中考数学几何最值模型 专题01 垂线段最短模型（学生版+解析版）

垂线段最短模型

@＞模型讲解

【结论一】

如图，直线外一点A,到直线上的点M的距离最小

（【结论二】

如图，在三角形ABC中，M、N分别是DE、BC上的动点，连接AM,

MN,求AM+MN的最小值。则有以下结论成立:

过A作BC的垂线，垂足为Q,于DE相交于P,当M、N分别于P、Q

（重合时，AM+MN有最小值，即为AQ的长度。7

NQ

B

◎方法点拨

一、题型特征：

①一定点

②动点的运动轨迹为直线

二、模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短。

•・・4£）是△4BC的角平分线，NACB=90°,

与C关于A。对称，

，PC+PQ=PC+PQ=CQ即为所求：

VAC=3,BC=4,AB=5,

：.AC=3,

•••CQ_L4C,BCA-AC,

：，CQ//BC,

・C'Q=AQ=AC'

BCACAB，

.C'Q-3

45

.・.CQ=£

5

故答案为四.

5

3.如图所示，在菱形A8C。中，ZA=60°,48=2,E,尸两点分别从A,B

两点同时出发，以相同的速度分别向终点8,C移动.连接EF,在移动的过

【解答】解：连接作。"L44于〃，如图,

•・•四边形/WC。为菱形，

：.AD=AB=BC=CD,

而NA=60°,

・•・△A8D和△BCQ都是等边三角形,

AZADB=ZDBC=60a,AD=BD,

在RtZXAO”中，AH=\,AD=2,

・・・。”=代，

在△/1/)£：和△8。尸中

'AD=BD

'NA=/FBD，

AE=BF

・•・△ADEm4BDF,

/.Z2=Z1,DE=DF

/.Z\+ZBDE=Z2+ZBDE=ZADB=60°,

・•・△£>£/为等功三角形，

:・EF=DE,

而当E点运动到〃点时，DE的值最小，其最小值为例,

・・・石尸的最小值为近.

故选：D.

次强化训练

1.如图，在口△44C中，ZA=90°,AB=3,AC=4,。为AC中点，P为AB

上的动点，将。绕点。逆时针旋转90°得到P',连CP',则线段CP'的

最小值为（）

A.1.6B.2.4C.2D.2^2

2.如图，等腰三角形A8C的底边BC长为10,面积是40,腰AC的垂直平分线

E/分别交AC,A8边于E,F点.若点。为8c边的中点，点M为线段E尸

上一动点，则△CQM周长的最小值为

3.如图，在4c中，AB=6,S*BC=10,点M是NA4c平分线40上一动

点，点N是BC上一动点，则CM+MN的最小值是

4.如图，在直角△ABC中，NABC=90°,AD平分NBAC,E、尸分别为线段

A。、AB上的动点，其中A8=8,AC=\0,8。=区，则BE+EF的最小值

3

5.如图，边长为8近的等边三角形ABC中，E是对称轴A。上的一个动点，连

接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运

动过程中，。尸的最小值是

6.如图，在RlZX/WC中，ZC=90°,AC=BC=8,点P为48的中点，E为

BC上一动点,过C、E、P三点OO交AC于尸点，连接E尸，则石尸的最小

7.如图，在△/WC中，ZC=90°,AC=BC=4,短是A8的中点，点七、尸分

别在AC、BC边上运动（点石不与点A、C重合），且保持NED广=90°,连

接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：®DE=DF；②四

边形CEDF的面积随点山/位置的改变而发生变化；③。E+。/=返4&

2

@AE2+^2=2E£>2.以上结论正确的是（只填序号）.

E

.4DB

1.（2021•东阿县三模）如图，菱形A8C。的对角线相交于点O,AC=12,BD

=16,点尸为边8c上一点，且尸不与写B、C重合.过户作PE_L4C于E,

PF_LBD于F,连接ER则Er的最小值等于.

BC

垂线段最短模型

@＞模型讲解

【结论一】

如图，直线外一点A,到直线上的点M的距离最小

\________________________________________________________)

A

1【结论二】

如图，在三角形ABC中，M、N分别是DE、BC上的动点，连接AM,

MN,求AM+MN的最小值。则有以下结论成立：

过A作BC的垂线，垂足为Q,于DE相交于P,当M、N分别于P、Q

I重合时，AM+MN有最小值，即为AQ的长度。J

NQ

B

k）方法点拨

一、题型特征：

①一定点

②动点的运动轨迹为直线

③可出现多个动点

二、模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短。

例题演练

1.如图，在RtZ\A8C中，NA=90°,AB=3,AC=4,。为AC中点，P为A8上的动点,

将尸绕点。逆时针旋转90°得到P',连CP,则线段CP'的最小值为()

A.1.6B.2.4C.2D.2亚

【解答】解：如图所示，过P'作P'EJ_AC于£则NA=NPED=90°,

由旋转可得，DP=P'D,NPDP=90°,

,NADP=/EP'D,

在△OAP和△产EQ中，

[ZADP=ZEP/E

jZA=ZPzED，

IDP=P?D

：./\DAP^/\P,ED(AAS),

:‘P'E=AD=2,

・•・当4尸=OE=2时，DE=DC,即点E与点C重合，

此时CF=EP=2,

工线段CP的最小值为2,

故选：C.

