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第30节平面向量的应用考点探究•核心突破

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【方法总结】平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.(2)基向量法:适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.

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考点二

平面向量在物理中的应用【例2】(2025·全国一卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速,视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等,方向相反.如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同,单位m/s),则真风为(

)A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风等级风速大小名称21.1~3.3轻风33.4~5.4微风45.5~7.9和风58.0~10.1劲风√【方法总结】平面向量对物理背景问题研究的类别(1)求几个力的合力,可以用几何法通过解三角形求解,也可以用向量法求解.(2)如果一个物体在力F的作用下产生位移为s,那么力F所做的功W=|F||s|cosθ,其中θ是F与s的夹角.由于力和位移都是向量,所以力所做的功就是力与位移的数量积.(3)速度向量:速度向量是具有大小和方向的向量,因而可用求向量和的平行四边形法则,求两个速度的合速度.

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【方法总结】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还加入参数,考查分类讨论的思想方法.(2)向量与三角函数结合时,通常以向量为表现形式,实现三角函数问题,所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.

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(2)平面向量a,b满足|a|=|b|,且|a−3b|=1,则cos<b,3b−a>的最小值是__________.

【方法总结】和向量有关的最值、范围问题的解题策略1.平面向量中的范围、最值问题是热点问题,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.2.解题思路通常有两种:一是“形化”,即利用平面向量的几何意义,先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断.二是“数化”,即利用平面向量的坐标运算,先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题,然后利用函数、不等式、方程等有关知识来解决.

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微进阶极化恒等式

2.极化恒等式的应用(1)具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单,让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能,此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁,实现向

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