6.若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（）A. B. C. D.7.若对任意，恒成立，则有（）A.最大值B.最大值C.最小值D.最小值8.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知双曲线的两个焦点分别为，，则（）A.B.，在轴上C.的离心率为D.直线与没有公共点10.已知集合，则（）A.满足的有个B.集合中有个元素C.当时，D.“”是“”的必要不充分条件11.已知函数，定义域为，则（）A.在区间上单调递减B.的所有极大值按对应极大值点从小到大排列，构成公比为的等比数列C.在区间上的最大值为D.方程在区间上恰有两个解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆：，直线：，若与相切，则________．13.已知椭圆：及点，，点是上与不共线的动点，若周长的最大值为，则________.14.在正方体中，，的中点分别为，，且该正方体所有顶点都在球的表面上，若点到平面的距离为2，则球的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知抛物线经过点．（1）求的方程；（2）若的焦点为，为坐标原点，直线与交于另一点，直线与的准线交于点，证明：直线轴．16.具身智能是基于物理身体开展感知与行动的智能系统，是新质生产力发展的重要驱动力．已知2018～2025年中国具身智能产业中的机器人与自动驾驶的市场规模（单位：千亿元）如下表（数据经过加工处理）．年份年年年年年年年年机器人市场规模自动驾驶市场规模（1）求2018～2025年中国机器人市场规模的中位数与自动驾驶市场规模的分位数；（2）从2018～2025年中任取个年份，记自动驾驶市场规模比机器人市场规模多亿元以上的年份个数为，求的分布列与期望．17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥．（1）证明：；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求．18.已知数列的前项和为，，．（1）证明：数列是等比数列；（2）若，求数列的最大值；（3）设，求数列的前项和．19.已知函数的定义域为，导函数为，定义集合．（1）若为偶函数，证明：；（2）若，，，且，求的取值范围（结果用表示）；（3）若（，且，为正奇数），且对任意，，当时，有，求的取值范围（结果用表示）．

