计量经济学基础全套课件

计量经济学（Econometrics）2026/11/41一元线性回归模型是计量经济学的核心入门方法，掌握这套框架能搭建起变量因果关系的量化分析逻辑，为后续复杂模型学习打下基础。模型核心依托三大递进任务展开：参数估计解决核心变量的量化测算问题，统计检验验证模型与数据的匹配程度，预测应用则是将模型落地到实际场景的关键环节。整个学习过程要同步覆盖Eviews工具操作，打通理论公式与软件实操的关联，避免只学公式不会落地应用的脱节问题。完整的学习逻辑遵循理论落地的路径推进：先从模型的数学表达与基础假设入手，筑牢理论根基；再依次完成参数估计、参数性质讨论、统计检验、预测应用的全链路学习；最后落地到Eviews的实操方法，实现从理论到实践的闭环。按这个路径系统推进，就能熟练掌握一元线性回归模型的完整应用。我们从生活里最常见的消费现象切入——哪怕是收入相近的家庭，每月的消费支出也往往不一样。有人爱储蓄，有人偏好即时消费，这些差异背后藏着影响消费的多重因素。经济学的核心共识指出，可支配收入是决定家庭消费支出水平的关键因素。从理论落地到现实场景，全国亿家庭的消费数据中，消费与可支配收入之间存在稳定的关联规律。回归分析的核心目标，正是精准刻画总体层面变量间的依存关系。掌握总体回归模型，是构建变量关系分析框架的基础起点。这一思路将抽象的经济学理论转化为可量化的分析工具，为后续开展家庭消费行为研究、制定消费相关政策，提供可落地的分析路径。我们从户居民家庭的每周收入与消费支出统计数据切入，展开一元线性回归模型的具象化讲解。家庭收入以X为标识变量，覆盖每周元至元的收入跨度，是影响消费支出的核心自变量；家庭每周消费支出以Y为因变量，单位为元，直观呈现不同收入家庭的消费实际表现。这份基础数据是我们理解回归分析逻辑的现实抓手。我们后续将依托这户样本的收入与消费配对数据，推导总体回归模型的函数表达式。模型推导过程中会引入随机扰动项U，描述除收入外的其他随机因素对消费支出的影响；同时明确模型参数的定义，解释线性计量模型针对参数线性的核心判定标准。通过这份真实统计样本，把抽象的回归模型原理转化为贴合日常经济行为的直观认知，帮大家筑牢一元线性回归的学习基础。大家观察这张散点图，横轴代表每周家庭收入，纵轴对应每周消费支出。每个点代表一个家庭的真实消费行为，即便收入完全相同，不同家庭的实际消费依然存在明显波动。我们可以从图中发现一条清晰的规律：当收入水平为元时，对应家庭的平均消费约为元；当收入提升至元时，平均消费上升到元。将各收入水平对应的平均消费点连接，就得到这条贯穿散点的直线。这条直线就是我们定义的总体回归直线，它直观解释了回归分析的核心逻辑——收入的变化并非决定单个家庭的具体消费，而是决定了消费的整体平均水平。我们正是通过这条直线，刻画收入和消费两个变量之间的平均变化关系。我们将消费随机变量纳入总体层面的观测维度，它始终处于持续变异的动态状态。不同家庭消费水平存在显著差异，背后关联收入水平、消费习惯、所处地理位置等多重影响因素。依托经典经济学理论支撑，可支配收入的高低直接决定消费支出的整体水平。从亿家庭构成的消费总体来看，消费与收入两个变量之间存在稳定关联。回归分析的核心目标，便是精准刻画总体中变量间的内在关系。在此基础上，需要先厘清总体回归模型的核心内涵。结合户居民家庭的每周收支数据来看，收入X的变化，解释了消费Y条件期望的整体变动，这正是回归分析的核心意义，这条刻画关联的直线也就是总体回归模型，因形态为直线，也被称为总体回归直线。作为X的函数，结合条件期望定义推导其表述形式后，引入随机扰动项U描述随机因素对消费Y的影响，在给定X条件下，Ui为Yi与总体条件均值的偏差，由此可推导出完整模型。模型中Y为被解释变量，也称作因变量、回归元；X为解释变量，也称作自变量、回归子；ui为随机扰动项，β是回归直线斜率，β为截距，二者合称为回归参数。计量经济学中的线性模型，核心判定标准是参数具备线性属性，或是可转换为参数线性形式的模型。一元线性回归模型以单一解释变量为核心，搭建起变量间关联的基础分析框架，是计量经济学中最易理解、应用最广泛的模型类型。它被称为简单线性回归模型，也因包含被解释变量、解释变量两个变量，被称作双变量线性回归模型。其中被解释变量Y是模型要分析的结果变量，解释变量X是影响结果的核心因素，β与β是需要通过样本数据估算的待估参数，随机误差项ui则用来囊括模型未考虑的其他影响因素。模型成立依赖五大基本假定，这是后续参数估计、统计检验的前提。零均值假定是首个核心假定，指在给定解释变量X的任意取值条件下，随机扰动项ui的条件均值为零，意味着随机误差对被解释变量的正负影响相互抵消，不会产生系统性偏差，保证模型估计的无偏性。后续会继续学习同方差、无自相关等其余假定，这些假定共同构成经典线性回归模型的理论基石，为后续开展参数估计、模型检验等分析提供严谨支撑。一元线性回归模型的经典假定体系中，解释变量外生性假设是连接理论假设与实际推断的核心纽带，它是整条假设链路不可或缺的关键环节，是保证回归估计结果无偏且有效的核心前提。这一假设明确解释变量X在重复抽样过程中始终保持固定取值，意味着我们开展的回归分析本质是条件回归分析，所有推导与推断都以预先给定的X值为前提展开。这一设定从根源上切断了解释变量与随机扰动项的联动关联，从原理上保证二者的协方差取值为零，彻底排除了内生性问题对参数估计的干扰。我们可以把这一假设等价理解为回归推导过程中，解释变量属于确定性变量，不再带有随机波动属性。正是这一系列严谨的假定，共同构筑了经典线性回归模型的数理基石，让我们能够基于样本数据，对总体变量间的依存关系做出可靠、精准的推断，为后续的参数估计与假设检验筑牢底层逻辑支撑。我们聚焦随机扰动项正态分布的核心假定，明确随机干扰项服从均值为、方差为σ²的正态分布，对应被解释变量Y同样遵循均值为β₀+β₁xᵢ、方差为σ²的正态分布，为后续参数显著性检验提供理论支撑。进一步厘清线性回归模型的核心判定标准，核心判定依据是模型对参数而非变量具备线性特征。例如变量与参数均线性的模型、参数线性但变量非线性的模型，均属于线性回归模型范畴；只有参数非线性的模型，才被归为非线性回归模型。我们同步遵循模型正确设定的暗含假设，确保模型对变量选择与函数形式的设定不存在偏误，规避后续回归分析的系统性偏差。结合此前的经典假定，可构建符合高斯假设的经典线性回归模型，为计量分析的科学性奠定基础。我们聚焦这组随机误差项的基本假定示意图，结合德国数学家高斯提出的经典假定，拆解一元线性回归模型的底层逻辑。示意图直观呈现X取不同固定值时，随机误差项u的分布特征：误差均值始终为零、方差恒定、不同样本的误差互不关联，同时误差服从正态分布，这是经典线性回归模型成立的核心前提。这些假定最早由高斯提出，因此也被称为高斯假定，满足该假定的回归模型即为经典线性回归模型。高斯曾提出“数学是科学的皇后”，而这些看似抽象的假定，正是让回归分析能够精准揭示变量间因果关系的科学基石，只有契合这些前提，我们后续推导的回归参数估计结果，才具备线性、无偏、方差最小的优良统计性质。我们将聚焦一元线性回归模型的参数估计环节，核心方法为普通最小二乘法，又称OLS。此前我们已完成模型形式界定与经典假设搭建，明确了模型成立的理论前提。开展参数估计的核心目标，是通过已知样本数据推导未知的总体回归参数，构建能够拟合现实数据规律的样本回归直线。现实数据点通常不会完全分布在一条直线上，实际观测值Y与模型拟合值之间必然存在差距，这一差距我们定义为残差。普通最小二乘法的核心逻辑，就是找到一组最优的截距与斜率参数，让所有样本点对应的残差平方总和达到最小。之所以选择残差平方和作为优化目标，是因为平方运算能够消除正负残差相互抵消的问题，同时放大较大偏差的影响，最终得到的拟合直线能够最大程度贴合整体数据的分布趋势。推导过程中，我们对残差平方和关于待估参数求偏导，令偏导数等于零，即可得到标准方程组。求解该方程组，就能得到截距与斜率的样本估计量。这组估计量的几何意义是，在平面坐标系中找到唯一一条直线，使所有散点到直线的纵向距离的平方和最小，让这条直线尽可能代表整体数据的变化方向。总体回归模型刻画变量间真实的因果关联，无法直接获取其参数，需要通过样本数据推导，而样本回归直线是对总体规律的近似估计，残差就是样本观测值与样本回归预测值的偏差，代表未被模型解释的随机波动。