2026-2027学年四川省德阳市外国语学校高三上学期第一次月考数学试卷（含解析）

/数学第Ⅰ卷(选择题，共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，B=，则（）A. B. C. D.2.不等式的解集为（）A. B.或C.或 D.3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.64.已知直线与平面，则能使成立的充分条件是（）A.， B.，C.， D.，，5.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.6.有三个数：，大小顺序正确的是（）A. B.C. D.7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：，）（）A. B. C. D.8.已知函数，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.设，则（）A. B.C. D.10.已知x，y为正实数，，则下列说法正确的是（）A.的最大值为4 B.的最小值为3C.的最小值为 D.的最小值为1611.已知函数，则下列说法正确的是（）A.曲线在处的切线方程为B.函数的值域是C.若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为D.若过点至少可以作曲线的两条切线，则第Ⅱ卷(非选择题，共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设函数，则______.13.已知，是三角形的内角，则__________．14.已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________．四、解答题：本题共5道小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕，中国女篮获得亚军，时隔28年再次登上大赛领奖台，追平队史最好成绩，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况，某机构对某社区群众观看女篮比赛的情况进行调查，将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”，否则称为“非女篮球迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如下表所示：女篮球迷非女篮球迷总计男2026女l4总计50（1）补全列联表，并判断是否有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关？（2）现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中，随机抽取2人，记这2人中男“女篮球迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望.附：，0.050.010.0013.8416.63510.82816.已知等差数列的公差为，前项和为，等差数列的公差为，且，，．（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和．17.在中，角、、的对边分别为、、，已知．（1）求；（2）若，周长为6，求边上的高；（3）若，求的范围．18.已知函数.（1）若在单调递增，求的取值范围：（2）若，证明：当时，.19.已知集合，对于，，定义与之间的距离为．（1）已知，写出所有的，使得；（2）已知，若，并且，求的最大值；（3）设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．

数学第Ⅰ卷(选择题，共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，B=，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由交集的定义可得.2.不等式的解集为（）A. B.或C.或 D.答案：B解析：思路：不等式可转化为，根据二次不等式的解法结合图像即可求解解答过程：由得，即，也即，解得或，所以原不等式的解集为或，故选：B3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.6答案：A解析：思路：利用向量垂直的条件求出参数，再计算向量的模长.解答过程：已知，，且，因此：，解得.所以，则4.已知直线与平面，则能使成立的充分条件是（）A.， B.，C.， D.，，答案：C解析：思路：根据线面、面面平行和垂直的相关定理依次判断各个选项即可.解答过程：对于A，若，，则可能平行或相交，A错误；对于B，若，，则可能平行或相交，B错误；对于C，若，则在平面内必存在一条直线，使得，，，又，，充分性成立，C正确；对于D，在如下图所示的钝二面角中，，，，无法得到，D错误.故选：C.5.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据函数的奇偶性判断即可.解答过程：设，则，所以为奇函数，设，可知为偶函数，所以为奇函数，则B，C错误，易知，所以A正确，D错误．故选：A.6.有三个数：，大小顺序正确的是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，利用指数函数、三角函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答.解答过程：，，所以.故选：A7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：，）（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由题意整理可得，代入题中数据，结合对数运算求解即可.解答过程：因为，即，设消除的污染物大约需要，由题意可得，即，取对数可得，两式相比可得，则，所以要消除的污染物大约需要.故选：C.8.已知函数，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：令，则，从而可得，构造函数，对函数求导，得出函数的单调性与最值，从而得解.解答过程：令，则，所以，，所以.令，则，则在上单调递减，在上单调递增，故，故的取值范围是.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.设，则（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：按共轭、模、平方、实数判定四个定义逐个代入检验即可.解答过程：A选项：已知，根据共轭复数的定义可得.故A正确；B选项：由，故B错误；C选项：由，故C错误；D选项：由，故D正确.10.已知x，y为正实数，，则下列说法正确的是（）A.的最大值为4 B.的最小值为3C.的最小值为 D.的最小值为16答案：ABD解析：思路：利用基本不等式逐个判断A、B、C选项，利用配方法化简D选项中代数式即可求得最值.解答过程：当时，∵，∴，∴，当且仅当时，取等号，A选项正确；，当且仅当时，取等号，B选项正确；，当且仅当时，取等号，∴，C选项错误；∴，D选项正确.故选：ABD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.曲线在处的切线方程为B.函数的值域是C.若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为D.若过点至少可以作曲线的两条切线，则答案：BCD解析：思路：结合导数分析函数的单调性、极值，利用导数的几何意义求解切线方程与切线存在性，通过数形结合的思想，分析点到直线的距离最小值，逐一验证每个选项的正确性.解答过程：对A选项，对函数求导可得，令，得，又，故曲线在处的切线方程为，即,故A选项错误.对B选项，令，则；令，则，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以当，取得最大值，当时，，，故，故函数的值域是，所以B选项正确.对C选项，当曲线在点P处的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，设点，则，整理得，令，则，故单调递增，代入，得，因此唯一解，此时，点P到直线距离为.故C选项正确.对D选项，设过点的切线切点为，切线斜率为，切线方程为，将点代入切线方程，整理得，令，若过点至少可以作曲线的两条切线，则函数和函数至少有两个交点.对求导得，令得或，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此，在处取得极小值，在处取得极大值，所以的大致图象如图所示：由图象可知，当时，函数和函数至少有两个交点，此时过点至少可以作曲线的两条切线.故D选项正确.第Ⅱ卷(非选择题，共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设函数，则______.答案：2解析：解答过程：因为，所以.13.已知，是三角形的内角，则__________．答案：解析：解答过程：由题设可得，而，所以，则，应填答案．14.已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________．答案：##解析：思路：设出公切线在两函数图象上的切点，用两种方式表示出公切线，得到对应等量关系，据此可得答案.解答过程：设公切线在图象上的切点为，结合，可得公切线方程为：；设公切线在图象上的切点为，结合，可得公切线方程还可表示为.依题意可得，由②得，即，代入①，得，又，，从而.令，则.令，则，则在上单调递减，注意到，则，则在上单调递增，在上单调递减，从而，即实数m的最大值为.四、解答题：本题共5道小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕，中国女篮获得亚军，时隔28年再次登上大赛领奖台，追平队史最好成绩，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况，某机构对某社区群众观看女篮比赛的情况进行调查，将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”，否则称为“非女篮球迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如下表所示：女篮球迷非女篮球迷总计男2026女l4总计50（1）补全列联表，并判断是否有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关？（2）现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中，随机抽取2人，记这2人中男“女篮球迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望.附：，0.050.010.0013.8416.63510.828答案：（1）列联表如下：

