高考数学一轮复习第六章数列第36节数列求和课件

第36节数列求和考点探究•核心突破

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【对点训练】(2025·青岛模拟)等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3

a1+log3

a2+…+log3

a10=(

)A.12 B.10 C.5 D.2log35√【解析】选B.因为{an}是各项均为正数的等比数列,a5a6+a4a7=18,所以a5a6+a4a7=2a5a6=18,即a5a6=9,则a1a10=a2a9=…=a5a6=9.记S=log3a1+log3a2+…+log3a10,则S=log3a10+log3a9+…+log3a1,两式相加得2S=log3(a1a10)+log3(a2a9)+…+log3(a10a1)=10×log39=20,所以S=10,即log3a1+log3a2+…+log3a10=10.

【解析】因为f(xy+1)=f(x)f(y)−2f(x)−2y+3,f(0)=2,所以令x=y=0,则f(1)=f(0)f(0)−2f(0)+3=4−4+3=3,令x=y=1,则f(2)=f(1)f(1)−2f(1)−2+3=9−6+1=4,令x=1,y=2,则f(3)=f(1)f(2)−2f(1)−4+3=12−6−1=5,令x=1,y=3,则f(4)=f(1)f(3)−2f(1)−6+3=15−6−3=6,令x=y=2,则f(5)=f(2)f(2)−2f(2)−4+3=16−8−1=7,

[提醒]要注意正负相消时,可以通过写出前几项观察消去规律的方法,确定消去了哪些项,保留了哪些项,不可漏写未被消去的项.

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考点四

错位相减法求和(规范答题)【例4】(2024·全国甲卷)(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=3an+4.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=(−1)n−1nan,求数列{bn}的前n项和Tn.【解题分析】信息读取信息联想14Sn=3an+42求{an}的通项公式根据和与项之间的关系,利用知和求项的方法求通项公式3求数列bn=(−1)n−1nan的前n项和根据通项公式的结构形式利用“错位相减法”求和【标准答案】(1)因为4Sn=3an+4,[①基础思维]求通项公式:数列中an和Sn的关系,当n≥2时an=Sn−Sn−1;当n=1时,S1=a1.当n=1时,4S1=4a1=3a1+4,解得a1=4.

……………………………………………………[1分]

(2)bn=(−1)n−1·n·4·(−3)n−1=4n·3n−1,[②进阶思维]求数列的前n项和:数列的通项为anbn的形式,其中数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,则求数列{anbn}的前n项和可以利用“错位相减法”.所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=4×30+8×31+12×32+…+4n·3n−1,

……………………………[8分]故3Tn=4×31+8×32+12×33+…+4n·3n,…………………………[10分]

【对点训练】已知Sn是数列{an}的前n项和,a1=2,an+1=2(an+2n),不等式2λan−S2n+1−128n