普通最小二乘法的核心逻辑是最小化残差平方和，通过求导得到正规方程组，联立求解后即可得到参数的OLS估计量——这是连接理论模型与实证分析的关键步骤。区分总体与样本概念至关重要：总体参数是固定的真实值，永远未知；OLS估计量是依赖样本的随机变量，不同样本会得到不同估计结果。这引出了后续核心问题：为什么OLS是最优估计方法？因为它满足线性性、无偏性与有效性三大优良性质，这就是高斯-马尔可夫定理的核心结论。普通最小二乘法的核心是让观测值到回归线的纵向距离平方和最小，这是回归分析中最基础的参数估计逻辑。我们从最小化残差平方和出发，对参数求偏导，推导出正规方程组，进而得到斜率与截距的计算公式。这套估计量并非简单的数值计算结果，具备三个关键统计性质。线性性指估计量是被解释变量的线性组合，是后续统计推断的前提。无偏性是结合经典线性回归模型的假定推导得出，说明反复抽样估计时，估计量会围绕真实参数分布。有效性是核心价值，在高斯-马尔柯夫定理框架下，满足经典假定的无偏估计量中，最小二乘估计量方差最小，是最优的线性无偏估计量。基于这些性质，我们还能进一步推导残差的固有特征，比如残差均值为零、残差与解释变量不相关，同时得到估计量的方差与协方差公式，为后续的假设检验和区间估计奠定基础。高斯-马尔柯夫定理为最小二乘估计量的统计性能奠定基石。定理核心内容明确：在经典线性回归模型的全部假定成立前提下，所有针对模型参数的线性无偏估计量中，普通最小二乘估计量拥有最小方差，这一特性也被总结为“OLS估计量是BLUE估计量”，即最佳线性无偏估计量。拆解来看，线性性是估计量的基础属性，具体表现为估计量是被解释变量观测值或随机干扰项的线性组合，这一属性让估计量的计算具备便捷性。无偏性描述的是估计量的分布特征，即重复抽样得到的估计量的期望值等于真实的总体参数值，不会出现系统性的高估或低估。有效性则是定理的核心优势，代表在所有符合线性、无偏要求的估计方案里，OLS估计量的抽样分布最集中，估计结果的随机波动最小，推断结论的可靠性最高。这一结论的意义在于，它从统计学层面证明了最小二乘法在参数估计中的优越性，也是后续开展假设检验、区间预测等统计推断工作的理论根基。从这个公式可以看到，截距方差的计算逻辑和斜率一脉相承，核心是把残差方差乘以一个以解释变量均值为中心的离均平方和占比，再除以样本量与解释变量离均平方和的乘积。这个结构的现实意义在于，解释变量的观测值越集中在均值附近，截距的估计精度就越低，方差就越大。截距和斜率的协方差为负，这体现了回归直线的几何特性：当我们调整截距时，直线会整体上下平移，为了保证样本点到直线的残差平方和最小，斜率必然会反向调整，这种此消彼长的关系就通过负的协方差体现出来。这些方差和协方差公式，是我们后续进行参数显著性检验、构造置信区间的核心基础，直接决定了我们对回归结果的可信度判断。我们来深入理解OLS估计量的有效性内涵。高斯-马尔柯夫定理确立了核心结论：在经典线性回归模型假设成立的前提下，所有线性无偏估计量中，OLS估计量拥有最小方差，这也是"BLUE"（最优线性无偏估计量）的由来，这个属性是OLS方法在实证研究中被广泛应用的核心原因之一。我们以斜率估计量β为例展开推导。首先回顾推导的前置条件：在经典假设下，模型随机误差项服从零均值、同方差、无自相关的正态分布，且解释变量为非随机变量。基于这些前提，我们可以将β的估计量表示为随机误差项的线性组合，进而推导出其方差表达式。为了证明有效性，我们需要对比任意其他线性无偏估计量的方差。假设存在另一个线性无偏估计量，将其方差表达式进行拆解后可以发现，它的方差等于OLS估计量的方差加上一个非负的余项。这意味着，无论其他线性无偏估计量如何设计，其方差都不会小于OLS估计量的方差，只有当余项为零时，二者方差才会相等。至此我们可以得出结论：满足经典假设的一元线性回归模型中，OLS估计量的方差在所有线性无偏估计量中达到最小，这就验证了其有效性。这个结论不仅适用于斜率估计量，截距估计量同样具备这一优良性质，也正是这个性质支撑了后续的参数假设检验与区间估计的可靠性。模型方差的估计是计量参数估计环节的核心过渡步骤。我们需在推导参数点估计值的基础上，计算模型随机干扰项方差的无偏估计量，为后续抽样分布、假设检验及区间估计提供方差层面的支撑。我们从随机干扰项的方差定义切入，基于残差与残差平方和的关联逻辑展开推导。经典线性回归模型假设随机干扰项服从同方差的正态分布，但该方差无法直接观测，需通过样本残差的分布特征间接估算。我们结合最小二乘估计下残差的固有数学性质，对残差平方和的数学期望进行拆解推导，剔除残差自由度带来的样本偏差影响，最终推导出随机干扰项方差的无偏估计公式。该估计量是计量推断的关键枢纽，既保证了后续参数抽样分布的合理性，也让t检验、拟合优度计算等环节具备严谨的数理依据，是连接点估计与统计推断的核心桥梁。经典线性回归模型的参数估计依赖高斯马尔柯夫框架，模型随机扰动项的真实方差是衡量回归精度的核心标尺。直接使用样本观测值计算真实方差的过程中，样本估计量存在固定偏差。从无偏性定义出发推导推导方差估计量的修正过程。无偏性要求估计量的数学期望等于真实参数值，因此我们可以将方差估计量的表达式展开。由于回归残差是扰动项的线性组合，残差的平方和不再服从标准卡方分布，而会因为最小二乘拟合消耗了两个自由度而产生偏差。经过严格的代数整理，我们得到模型方差的无偏估计量。该估计量以残差平方和为分子，以样本量减去回归参数个数为分母。分母的自由度修正消除了拟合带来的系统性偏差，保证了估计量的无偏性。这一结论为后续构造t统计量、开展显著性检验奠定了关键理论基础，是连接参数估计与假设检验的核心桥梁。我们在推导参数估计量的抽样分布前，先锚定两个核心前提。回顾前文推导的参数估计量线性性结论，估计量是随机干扰项的线性函数，这是后续分布推导的核心逻辑起点。结合经典线性回归模型的正态性假定，随机干扰项服从正态分布，根据正态分布的线性变换性质，参数估计量的分布形态直接由随机干扰项的分布决定。当模型方差已知时，参数估计量严格服从正态分布，均值为对应的总体参数，方差为前文推导的理论方差。这一结论具备明确的实践价值，我们可以直接借助正态分布的概率性质，开展参数的显著性检验与区间估计，无需引入额外的分布近似。在实证研究场景中，模型真实方差通常无法直接观测，属于未知参数。我们需要采用前文推导的模型方差无偏估计量替代真实方差，此时参数估计量的分布形态发生变化。替代后的估计量不再服从标准正态分布，转而服从自由度为样本量减二的t分布。这一推导结果是后续t检验与区间估计的核心理论依据，为我们开展回归结果的统计推断搭建了完整的逻辑框架。我们完成OLS估计量有效性的理论推导后，就进入回归参数的统计检验环节，这是验证模型系数统计显著性的核心步骤。首先讲解t检验的核心逻辑，我们通过设定原假设与备择假设，结合参数估计量的抽样分布构造t统计量，将计算得到的t值与临界值对比，判断是否拒绝原假设，以此确定自变量对因变量是否存在显著线性影响。参数的点估计只能给出系数的具体数值，无法体现估计的误差范围，因此我们引入区间估计，结合t分布的临界值，在给定置信度水平下构建参数的置信区间，直观展示系数估计的可靠性边界，两者结合能够完整完成回归参数的统计推断，为后续回归方程的整体检验奠定基础。我们先切入平方和分解公式，它是拟合优度与显著性检验的核心逻辑基础。每个样本观测值Y_i与样本均值\bar{Y}的离差可拆分为两部分：一是样本回归直线的拟合值\hat{Y}_i与\bar{Y}的离差，二是实际观测值Y_i与拟合值\hat{Y}_i的残差。对所有样本点的离差取平方后求和，推导后可得到总离差平方和TSS等于回归平方和ESS与残差平方和RSS的加总。从直观逻辑来看，总离差平方和是因变量的整体波动规模，回归平方和代表回归模型可解释的波动部分，残差平方和则是模型未覆盖的随机波动部分，三者的拆分关系为后续度量模型解释能力提供了底层依据。我们基于平方和分解关系定义拟合优度，也就是样本决定系数R²。它的计算方式是回归平方和占总离差平方和的比例，取值范围固定在到之间。R²越接近，说明回归平方和的占比越高，模型对因变量波动的解释能力越强，拟合效果越好；R²越接近，说明模型能解释的波动占比越低，拟合效果越差。这个指标最直接的作用，是让我们快速判断回归方程与样本观测值的匹配程度，是初步评估模型质量的核心量化标准。