用公式法分解因式 课后巩固卷-2026-2027学年人教版八年级数学上册

17.2用公式法分解因式课后巩固卷2026-2027学年人教版

八年级数学上册

一、单选题

1.下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是()

A.x2-2xy-y2B.x2-4y2+4yxC.A:2+4y2D.--x2+y2

'''4

2.下列各选项中因式分解正确的是()

A.x2-9y2=(x-3y)(-v+3y)B.x2-4x+4=x(x-4)+4

C.<-I=(A-1)2D.x2-xy?+x=x(x-y)

3.在把多项式〃?2-2〃〃L3〃2因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全

平方公式进行分解：原式=〃『-2〃〃7+〃2-4〃2=(〃?-〃)?-3〃)，像这样构造完全平

方式的方法称之为“配方法用这种方法把多项式4一6出-5〃因式分解的结果是()

A.[a+5b)(a+b)B.一5人乂〃4/?)

C.+D.(6Z-5/?)(6i-Z?)

4.小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a-b,m-mS,a+b,a2+b\m,

分别对应下列六个字：爱，我，贵，州，学，校.现将8〃?("2)_8〃(/一从)因式分解，结果呈现

的密码信息可能是()

A.贵州爱学B.我爱贵州C.贵州学校D.我爱学校

20252026

5.(-2)+(-2)=()

A._2的B.-22026C.22025D.-2

6.数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是丁+2〃a+20能在有理数的范围内因式分解，

则整数机的值有几个.小军和小华为此争论不休，请你判断整数机的值有几个？()

A.0B.2C.4D.6

7.已知(〃?+2〃y+2〃?+4〃+1=0,则(〃，+2〃广6的值为()

A.-1B.-2C.1D.2

8.已知长方形的长是小宽是仇它的长与宽的和为7,面积为10.则/力+必2的值为()

A.140B.70C.35D.24

二、填空题

9.一个关于〃的二项式，其中一项是3/，若这个二项式能因式分解，则另一项是.(只写一

种即可)

10.若多项式V-〃氏+36能用完全平方公式进行因式分解，则〃?的值是.

II.若4=2021x589—588x2021,/?=2019x2018-2017x2020,则a与方的大小关系为

12.将下列四个图形拼成一个大长方形，据此写出一个将多项式因式分解的等式为.

①若"(a,2),N(l/)关于x轴对称，则a+A=-l；

②如果三角形一边的中点到其他两边距离相等，那么这个三角形一定是等腰三角形；

③将多项式5孙+3)，-2/)，因式分解，其结果为一)，(2x+1)(A-3)；

④等边三角形A8C中，。是BC边上一点.E是AC边上一点，若=则N84O=3NEDC.

其中正确的命题的序号为.

三、解答题

14.因式分解

(1)2/-8〃?;

(2)nix1-4nix+4m:

(3)4/-16a；

(4)(3x-y)(3x-4y)+3xy.

15.常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如

V-4V-2x+4y,我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产

生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：

x2-4y2-2x+4y=(x2-4y2)-(2A-4y)

=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)

=(x-2y)(x+2y-2)

这种方法叫分组分解法，请利田这种方法因式分解下列多项式：

(I)mn1-2mn+2〃-4；

⑵/一2他+//一16.

16.下面是小明同学的数学笔记，笔记中有一道因式分解题，小明在练书法时不小心将笔记中的两个

数字沾上了墨水，分别求出代表的数字

因式分解：2X2-7X+A=（2X-1）（X+H）.

17.【阅读材料】乘法公式是代数运算的基石，其中完全平方公式和平方差公式最为常用.它们不仅

可以进行整式乘法，还能逆向使用进行因式分解.

⑴因式分解：a2-4=，(x-2)*-9=

⑵在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：X2-8X+

⑶参考上面方法，分解因式：V+4X+3.

18.阅读下列材料:

若x满足（9-幻3・4）=4,求（9-4+（x-4＞的值.

设9-x=。，x-4=b,则(9-x)(x-4)=(心=4,a+b=(9-^)+(x-4)=5,

所以(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2?417.

造仿照卜面的方法求解下面问题:

⑴若x满足(5-x)(x-2)=2,求(5.幻2+。・2＞的值;

⑵如图，已知正方形A8CD的边长为x,E,尸分别是4。，OC上的点，且AE=1,CF=3,长方

x的式子表示）

②求阴影部分的面积.

参考答案

题号12345678

答案1)A1)BCBCB

1.【答案】D

【知识点】判断能否用公式法分解因式

【分析】本题考查公式法因式分解，主要利用平方差公式=(«+/?)(«-/?)或完全平方公式

/±2〃)+6=(a±b)2,检查各选项是否符合公式形式即可.

