2026年北师大实验中学丘成桐少年班体验营线上测评试题及答案

2026年北师大实验中学丘成桐少年班体验营线上测评试题及答案一、单项选择题（每题5分，共30分）1.若四位数2aA.2B.3C.4D.5答案：C解析：能同时被2和5整除的数，个位必为0，故b=0。能被3整除的数，各位数字之和是3的倍数，即2+2.已知x+1xA.18B.24C.27D.9答案：A解析：利用立方和公式变形：x3+1x33.一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，将其绕较长的直角边旋转一周，所得几何体的体积为（）（π取3）A.72B.96C.288D.384答案：C解析：较长直角边为8，旋转后得到底面半径为6、高为8的圆锥。圆锥体积公式为V=134.有4名学生和2名老师排成一排照相，要求2名老师必须相邻且不站在两端，不同的排法共有（）A.72B.144C.240D.288答案：B解析：采用捆绑法与插空法：①将2名老师视为一个整体，内部有A2②先排4名学生，有A4③总排法为2×5.22026A.1B.2C.4D.6答案：B解析：观察2n除以7的余数规律：21÷7余2，22÷7余4，23÷6.正方形ABCD的边长为4，E为BC边的中点，对角线BD与AE交于点F，则△BA.4B.8C.2D.3答案：A解析：由正方形性质知AD∥BE，故△AFD∼△EFB，相似比为AD:BE=二、填空题（每题5分，共30分）1.计算：11答案：99解析：利用裂项相消公式1n12.已知两个质数的和为25，则这两个质数的乘积为____答案：46解析：除2外所有质数均为奇数，两个奇数的和为偶数，而25为奇数，故其中必有一个质数是2，另一个质数为25−2=3.把5个棱长为1的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积为____答案：22解析：5是质数，故只能拼成棱长为1×1×5的长方体。长方体表面积公式为S=2(ab4.已知x2−3答案：3解析：由方程可知x≠0，将等式两边同时除以x，得x−5.从1、2、3、4、5这五个数中随机取出两个不同的数，它们的和为偶数的概率是____答案：2解析：和为偶数的情况有两种：两个均为奇数，或两个均为偶数。奇数有1、3、5共3个，取2个有C32=3种取法；偶数有2、4共2个，取2个有C26.观察下列等式：13=12，13+2答案：3025解析：规律为：前n个正整数的立方和等于前n个正整数和的平方，即k代入n=10，得三、解答题（共40分）1.（10分）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是3:2。相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高30%，这样当甲到达B地时，乙离A地还有28千米。求A、B两地的距离。答案：90千米解析：设出发时甲的速度为3v，乙的速度为2v，两地总路程为5s（相遇时甲乙路程比为3:2，便于份数计算）。相遇时，甲走了3s，乙走了2s。相遇后，甲的速度变为3v×(1+20%)=3.6v，乙的速度变为2v2.（14分）已知正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，AE=2，点F是边BC上的动点，将△BEF沿EF折叠，点B落在点B答案：BF的长为4或4解析：以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)、B(6,0)、C(6,6)、D①当B′落在对角线BD上时：设B′((平方化简得x2−8x+x=6对应点B，不符合折叠意义，舍去，故再由FB(平方化简得16+m2②当B′设B′(x(平方化简得x2−2x−6=再由FB(平方化简得(6−x代入x=1+m综上，BF的长为4或473.（16分）在正方形ABCD中，E为CD边的中点，F为AD边的中点，BE与CF交于点P。求证：AP答案：证明见解析解析：方法一：坐标法设正方形边长为2，以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建立坐标系，则A(0,0)、B(2,0)、C(2,2)、D(0,2)。由E、F为中点，得y解得x=65，y计算AP的长度：A而AB=2，故AP方法二：几何全等法延长CF交BA的延长线于点G。①证△CF是AD中