方差分析是通过拆解总变异的来源，量化回归模型对因变量波动的解释能力的核心工具。我们以平方和的分解为逻辑基础：总离差平方和可拆解为两部分，一部分是由自变量解释的回归平方和，另一部分是模型未捕捉到的残差平方和。每个平方和对应专属的自由度，这些自由度是后续进行统计检验的关键前提。基于平方和的分解，我们构造F统计量：回归平方和除以自由度，与残差平方和除以自由度的比值。通过对比该统计量与临界值，能够判断回归方程整体的显著性。同时，样本决定系数R²本质上是回归平方和与总离差平方和的比值，它直观反映了模型对数据拟合程度的高低。F统计量与R²存在紧密的内在关联：在样本量和自变量个数固定的前提下，R²越高，F统计量的数值越大，回归方程的显著性就越强。这一关联将拟合优度的直观衡量与整体显著性的统计检验形成了逻辑闭环，为我们评估回归模型的有效性提供了双重维度的依据。参数估计完成后，核心应用方向为依托现有模型完成未来场景预测工作，可区分为点预测与区间预测两类实操路径。点预测核心是依托前期求出的样本回归函数，在给定解释变量特定取值Xf的前提下，推算对应被解释变量的具体取值，其下又分为两个细分维度。第一个维度是均值点预测，目标是推算Xf对应的条件均值E(Y|X=Xf)。总体回归函数中Xf对应的条件均值为β₀+β₁Xf，代入样本回归方程得到拟合值Ŷf，由于参数估计量的无偏特性，Ŷf的期望与条件均值完全相等，验证了Ŷf作为条件均值无偏估计量的合理性。第二个维度是个值点预测，目标是推算Xf对应的单个被解释变量观测值Yf。由于随机干扰项的期望为零，拟合值Ŷf同样可作为个值Yf的点预测值，其预测误差的均值为零，无偏性成立。我们承接前一页的均值点预测内容，进一步深入区间预测的核心逻辑。点预测仅给出单一拟合值，无法体现预测的可靠程度，区间预测正是为了量化预测的不确定性，而解决这个问题的核心，是明确预测值与真实值之间的偏差分布。我们的核心任务，是确定拟合值Ŷf与真实均值E(Yf)的偏差分布，以此构建总体均值的预测区间。我们可以从三个关键角度理解这个过程：第一，预测偏差服从t分布。因为总体误差项的方差通常是未知的，我们需要用样本残差的方差来进行无偏估计，这和前面回归参数t检验的逻辑完全一致，最终的偏差统计量服从自由度为n-的t分布。第二，预测区间的置信逻辑。在给定的置信度下，我们可以找到对应的t分布临界值，构建出总体均值的预测区间。这个区间的含义是，我们有-α的把握认为，当解释变量取Xf时，被解释变量的真实均值会落在这个区间内。第三，区分均值预测和个值预测的偏差。总体均值预测的偏差仅来自回归系数的估计误差，而个值预测的偏差还包含随机干扰项的影响，因此个值的预测区间会更宽。这个差异我们在后续讲解个值预测区间时会进一步展开。个体值预测区间的构建核心在于量化预测误差的波动范围，我们通过t分布临界值锁定置信边界，将个体值的预测不确定性转化为可量化的区间范围。区间宽度与误差项方差、样本容量直接相关，方差越大、样本容量越小，预测区间越宽，预测精度越低。个体值的波动天然包含均值波动与随机波动两部分，导致其预测区间显著宽于均值预测区间；且在自变量样本均值处预测精度最高，向两侧延伸时精度逐步下降。实际应用中需关注这些特性，在给定置信水平下平衡预测精度与样本规模，为实证研究的预测环节提供可靠的方法支撑。给定显著性水平α，我们可以通过t分布表查取对应的临界值，从而构建置信度为-α的Yf预测区间。这一步的核心逻辑在于：利用t分布刻画预测值围绕真实值的随机波动规律，通过置信水平明确预测的可靠程度。具体来说，临界值直接锚定了预测区间的宽度，置信度-α则界定了预测结果的可信范围——若选取%置信度，意味着区间覆盖真实Yf值的概率为%。预测区间的宽窄直接决定预测结果的实用价值，绝非随机形成，而是由两类核心变量精准调控。其一为误差项的方差与标准差，误差项方差或标准差越大，预测区间越大；反之越小。误差项承载模型未能捕捉的随机波动，波动幅度直接影响预测结果的稳定性，波动越大，预测的不确定性越强，区间必然拓宽。其二为样本容量，样本容量越大，预测区间越窄，预测精度越高。更多样本能更精准估计总体参数，减少估计误差，让预测区间更集中。区间预测具有两大显著特点：一是Y个值的置信区间宽于均值置信区间，个值预测既要承担均值估计的误差，又要包含单个观测值的随机波动，需覆盖更广泛范围；二是置信区间的宽度从样本均值处向两边对称地增加，X取值越偏离样本均值，外推风险越高，预测不确定性越强，区间逐步拓宽。掌握这些规律，就能通过调整样本规模、降低误差波动来优化预测精度，让预测结果更贴近实际需求。线性回归模型的预测环节，是完成参数估计后的核心落地应用，我们的核心目标是通过已知的解释变量取值，精准推断被解释变量的对应结果。首先我们讲解点预测，简单来说就是用样本回归方程计算出的拟合值Ŷf，作为两类目标值的点估计：一类是解释变量取给定值Xf时，被解释变量的条件均值E(Y|X=Xf)；另一类是解释变量取Xf时，被解释变量的个值Yf。针对条件均值的点预测，我们可以从总体回归函数的逻辑推导：总体回归函数描述了解释变量取不同值时，被解释变量条件均值的变化规律，当解释变量取Xf时，条件均值的真实值为β+βXf。我们通过样本数据估计出回归参数，得到的拟合值Ŷf就是这个条件均值的无偏估计，也就是说Ŷf在真实条件均值的附近波动，不存在系统性的高估或低估，这也保证了点预测估计的合理性。针对个值的点预测，我们直接用同一个拟合值Ŷf作为个值Yf的预测值。从预测误差的角度来看，预测误差是个值真实值Yf与预测值Ŷf的差值，根据模型的基本假定，这个预测误差的均值为零，说明个值的点预测同样具备无偏性，不存在系统性的偏差。点预测给出了一个确定的估计值，但现实中我们更需要知道这个估计值的可靠范围，这就需要引入区间预测的内容。区间预测的核心逻辑，是确定预测值Ŷf与真实值之间偏差的分布规律，通过计算预测误差的分布，得到包含真实值的、具有一定置信水平的区间范围。我们接下来会先学习总体均值的预测区间推导，再学习个值Yf的预测区间计算，掌握不同场景下预测区间的构建方法。第四章的核心主题是多元线性回归模型，我们将从六个维度系统展开学习。第一个核心模块，我们将梳理模型的表达形式与基础假设，这是搭建多元线性回归分析框架的逻辑起点，为后续所有分析环节奠定理论基础。第二个模块聚焦模型的参数估计，明确如何通过样本数据计算出模型的各项系数，完成从理论模型到可量化分析工具的转化。第三个模块将深入探讨参数的性质，我们会验证估计出的参数是否具备无偏性、一致性等优良统计特性，从理论层面保障参数估计结果的可靠性。第四个模块是模型的统计检验，我们将从拟合优度、变量显著性、方程整体显著性等多个维度，验证模型是否能够有效解释现实数据的变动规律，确保模型具备实际应用的前提条件。第五个模块关注模型的预测应用，我们将学习如何利用已构建的模型对未知样本进行预测，同时明确预测区间的计算方法，掌握预测结果的不确定性度量方式，提升模型的实用价值。最后一个模块是案例分析，我们会结合真实的经济或社会数据完成全流程建模演练，串联起前面所有知识点，帮助大家掌握从问题提出、数据处理到模型构建与应用的完整研究逻辑。多元线性回归模型是计量经济学的核心工具，用于分析多个解释变量与被解释变量之间的线性关系，其通用表达为：被解释变量的第i个样本观测值，等于各解释变量对应系数与观测值的乘积和，加上随机干扰项。为了便于数学推导和计算，我们将其转化为矩阵形式：被解释变量观测值向量，等于解释变量观测值矩阵乘以系数向量，再加上随机干扰项向量。这种矩阵化表达，是后续模型估计、检验的数学基础。模型中的随机干扰项，涵盖了模型未纳入的省略变量、变量间的非线性关系、变量的度量误差，以及无法预测的随机影响，是模型对现实复杂经济现象的合理简化。为了保证模型参数估计的有效性，我们对模型提出了一系列核心假定。一是零均值假定，即在给定解释变量的条件下，随机扰动项的条件均值为零，保证估计的无偏性；二是解释变量观测值矩阵列满秩假定，保证解释变量之间不存在完全多重共线性，满足参数可识别的要求；三是随机干扰项服从多元正态分布假定，为后续统计检验提供理论基础。这些假定共同构成了多元线性回归模型的理论前提。我们聚焦随机干扰项的来源与多元线性回归的核心假定。随机干扰项并非无意义的统计噪音，它聚合了模型未纳入的省略变量、变量间真实存在的非线性关系、变量度量的系统误差，以及所有无法精准预判的随机扰动。