【详解】解：选项A：x2-Zxy-.y2,两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直

接应用平方差公式，不能用公式法分解.

选项B：Y-4V+4yx,整理为丁+4盯-4y2,两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也

无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解.

选项C：/+4)，2,仅为两个平方项相加，不符合平方差公式或完全平方公式，不能用公式法分解.

选项D：-%+洛可改写为y2m符合平方差公式,

公式法分解.

故选D.

2.【答案】A

【知识点】平方差公式分解因式、提公因式法分解因式

【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.

根据因式分解的方法逐项判断即可.

【详解】解：选项A：x2-9y2=a-3y)(x+3y)是因式分解，符合题意;

选项B：f-4x+4=Mx-4)+4等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意;

选项C：x2-l=(x+l)(x-l)^(x-l)2,等式不成立，不是因式分解，不符合题意；

选项D：X2-w+x=Mx-y+i)，Mx-y)，等式不成立，不是因式分解，不符合题意.

故选：A.

3.【答案】D

【知识点】综合运用公式法分解因式

【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答.

【详解】a2-6ab+5b2

=a2-6ab+9b2-4b2

=(a-3b)2-(2b)2

=(a-3b+2b)(a-3b-2b)

=(a-b)(a-5b)；

故选：D.

【点睛】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键.

4.【答案】B

【知识点】综合提公因式和公式法分解因式

【分析】本题主要考查分解因式，利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键.

首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，得到因式对应的汉字，再判断符合的选项即可.

【详解】解：原式=8(/一⑹(〃一〃)=8(4+))(。一9(〃7—〃)，

・•・分解后的因子为8,a+b,a-h,m-n,

对应汉字为：贵、州、爱、我.

组合后可能为“我爱贵州”，

故选：B.

5.【答案】C

【知识点】因式分解在有理数笥算中的应用

【分析】本题考查利用因式分解进行简便运算，提公因式法进行因式分解后，再进行计算即可.

【详解】解：原式=(-2产修(1-2)=2吗

故选C.

6.【答案】B

【知识点】十字相乘法

【分析】本题考查了利用I字相乘法分解囚式，熟练掌握I字相乘法是解题关键.根据题意得出常数

项20需分解成两个整数的乘积，再根据十字相乘法可得2/〃所有可能的值，由此即可得.

【详解】解：•・•/+2〃a+20能在有理数的范围内因式分解，且要使得〃，为整数，

・•・常数项20需分解成两个整数的乘积，即20=4x5,2()=-1x(-5),20=2x10,2O=-2x(-IO),

20=1x20,20=-lx(-20),

2m=4+5,2?w=-4+(—5),2m=2+\O,2m=—2+(—10),2rn=1+20>2m=-1+(—20),

/.m=4.5,tn=-4.5，m=6,tn=6,m=10.5,m=-10.5，

综上，整数〃，的值有2个，

故选：B.

7.【答案】C

【知识点】完全平方公式分解因式、已知式子的值，求代数式的值

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，设f=〃?+2”，根据题意可得/+2，+1=0,

则。+1『=0,根据非负数的性质求出，的值即可得到答案.

【详解】解：设/=〃?+2〃，

V(m+2n)~+2m+4〃+1=0,

:.(m+2n)2+2(〃?+2〃)+1=0,

r+2/+1=0,

.*.(/+l)2=0,

・・・f+l=0,

Ar=-1,

m+2n=-\»

・・・(，〃+2〃产=(一1产=1,

故选：C.

8.【答案】B

【知识点】因式分解的应用

【分析】由题意可得力=7,而=10,再对/人加进行因式分解，最后代入求值即可.

【详解】解：由题意可得：a+b=7,ab=10,

a2b+ab2=a〃(a+〃)=10x7=70.

9.【答案】-3(答案不唯一)

【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式

【分析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是熟练掌握提取公因式或平方差公式这两种方法

考虑因式分解的常见方法，如提取公因式或平方差公式，另一项可选择常数或一次项以使二项式可分

解即可.

【详解】解：若另一项可以为-3,

则二项式为3笛-3=3,/—1）=3（〃+1）（4-1）；

或另一项可以为-6〃，

则二项式为3a2-6«=344-2）.

故答案为：-3（答案不唯一）.

10.【答案】±12

【知识点】求完全平方式中的字母系数、完全平方公式分解因式

【分析】本题考查分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

多项式能用完全平方公式分解，设多项式f一次r+36可分解为（工+力『，则/一,依+36=/+2方x+〃，

那么从=36,解得力=±6,然后分两种情况,求出加的值即可.