2.如图，等腰三角形A4C的底边8c长为10,面积是4(),腰AC的垂直平分线E/分别交

AC,A8边于E,F点、.若点。为BC边的中点，点M为线段E/上一动点，则△COM

周长的最小值为13.

c

【解答】解：连接AO,AM.

：.AD±BC,

：.S-ABC=-BC*AD=^X10XAQ=40,解得AO=8,

22

•・•以是线段AC的垂直平分线，

:.点C关于直线EF的对称点为点4,

：.MA=MC,

MC+MD=MA+MD^AD,

・・・4。的长为CM+MD为最小值，

.•.△CDM的周长最短=（CM+M。）+CD=AD+^BC=8+AX10=13.

22

故答案为：13.

3.如图，在△A8C中，AB=6,S"8C=10，点M是NA8C平分线8。上一动点，点N是

5c上一动点，则CM+MN的最小值是里.

一3一

解：过点C作CELA6于点E,交BD于点M,过点M作用N_L8C于点N,

•・•点M是N/WC平分线上一动点，MELA3,MNLBC,

:・MN=ME,

：,MN+CM=ME+CM=CE,

'/CE1.AB,

・・・CE是点C到AB最短的线段，即CM+MN的最小值就是线段CE的长度，

在△ABC中，AB=6,S“8C=10,

又・.・_1・A8・CE=S448C,

2

.-.AX6XCE=10,

2

.rF_10

3

故答案为曲.

3

4.如图，在直角△ABC口，N4BC=90°,AD平分NB4C,E、尸分别为线段A。、ABh

的动点，其中4B=8,AC=\O,8。=@,则BE+E/的最小值为建.

【解答】解：过点。作。交于点后，过夕作BF_LA8交A。于点E,交48于点

F,

VAABC=W,A。平分NBAC,

:,RD=B'D,

/.RtAADfi'^RtAAM(HL),

・・・8与8关于4。对称，

：・BE=B'E,

，要求BE+EF的最小求B'F的最小即可，

■AB=8,AC=10,BD="

3

・.・8。=丝BC=6,

3

,：AB=AB\

••・A5'=8,

・50心=。=―上，

10AEZ8

・,.8尸=建，

5

•••BE+E/的最小值为21,

5

故答案为21

5

4pB

5.如图，边长为8Ea是的对等称边轴三A。角上形的A8一C个中动,点，连接EC，将

线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接。R则在点E运动过程中，。尸的最小

值是，忆.

【解答】解：如图，连接8人

由旋转可得，CE=FC,NEC尸=60°,

•••△A8C是等边三角形，

：.AC=BC,NACB=60°,

NACE=NBCF,

在△ACE和△BC产中，

rAC=BC

'ZACE=ZBCF»

CE=CF

A/XACE^ABCF(SAS),

:.NCBF=NCAE,

•・•边长为8的等边三角形48c中，E是对称轴4。上的一个动点，

：.ZCAE=30a,BD=4近,

AZC5F=30°,

即点F的运动轨迹为直线BF,

・••当。尸_L8/时，。尸最短，

此时，。？=工8。=2><47^=2/，

22

・•・/)厂的最小值是2加，

故答案为2班.

6.如图，在RtZMAC中，NC=90。，AC=6C=8,点P为48的中点，E为BC上一动点、,

过C、E、P三点OO交AC于F点,连接ER则E尸的最小值为_幺匹_.

c

-----------

【解答】解：•・•经过P、E、尸三点确定OO,由圆周角定理可知：。。的直径为E3

连接PC,PF,PE,

V4C=^C=8,

•••△ABC是等腰直角三角形,

•・•点P是A8的中点，

・・・C尸平分NACB,

/.ZACP=45°,

AZACP=ZPEF=459,

•••△EFP是等腰直角三角形,

：,FE=42PE,

当尸反LBC时，PE最小,

即所最小,

此时PE=1AC=4,

・・・所的最小值=4&,

故答案为：4就.

7.如图，在△A5C中，ZC=90",AC=/3C=4,。是AB的中点，点E、〃分别在AC、

8c边上运动（点E不与点4、C重合），且保持NEDF=90°,连接。石、DF、EF.在

此运动变化的过程中，有下列结论：①DE=DF；②四边形CED尸的面积随点E、F位置

的改变而发生变化；③。£+。/=返八&®AE2+BF2=2ED2.以上结论正确的是①③

④（只填序号）.

c

【解答】解：连接CD

•••△ABC是等腰直角三角形，

.•・NOC3=NA=45°:CD=AD=DB,

VZADC=ZEDF=9^,

：,NADE=NCDF,

在△4D