多元线性回归的核心假定是模型可靠成立的根基。零均值假定明确解释变量取值固定时，随机干扰项的条件期望为零，从根源上排除干扰项与解释变量的系统性关联。X为确定矩阵的假定，既排除解释变量与随机干扰项的内生性关联，也规避双向因果带来的参数估计偏误；即便X为随机变量，也要求其与随机干扰项保持独立。解释变量观测值矩阵列满秩的假定，确保每个解释变量都具备独立的解释能力，不存在多重共线性，为后续参数求解提供可逆的矩阵基础。最后随机干扰项服从多元正态分布的假定，为模型的显著性检验与置信区间推导提供了理论支撑，也暗含模型形式设定正确、变量选取无偏差，所有计量推断都建立在这一整套自洽的假定体系之上。假设是参数估计的前提条件。明确解释变量矩阵X为确定型矩阵，若X为随机变量，需满足与随机干扰项u相互独立的约束，该设定消除了解释变量内生性的核心问题，确保参数估计结果的无偏性。假设要求解释变量观测值矩阵满足列满秩条件，即各解释变量之间不存在完全线性相关关系，从数学层面避免了参数估计方程组出现无解的困境，这是多元回归分析能够成立的基础。假设规定随机干扰项u服从多元正态分布，该假设不仅简化了参数的统计推断过程，更保证了后续t检验、F检验等统计检验的有效性，让模型的统计结论具备可靠的分布理论支撑。这三项假设共同构成了多元线性回归模型的完整理论框架，暗含模型设定正确、变量无设定误差的核心前提，为后续参数估计与模型检验筑牢了理论根基。参数估计是多元线性回归模型从理论走向应用的关键衔接环节，承接前文的模型形式与假设，为后续统计检验与预测奠定核心基础。参数估计的核心目标是通过样本数据推导总体模型中未知参数的合理估计值，让抽象的理论模型转化为可量化分析的具体表达式。只有完成参数估计，才能进一步开展模型的显著性检验、预测精度验证等后续工作，实现从“构建模型假设”到“验证模型有效性”的闭环。回归模型的核心落地载体是参数估计环节，其目标是通过量化手段把抽象的变量关系转化为可计算的结论。残差是衡量模型适配度的核心指标，指实际观测值与模型预测值之间的差值，直观反映了模型对样本数据的拟合程度。残差的大小与分布直接决定模型的可靠度，我们既需要通过最小化残差平方和找到最优参数，也需要通过残差的后续检验判断模型是否满足线性、独立性等基础假设，避免出现“伪回归”问题。我们可从残差延伸理解参数估计的底层逻辑：我们推导的最小二乘估计量正是基于最小化残差平方和的目标构建的，这一目标让我们能在满足经典假设的前提下，找到无偏、有效的参数估计结果。理解残差的定义与作用，能帮我们搭建起“模型构建—参数求解—效果验证”的完整逻辑链条，为后续学习正规方程推导、最小二乘统计性质证明、有效性验证等内容打下扎实的实践认知基础。基于多元线性回归模型的参数估计结果，我们可以从统计属性视角对估计量的可靠性进行系统验证。该章节聚焦回归参数最小二乘估计量的三大核心统计性质。线性性指的是估计量本质上是被解释变量观测值或随机干扰项的线性组合。这一特性显著降低了模型的复杂程度，为后续的统计推断提供了基础支撑。无偏性揭示了估计量的期望值与真实参数值保持一致。这一性质是衡量估计量是否存在系统偏差的核心标准。有效性则进一步证明，在所有满足线性与无偏性的估计量中，最小二乘估计量的方差最小，能够实现最高的参数估计精准度。通过这三大统计性质的论证，最小二乘法成为线性回归分析中应用最广泛的参数估计方法，为后续的模型显著性检验与拟合优度评估奠定了可靠的方法论基础。最小二乘估计量的核心统计性质涵盖线性性、无偏性、有效性三个维度，是古典线性回归模型的核心基石，共同保障参数估计结果的可靠性。线性性体现为参数估计量是被解释变量观测值的线性组合，也可表述为随机干扰项的线性函数，这一特性大幅简化了估计量的推导流程，为后续统计性质的验证提供了便利。无偏性指估计量的期望与真实参数值相等，意味着在重复抽样的场景下，估计结果的平均水平会无限趋近于真实值，不存在系统性的估计偏差，是参数估计具备可信度的核心前提。有效性聚焦参数估计的离散程度，在所有无偏估计量中，最小二乘估计量的方差达到最小，说明其估计结果的抽样波动最小，估计精度最高。三大性质并非独立存在，古典假设是其成立的前提，只有满足所有古典假设时，最小二乘估计量才是最优线性无偏估计量，能够为计量分析提供稳健、可靠的参数基础。第一章计量经济学概述介绍计量经济学的起源和发展了解计量经济学的学科性质、基本概念与内容掌握建立计量经济学模型的主要步骤如何学习计量经济学22026/11/4§1什么是计量经济学（Econometrics）一、什么是计量经济学：计量经济学作为经济学的一个分支学科，于20世纪20年代末30年代初由R.Frish（费瑞希）创立。计量经济学的表述有多种形式，列举如下：费瑞希（Frisch，1936），经济计量学是经济资料分析中对数学和统计方法的应用。萨谬尔森（Samuelson）、科普曼斯（Koopmans）和斯通（Stone）（1954），经济计量学是在理论和观察同时发生的基础上，用适当的推理方法叙述的对实际经济现象的数量分析。马林沃德（Malinvaud，1966），经济计量学是在经济现象的研究中，对数学和统计方法的每一种应用。克赖斯特（Christ，1966），经济计量学是作为数量的经济陈述，它或者是解释我们已经见过的变量的动态，或者是预测（预告）我们尚未见到的动态，或者是两者都有。邹至庄（Chow，1983），经济计量学是为衡量经济关系而使用统计方法的艺术和科学。总结这些经典的阐述，我们认为经济计量学是一门科学地对经济现象进行描述的方法论学科，其描述方式为根据所研究的经济现象，建立经济计量模型，对模型进行估计、检验，从而说明或解释经济现象。32026/11/4计量经济学（Econometrics）：是经济理论、统计学和数学的结合。——拉格纳•弗里希计量经济学与其它相关学科的关系经济理论数学统计学以上分析可以把计量经济学概括为：计量经济学是一门有经济学、统计学和数学结合而成的交叉学科，它以经济学提供理论基础，统计学提供资料依据，数学提供研究方法的一门经济学，是经济的计量学或计量的经济学。2026/11/44二、计量经济学在经济学科中的地位克莱因（R.Klein）：计量经济学已经在经济学科中居于最重要的地位。萨缪尔森（P.Samuelson）：第二次大战后的经济是经济计量的时代。从世界诺贝尔经济学奖的获得者情况来看：截至2017年，79位获奖者中有23位直接因为对计量经济学发展的贡献而获奖。20多位担任过国际计量经济学会会长，50多位在获奖成果中应用了计量经济学。RagnarFrischNorway，1969JanTinbergentheetherlands，1969LawrenceR.KleinUSA，1980TrygveHaavelmoNorway，198952026/11/4三、计量经济学的发展概况国外计量经济学的发展20世纪40-50年代：计量经济学学科体系基本形成；20世纪60年代：开创金融计量经济学领域；20世纪70年代：宏观计量经济模型的研制与应用、非经典计量经济学的发展时期。我国计量经济学的发展1960年成立经济数学方法研究组；1979年中国数量经济研究会（中国数量经济学会）成立；1998年，教育部高等学校经济学科教学指导委员会将计量经济学列为经济学门类各专业核心课程。62026/11/4邹至庄李子奈林少宫TinbergenHaavelmoKleinLeontief经典计量经济学创立建立第1个应用模型建立概率论基础发展数据基础发展应用模型FrischStone建立投入产出模型72026/11/42026/11/48非经典计量经济学微观计量：选择性样本模型微观计量：离散选择模型时间序列：协整理论—现代宏观计量时间序列：ARCH—现代金融计量EngleHeckmanMcFaddenGranger四、计量经济学是一门经济学科从计量经济学的定义看从计量经济学在西方国家经济学科中的地位看从计量经济学与数理统计学的区别看从建立与应用计量经济学模型的全过程看从诺贝尔经济学奖看92026/11/4JamesJHeckmanUSA，2000DanielLMcFaddenUSA，2000CliveW.J.GrangerUK，2003RobertF.EngleUSA，2003五、计量经济学在经济学科中的重要性