【详解】解：设多项式d—〃〃+36可分解为"+

那么X?-〃a+36=f+2bx+b2,

则〃2=36,解得〃=±6,

当匕=6时，x2-7?iv+36=x2+12x+36，

—/n=12,

in=-12；

当b=-6时，x2-77LV+36=X2-I2.V+36»

，一〃=z-12,

.,•〃?=12；

故答案为：±12.

11.【答案】

【知识点】因式分解在有理数笥算中的应用

【分析】先把〃提取公因式进行因式分解求出。，再把〃利用乘法分配律化简得出人的值，最后比较

大小.

【详解】解：•••4=2021x589-588x2021

=2021x（589-588）

=2021x1

=2021.

匕=2019x2018-2017x2020

=20I9x(2017+1)-2017x(2019+1)

=2019x2017+2019-2017x2019-2017

=2019-2017

=2.

故答案为：a>b.

【点睛】本题考查了因式分解，准确拆项是本题的关键.

12.【答案】f+3X+2=(X+2)(X+1)

【知识点】因式分解的应用

【分析】本题考查了因式分解与图形的面积问题.

画出拼接的长方形，进而根据面积的两种表达方式列等式即可.

【详解】解：拼接如图：

长方形的面积为X2+31+2,还可以表示面积为：（x+2/x+l）.

故答案为：W+3X+2=（X+2）（X+1）.

13.【答案】①②③

【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、等边三角形的性质、判断命题真假、等腰三角形的定义

【分析】本题考查了命题，涉及点坐标的特征，角平分线的性质，因式分解，等边三角形的性质及三

角形外角的性质，据此逐一判断即可.

【详解】解：①若2）,N（l,»关于x轴对称，贝k=1力=-2,即a+%=-l,故①为真命题；

②如果三角形一边的中点到其他两边距离相等，则该点在这人三角形的中线和角平分线上，那么这个

三角形一定是等腰三角形，故②为真命题；

③将多项式5冲+3），-2t，因式分解，其结果为=_〉，（2/_5X-3）=-），（2》+1）（工-3）,故③为真命题；；

④如图，等边三角形A8C中，则NB4C=NC=6（）。，

AD=AE,

'ZADE=ZAED,

，ZADE=ZAED=ZC+ZEDC=6QP+ZEDC,

，ZDAE=180°-ZAED-ZADE=60。-2ZEDC,

ZBAD=6()°-ZDAE=2ZEDC,故④为假命题；.

故答案为：①②③.

14.【答案】⑴2切(6一4)；

⑵MT)?；

⑶4a(a+2)(a-2)；

⑷(3x-2».

【知识点】综合提公因式和公式法分解因式

【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,

一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解.

(1)用提取公因式法即可；

(2)用提取公因式法，再利用完全平方公式进行因式分解即可；

(3)先提取公因式法，再用平方差公式分解即可；

(4)先利用多项式乘式项式法则计算，合并同类项，再利压完全平方公式进行因式分解即可.

【详解】(1)解：原式=2小(〃?一4)；

(2)解：原式="f-4x+4)

=〃心-2『；

(3)解：原式=4〃(/-4)

=4(i(a+2)(a-2)；

(4)解：原式=9.d一3,9-12肛+4y2+3孙

=9.r2-12xy+4y2

=(3x-2y)2

15.【答案】(1)(〃一2)(〃皿+2)

(2)(a-b+4\a-b-4)

【知识点】分组分解法

【分析】本题考查了因式分解的应用，热练掌握因式分解的方法是解答本题的关键.因式分解常用的

方法有：①提公因式法；②公式法：③十字相乘法：④分组分解法.

(1)用分组分解法分解即可；

(2)用分组分解法分解即可.

【详解】(1)原式=(mn2-2mn)+(2n-4)

=〃"?(〃-2)+2(〃-2)

二(〃-2)(〃?〃+2)

(2)原式=(。2—2"+从)―16

=(a-b)2-42

=(。一〃+4)(。一〃一4)

16.【答案】“▲”代表的数字是3,“■”代表的数字是-3.

【知识点】十字相乘法、构造二元一次方程组求解

【分析】本题考查了因式分解，解二元一次方程组.根据同意得到2/一7工+。=(左-1)0-〃)，再根

据等式的性质得到二元一次方程组，据此求解即可.

【详解】解：设代表的数字为代表的数字为。，

/.2x2-7x+a=(2x-l)(x+/?).

(2x-l)(x+Z?)=2x2+2bx-x-b=2x2+(2b-\)x-b,

2b-[=-l

a=—b'

a=3

解得L钎

代表的数字是3,“■”代表的数字是-3.

17.【答案】⑴(a+2)(a-2),(x+l)(x-5)

⑵16

(3)(x+3)(x+l)

【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式

【详解】(I)