数学试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，能被整除”的否定是（）A.，不能被整除B.，能被整除C.，不能被整除D.，不能被整除答案：C解析：解答过程：命题“，能被整除”的否定是：“，不能被整除”．2.（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：．3.已知为纯虚数，且的实部为，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：设且，则，所以，解得，则．4.函数的图象在处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：，，所以函数的图象在处的切线方程为，即．5.已知，，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：，所以．6.若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据等差数列的前n项和公式可得，再结合等差数列的性质判断处的符号，即可得出答案.解答过程：因为，所以，因为，所以，所以公差，故当时，，当时，，所以当时，取得最小值，即中最小的项是.故选：B.7.若对任意，恒成立，则有（）A.最大值B.最大值C.最小值D.最小值答案：A解析：思路：将齐次不等式换元为单变量函数，求函数最大值后得到参数约束关系，进而确定的最值.解答过程：由题意知，原不等式对任意恒成立，变形得：由于右侧为一次齐次式，令，则，代入右侧得：要使不等式恒成立，需，对求导得：令，解得正根（负根舍去），当时，，单调递增；当时，，单调递减，故，因此，解得，即的最大值为.8.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：设，进而得到，，再根据，可得，然后可得，结合数量积的定义计算即可．解答过程：因为，设，且，解得，所以，因为，所以，所以．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知双曲线的两个焦点分别为，，则（）A.B.，在轴上C.的离心率为D.直线与没有公共点答案：ACD解析：解答过程：双曲线中，故A正确；在轴上，故B错误；离心率，故C正确；是的渐近线，与没有公共点,故D正确．10.已知集合，则（）A.满足的有个B.集合中有个元素C.当时，D.“”是“”的必要不充分条件答案：BCD解析：思路：对于A，易知或；对于B，由题可得该集合中的元素有共5个，对于C，可求得，再根据交集计算即可；对于D，根据交集的结果可得，然后判断条件即可．解答过程：或有2个，故A错误；该集合中的元素有共5个，故B正确;因为，即，所以，故C正确；当时，或或或或，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确．11.已知函数，定义域为，则（）A.在区间上单调递减B.的所有极大值按对应极大值点从小到大排列，构成公比为的等比数列C.在区间上的最大值为D.方程在区间上恰有两个解答案：ACD解析：思路：先求函数的导数可知A正确；极大值点为极大值点是公差为的等差数列，不是等比数列，故错误；由B知，故正确;结合单调性，分析可知当时，，故正确.解答过程：求导得令即，解得,又故或令即解得故在区间上单调递增，在区间上单调递减，故正确；由知极大值点为对应的极大值则，故错误；因为单调递减，由单调性可知，因此在定义域上的最大值是，故正确；由知在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为所以直线与曲线在区间上恰有两个交点.当时，,即所以方程在区间上恰有两个解，故正确.方法提示：本题考查了学生以导数为工具解决函数的单调性的数学能力，结合单调性解决函数的值，得到函数的变化规律，辅助解题，还考查了离散型极值的单调性的判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆：，直线：，若与相切，则________．答案：解析：思路：先从圆方程读出圆心与半径，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径这一核心关系，套用点到直线距离公式列式，化简求解参数．解答过程：圆：的圆心，半径，圆心到直线：的距离，因为直线与圆相切，所以，即，解得．13.已知椭圆：及点，，点是上与不共线的动点，若周长的最大值为，则________.答案：21解析：思路：先根据椭圆的方程求出焦点，发现点就是椭圆右焦点；写出三角形周长表达式，固定，转化为求的最大值；利用椭圆的定义替换，结合三角形两边之差小于第三边，得到最大值等式，解方程求出．解答过程：因为，所以椭圆的焦点在轴上，因为，即，所以椭圆的两个焦点为，，即是右焦点，因为，，所以，的周长，已知的周长的最大值为，所以的最大值为，椭圆上动点满足：，这里，所以，，由三角不等式，当取延长线与椭圆的交点时，等号成立，，所以最大值为，解得．14.在正方体中，，的中点分别为，，且该正方体所有顶点都在球的表面上，若点到平面的距离为2，则球的表面积为______.答案：解析：思路：根据正方体的结构特征，利用平面性质作出平面截正方体所得的截面，将点到平面的距离转化为点到直线的距离，在直角三角形中，利用等面积法求得正方体的棱长，进而求得外接球的表面积.解答过程：如图所示：设正方体的棱长为a，球为其对角线的中点，延长与交于点，则点为的中点，取的中点，则平面就是平面，取的中点，则平面截正方体所得的截面就是正六边形，设，则点到平面的距离就是点到平面的距离，即点到直线的距离，在直角三角形中，，所以点到直线的距离为，所以，所以球的表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知抛物线经过点．（1）求的方程；（2）若的焦点为，为坐标原点，直线与交于另一点，直线与的准线交于点，证明：直线轴．答案：（1）（2）证明：由已知及(1)知，直线轴,所以，设，由共线得，所以，所以直线的斜率为，即直线QR⟂y轴．解析：（1）因为经过点,所以，解得,故的方程为．（2）略16.具身智能是基于物理身体开展感知与行动的智能系统，是新质生产力发展的重要驱动力．已知2018～2025年中国具身智能产业中的机器人与自动驾驶的市场规模（单位：千亿元）如下表（数据经过加工处理）．年份年年年年年年年年机器人市场规模自动驾驶市场规模（1）求2018～2025年中国机器人市场规模的中位数与自动驾驶市场规模的分位数；（2）从2018～2025年中任取个年份，记自动驾驶市场规模比机器人市场规模多亿元以上的年份个数为，求的分布列与期望．答案：（1）中位数为；分位数是（2）的分布列为．解析：（1）这两组数据都是按照从小到大排列的，可得年中国机器人市场规模的中位数为，因为，所以自动驾驶市场规模的分位数是第个数；（2）年中自动驾驶市场规模比机器人市场规模多亿元以上的年份如下，有年、年、年、年共个年份，所以的可能取值分别为，，，所以的分布列为．17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥．（1）证明：；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求．答案：（1）证明：如图，取的中点，连接，

由三棱锥是正三棱锥，可得，

所以，

因为平面，所以平面，因为平面，所以，

因为在平行四边形中，

所以．（2）或解析：思路：（1）取的中点，连接，易得，进而得到平面，则，然后可证；（2）以为原点建立空间直角坐标系，设，分别求出平面、平面的一个法向量，然后构建方程求出，再根据勾股定理求边长即可．（1）略（2）在线段上取点，使得，连接，则为三棱锥的高，以为原点，直线为轴，过点与平行的直线为轴，直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为是边长为的正三角形，所以，设，则，所以，设平面的法向量，则，即，取，得，设平面的法向量，则，即，取，得，设平面与平面的夹角为，则，解得或，所以或．18.已知数列的前项和为，，．（1）证明：数列是等比数列；（2）若，求数列的最大值；（3）设，求数列的前项和．答案：（1）证明：因为，

所以，

所以，

又，

所以数列是首项为、公比为的等比数列．（2）（3）解析：思路：（1）由题可得，进而化为即可证明；（2）由（1）可得，，然后作差得到数列的单调性，结合单调性得到最值即可．（3）由题可得，再裂项相消求和即可．（1）略（2）由(1)得，，所以，则，所以当时，，当时，，当时，．所以，所以数列的最大值为；（3）因为，所以，所以．19.已知函数的定义域为，导函数为，定义集合．（1）若为偶函数，证明：；（2）若，，，且，求的取值范围（结果用表示）；（3）若（，且，为正奇数），且对任意，，当时，有，求的取值范围（结果用表示）．答案：（1）因为定义域为的为偶函数，所以，两边求导得，所以，所以（2）；