从现代西方经济学的特征看从西方经济学的发展历史看从世界一流大学经济学课程表看从国际经济学刊物论文看从经济学的“世界先进水平”看2026/11/410RichardStoneGreatBritain，1984WassilyLeontiefUSA，1973ThomasJ.SargentUSA，2011ChristopherA.SimsUSA，2011美国经济学家尤金·法玛、彼得·汉森和罗伯特·希勒资产价格的实证分析§2计量经济学的研究内容与步骤一、计量经济学的内容体系计量经济模型是为了研究分析某个系统中经济变量之间的数量关系而采用的随机代数模型，是以数学形式对客观经济现象所作的描述和概括。分类从内容角度：理论计量经济学应用计量经济学从学科角度：狭义计量经济学广义计量经济学2026/11/411二、计量经济模型的研究步骤（一）理论计量经济模型的建立理论模型的建立主要依据有关生产、消费、投资、国际贸易与国际收支、金融市场、工资与价格、就业与通货膨胀等经济行为理论。如果模型是单方程的，则首先要确定被解释变量和所有可能的解释变量，然后在确定被解释变量和所有可能的解释变量之间的函数关系，最后确定解释变量符合经济意义的系数符号和系数大小的范围。如果模型是由多个方程构成的经济系统，则首先要确定内生变量和外生变量，然后再确定各个方程内生变量和外生变量之间的函数关系，最后确定各个方程内生变量和外生变量符合经济意义的系数符号和系数大小范围。计量经济模型的一般表达式：Y=f(X,β,u)2026/11/412（二）实际模型的确定和样本数据的收集实际模型的确定：由于经济数据的被动获得以及经济数据识别能力的低下等原因造成的现实障碍，使得最初设定的理论模型操作性较差，建模人员通过一定的技术努力后，在基本保证能够完成模型实证功能的条件下，选择相对有效的实际模型。样本数据的收集：样本数据的收集是经济计量建模的基础。首先，样本数据的可得性限制了事先设定的理论模型的实现，使得人们只能按照现实的数据确定实际模型。其次，收集样本数据的类型，主要是截面数据、时间序列数据、面板数据、虚变量数据、空间数据、结构与非结构数据等。样本数据的收集应注意两个问题：一是根据研究目的选择样本数据；二是样本数据的质量（完整性、准确性、可比性和一致性）。2026/11/413（三）模型的参数估计在获得经济样本数据，确定了实际模型之后，接下来的任务就是进行模型的参数估计，它是经济计量学的核心问题。进行模型的参数估计要涉及到各种经典统计方法和现代统计方法的选择问题。（四）模型的检验当得到模型参数的估计值以后，可以说经济计量模型基本建立起来了。但是，该模型能否解释人们所研究的经济现象的本质特征或所研究的经济活动中各因素之间的关系，能否进行模型的实际应用，必须通过各种检验加以确定。经济计量模型的检验有四个方面：经济意义检验；统计检验；经济计量学检验；模型的预测检验。2026/11/414（五）计量经济模型的应用