女篮球迷非女篮球迷总计男20626女10l424总计302050没有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关．（2）的分布列为：012期望是．解析：思路：（1）根据已知数据完善列联表后计算可得结论；（2）确定6人中的男女人数，然后得出随机变量的值，分别计算概率的分布列，由期望公式计算期望．（1），没有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关．（2）从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，这6人中男“女篮球迷”有4人，女“女篮球迷”有2人，的可能值是0，1，2，，，，的分布列为：012．16.已知等差数列的公差为，前项和为，等差数列的公差为，且，，．（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1），（2）解析：思路：（1）由题意列出等式，解方程求出，即可求出，的通项公式；（2）由分组求和法结合裂项相消法、等比数列的前项和代入即可得出答案.（1）因为数列，都是等差数列，且，，所以，解得，所以综上，．（2）由（1）得：所以．17.在中，角、、的对边分别为、、，已知．（1）求；（2）若，周长为6，求边上的高；（3）若，求的范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理消元，再用辅助角公式化简三角等式，即可求出角；（2）结合周长条件与余弦定理求出，再利用等面积法即可求出边上的高；（3）由向量的数量积可得到角的范围，然后利用正弦定理边角互化和三角恒等变换化简，最后借助正切函数的单调性即可求出范围.（1）由正弦定理，得，代入已知等式，得，化简得：，即，即，因为，所以，所以，解得.（2）由题意知，且，所以，由余弦定理得：，即，解得，设边上的高为，所以，即，解得.（3）因为，即，所以，因为为的内角，所以，又因为，所以，所以，即，所以.由正弦定理可得：，因为，所以，因为在单调递增，所以，所以，即.18.已知函数.（1）若在单调递增，求的取值范围：（2）若，证明：当时，.答案：（1）；（2）证明见解析.解析：思路：（1）由已知可得，对恒成立,构造函数令可得，利用导数求得函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解出即可；（2）利用分析法可知，要证明原不等式成立，即证：当时，，构造函数，利用导数证明出函数在上单调递增，由此可得出所证不等式成立.解答过程：解：（1）依题意有.函数在单调递增，对恒成立.即：对恒成立令则当时，，函数在单调递增，，解得.因此，实数的取值范围是；（2）当时，要证：当时.即要证：当时.构造函数：，则，先证：当时，要证：，即要证：，构造函数：时当时，，则函数在单调递增.即，函数在单调递增，，即：当时，故原不等式成立.方法提示：本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于较难题.19.已知集合，对于，，定义与之间的距离为．（1）已知，写出所有的，使得；（2）已知，若，并且，求的最大值；（3）设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．答案：（1）、、、；（2）；（3）记，我们证明．一方面显然有．另一方面，且，假设他们满足．则由定义有，与中不同元素间距离至少为相矛盾．从而．这表明中任意两元素不相等．从而．又中元素有个分量，至多有个元素．从而．解析：思路：（1）根据题中定义可得