结构分析：用已经估计出的模型，对所研究的经济关系进行定量的分析，来说明经济变量之间的数量关系。分析当其它条件不变时，模型体系中的解释变量发生变动，对被解释变量的影响程度。结构分析所采用的主要方法是弹性分析、乘数分析与比较静态分析。政策评价：利用计量经济模型对各种可供选择的政策方案的实施后果进行模拟测算，从而对各种政策方案做出评价。分析整个经济系统对各种假设的政策条件的反应。经济预测：利用估计了参数的计量经济模型，由已知的或预先测定的解释变量，去预测被解释变量在所预测的样本范围以外的数值或可能范围。理论检验与发展：任何经济学理论，只有当它成功地解释了过去，才能为人们所接受。而计量经济学模型提供了一种检验经济理论的好方法，因此对理论假设的检验可以发现和发展理论。2026/11/415计量经济模型的建模步骤2026/11/416根据经济理论的分析建立计量经济模型收集并整理数据资料模型的参数估计模型检验：统计检验和计量经济检验否模型应用经济结构分析经济预测政策评价否2026/11/417一、干中学首先就是要对书中的例子、习题等在软件上实现。通过实践也许你就感觉：原本非常复杂的估计公式、抽象难懂的假设检验，用软件计算结果也就是分分秒秒的事！其次是对输出的结果，我们还应学会思考。如扰动项是一个不可观测的随机变量，在软件输出框中，它就是一串“数”。看到这串“数”，你应该想到什么呢？！通过对这串“数”的考察，也许就可以理解：（1）我们为什么要对扰动项进行假设？（2）这些假设中哪些已经满足，哪些还没有满足？（3）如何检验某些假设是否“满足”？（4）“满足”意味着什么？“不满足”又说明什么？（5）估计结果中，哪一个数据支持了我们的选择？（6）支持的“力度”有多大？（7）自己动手实现书中的例题和习题，能使我们具体体会到计量经济理论和这些数据分析结果的经济学含义。§3如何学习计量经济学2026/11/418第二，从我做起，自己动手计量经济学是对于观测到的实际经济现象的数量分析。基于计量经济学定义，“我”能观测到什么经济现象？如何使用计量经济的方法研究这一类经济现象？“从我做起”，就是自觉地观测“我”身边的经济现象：（1）如哪些同学的消费比较高，哪些同学的消费又比较低，由此所引出的问题，如何度量大学生的收入与消费的关系？（2）我们可以通过网络采集数据，使用这些数据估计收入与消费的模型。进一步，我们可专门对家庭收入较低（高）的同学发放问卷，以获得其消费的数据，使用此数据估计收入与消费的模型：（1）基于此，“我”也许能为学校的生活补贴政策提出建议。（2）再如，哪一家食堂的就餐人数多？如何解释这个现象？我们还应逐渐扩展观测的视野：（1）当前的通胀处于什么水平？（2）“我”对通胀的预期是什么？能否检验“我”的预期？（3）预期理论有哪些？“我”的预期属于哪一类？（4）如何检验我国预期的性质？总之，“从我做起”就是要自觉地观测自己能观测到的经济现象，思考相关的经济问题，特别是自己动手，搜集数据，建立和估计模型，分析检验结论。2026/11/419第三，正确理解数学与统计术语，用经济语言分析估计和检验结果一般认为，正确理解和运用假设检验，是计量经济学中最困难也是最重要的内容，就此提出和回答的问题是：（1）为什么要做假设检验？（2）软件输出中的假设检验试图说明什么？（3）如何理解统计量与统计量的值、统计量的值和对应的概率值或置信水平与分布函数的关系等等。一旦我们能用自己的语言将这些问题说清楚，也许就理解了假设检验。翻开计量经济学教科书或者计量经济学文献，不可避免的会出现大量的数学和统计学公式与推导等，我们不应恐惧也不应回避这些公式与推导，它们的实质是服务于度量经济关系。2026/11/420第四，敢于质疑和创新质疑什么？如何创新？（1）对估计和检验结果的“质疑”；（2）对经济理论的质疑；（3）对计量经济的理论和方法“质疑”。举例说明：（1）理论计量方法上的创新：假如你认为某个变量能显著解释另一个变量，或者某个变量应包含在模型中，但假设检验的结果与你的预期相反，你可以质疑检验统计量的分布是否存在问题，你甚至可以自己设计程序，对你所使用的检验统计量的分布进行仿真，以揭示这个统计量的分布的小样本性质。（2）计量方法应用上的创新：假如你观测通胀与货币的数据呈现出此高彼低以及循环往复的变化时，你可以质疑将这两个变量的关系设定为线性关系的研究文献，你基于我国的数据建立模型，估计和检验证实了这两个变量具有非线性关系。2026/11/421第五，坚持和乐于使用计量经济软件学习计量经济学、运用计量经济学研究经济问题，必须使用软件，即使计量经济理论的发展，也依靠软件。书中的例题习题和案例等，最基本的要求，是将例题和习题在软件上重复实现：（1）对估计和检验结果质疑；（2）通过操作软件而对“质疑”进行检验。坚持和乐于使用计量经济软件的益处：（1）通过使用软件，思考软件的输出结果实现“干中学”；（2）通过软件来实现“正确理解和运用计量和统计的理论和术语”；（3）我们还可以将本书中几乎所有的理论公式的推导，转变成计算机程序，运用仿真的方法证明理论结果，也就是将理论证明变为计算机证明，使之更加直观。如：验证无偏性。第二章概率与统计基础知识随机变量的概率分布及数学期望、方差、协方差和相关系数、偏度和峰度等概率分布的数字特征估计量优劣的评价标准一些常用的概率分布（四个分布）222026/11/4§1随机变量的概率分布及数字特征

232026/11/42026/11/424§2估计量优劣的评价标准无偏性有效性一致性渐进无偏性2026/11/425一、正态分布§3

一些常用的概率分布三、t(n)分布（学生分布）2026/11/426四、F分布五、常见统计量的分布第三章一元线性回归模型一元线性回归模型的表达及模型假设模型的参数估计对参数的性质进行讨论模型的统计检验模型的预测Eviews的使用方法272026/11/4一个引例消费这个随机变量在总体上是变异的或者是变化的。为什么有的家庭的消费水平低，有的家庭的消费水平高——收入水平、家庭成员的消费习惯、家庭所在的地理位置等影响消费。经济学理论认为，可支配收入的高低，决定了消费支出的水平。以上的分析说明，在4亿家庭消费这个总体中，消费与收入这两个变量之间，存在某种关系。回归分析的目的就是要描述总体中变量之间的关系。为此，我们首先应准确理解总体回归模型。2026/11/4282026/11/429

X为每周家庭收入，总体：Y为家庭每周消费支出，单位为元。60户居民家庭每周家庭收入与消费支出数据

对应不同收入水平的60户家庭的每周消费Y

40801201602006080100120140160180200220240260280家庭每周收入X2026/11/430下图说明，收入X从80变化至280，这一变化解释了消费Y的总体的条件期望（均值）从65、89等变化至173。也就是说，X的变化解释了Y的总体的条件期望的变化（总体的平均变化）。或者说，X的变化，决定了Y的总体的平均变化。而X的变化解释（或决定）了Y的总体的平均变化，这正是回归分析的意义所在。因此，称这条线为总体回归模型。由于它是一条直线，故也称为总体回归直线。2026/11/431总体回归直线是X的函数，于是，根据条件期望的定义，Y的总体回归直线可以表述为：

引入随机扰动项U，以描述随机因素对消费Y的影响,

在给定X的条件下，Ui等于Yi与其总体条件均值的“距离”

从而可得变量Y为被解释变量，X为解释变量。或者Y称为因变量，X称为自变量，或Y称为回归元，X称为回归子。ui为随机扰动项或随机误差项。β1是总体回归直线的斜率，而β0为截距。为方便，将β0和β1统称为回归参数。计量经济学中的线性模型或线性总体，一般是指对参数而言的线性模型，或者是可以转换为关于参数是线性的模型。

一元线性回归模型是指模型中只有一个解释变量的模型，也称为简单线性回归模型，其一般形式是：Y为被解释变量，X为解释变量。因为模型中共有两个变量，所以，模型也被称为双变量线性回归模型，β0与β1为待估参数，ui为随机误差项或随机扰动项。

一、基本假定假定1：零均值假定---即在给定解释变量的条件下，随机扰动项的条件均值为零，即2026/11/432§1一元线性回归模型的表达及模型假设假定2：同方差（等方差）假定，即假定3：无自相关假定，即假定4：解释变量是外生变量。解释变量X是外生变量，是指在重复抽样中，X取固定不变的值。这一假定意味着我们的回归分析是条件回归分析，就是以解释变量X的给定值作为条件的。根据这一假定，有解释变量X与随机扰动项ui不相关，即：说明：在线性模型的推导过程中这一假设等同于解释变量是确定性变量。2026/11/433假定5：随机干扰项服从正态分布，即

ui~N(0,，

2)；

yi

N(β0+β1xi

，

)模型暗含假设回归模型对参数（系数）而言是线性模型：所谓线性回归模型是指关于参数是线性的模型。无论关于变量是线性还是非线性的模型，只要它关于参数（系数）是线性模型，都称为线性回归模型。比如：第一个模型变量、参数均为“线性”，这是线性回归模型；第二个模型参数“线性”，变量“非线性”，这也是线性回归模型；第三个模型变量“线性”，参数“非线性”，这就是一个非线性回归模型。模型是正确设定的：模型对变量和函数形式没有设定偏误。2026/11/434YXX1X2Xnf(u)随机误差项基本假定示意图以上这些对随机扰动项的假定是由德国数学家高斯（Gauss）最早提出的，也称为线性回归模型的经典假定或高斯假定，满足上述假定的线性回归模型，称为经典线性回归模型。高斯（Gauss）（1777－1855）浅薄的学识使人远离神，广博的学识使人接近神。数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。高斯2026/11/4352026/11/436§2一元线性回归模型的参数估计估计出的参数要使残差的平方和最小,求解这一最小化问题，根据求极值的原理，应满足一、普通最小二乘法（OLS）2026/11/437可得到以下正规方程（Normalequation）：通过解上述正规方程组可以得到OLS估计量（estimator)：样本回归模型：

总体回归直线：样本回归直线：总体回归模型：残差二、残差的性质2026/11/438由最小二乘的正规方程残差的性质如下三、估计量的变形（模型的斜率）高斯-马尔柯夫定理：在CLRM假定下，在所有线性无偏估计量中，OLS估计量有最小方差，即OLS是BLUE（BestLinearUnbiasedEstimator）。先给出几个有用的公式：一、线性性：估计量是被解释变量或随机干扰项的线性函数。二、无偏性：证明：因为因此三、有效性2026/11/439§3回归参数最小二乘估计量的统计性质2026/11/440同理，截距的方差以及截距和斜率的协方差为：2026/11/441有效性证明（以β1的估计量为例）：综上所述，满足经典假设的一元线性回归模型的OLS估计量是有效估计量。一、模型方差的估计量2026/11/442§4参数估计量的抽样分布及模型方差的估计量下面分别求出各自的期望值：2026/11/443整理得到：这样，模型方差的无偏估计量为：二、估计量的抽样分布由于估计量是随机干扰项的线性函数，根据随机服从正态分布的假设，估计量在方差已知时服从正态分布，即：2026/11/444当模型方差未知时，用其无偏估计量代替：得到参数估计量的抽样分布为：一、回归参数的统计检验---t检验2026/11/445§5回归参数的统计检验及区间估计二、回归参数的区间估计0接受域-atc2n,2拒绝

H0区域-atc2n,2拒绝

H0区域置信度为（1-α），β1的区间估计：置信度为（1-α），β0的区间估计：一、平方和分解公式2026/11/446§6回归方程的拟合优度及显著性检验总离差平方和回归平方和残差平方和自由度二、拟合优度（样本决定系数）2026/11/447三、模型的拟合优度检验来源自由度df平方和SS均方MSF回归1RSSRMS=RSS/1F=RMS/EMS残差n-2ESSEMS=ESS/(n-2)

总和n-1TSS

回归分析的方差分析表(ANOVA）四、F与R2的关系一、点预测以

Ŷf

作为条件均值

E(Y|X=Xf)

或个值

Yf

的点预测值。1、均值

E(Yf)

的点预测

对总体回归函数

E(Y|X=Xi)=β0+β1Xi，当X=Xf

时，E(Y|X=Xf)=β0+β1Xf通过样本回归函数求得的拟合值为：于是可见，Ŷf是条件均值E(Y|X=Xf)的无偏估计。2、个值Yf

的点预测。对总体模型

，当X=Xf

时Ŷf

是Yf

点预测的预测误差均值为零，即§7预测2026/11/448二、区间预测关键问题是确定

Ŷf与

E(Yf)或个值

Yf之间的偏差的分布情况，即估计预测误差的分布情况。1、总体均值的预测区间2026/11/4492026/11/4502、yt的预测区间给定显著性水平α，由t分布表查临界值，可得置信度为（1-α）的Yf的预测区间为：2026/11/451

影响预测区间大小的因素（1）误差项的方差或标准差的大小：

误差项的方差或标准差越大，预测区间越大；反之越小。（2）样本容量n的大小：

样本容量越大，预测区间越窄，预测精度越高。区间预测的特点：（1）Y个值的置信区间宽于均值置信区间。（2）置信区间的宽度从样本均值处向两边对称地增加。2026/11/452§8Eviews软件介绍

Eviews软件安装数据输入模型估计结果输出2026/11/453第四章多元线性回归模型多元线性回归模型的表达及模型假设模型的参数估计对参数的性质进行讨论模型的统计检验模型的预测案例分析542026/11/4一、线性回归模型的一般形式其中

为被解释变量的第i个样本观测值，

为第j个解释变量的第i个样本观测值，

为随机干扰项。令则线性回归模型的矩阵形式为或其中模型的表达形式2026/11/455§1多元线性回归模型的表达及模型假设

二、影响随机干扰项的因素

省略变量、非线性、度量误差、不可预测影响等。三、模型假定假定1：零均值假定---即在给定解释变量的条件下，随机扰动项的条件均值为零，即假定2：2026/11/456

假设3

X为确定的矩阵，若为随机变量，则假设4

解释变量观测值矩阵列满秩暗含假设5

随机干扰项矩阵u服从多元正态分布假设暗含模型为线性模型且设定正确、所有变量没有设定误差。2026/11/4572026/11/458§2多元线性回归模型的参数估计2026/11/459残差为2026/11/460可以验证：正规方程为模型参数的最小二乘估计为：矩阵求导形式：一阶条件：二阶条件：几个表达式：一、线性性：估计量是被解释变量或随机干扰项的线性函数。二、无偏性：三、有效性：2026/11/461§3

回归参数最小二乘估计量的统计性质2026/11/462估计量的方差估计量的方差协方差矩阵表达设任意无偏估计由于是无偏估计可得这样因为任意无偏估计的方差协方差矩阵为2026/11/463有效性的证明由于DDT是非负定矩阵（主对角线元素为平方和），主对角线元素均大于零一、平方和分解公式2026/11/464§4σ2的估计量和拟合优度R2总离差平方和回归平方和残差平方和自由度二、拟合优度（样本决定系数）2026/11/465三、修正拟合优度（调整样本决定系数）四、σ2的估计量2026/11/466五、平方和的表达1、数据中心化2、平方和的表达2026/11/467RSS表达式推导一、参数估计量的抽样分布由于估计量是随机干扰项的线性函数，根据随机服从正态分布的假设，估计量在方差已知时服从正态分布，即：2026/11/468当模型方差未知时，用其无偏估计量代替：§5回归参数的显著性检验和置信区间得到参数估计量的抽样分布为：二、回归参数的统计检验---t检验2026/11/469二、回归参数的区间估计0接受域-atc2n,2拒绝

H0区域-atc2n,2拒绝

H0区域这样，置信度为（1-α）βi的区间估计为：

2026/11/470一、模型的拟合优度检验来源自由度df平方和SS均方MSF回归kRSSRMS=RSS/kF=RMS/EMS残差n-k-1ESSEMS=ESS/(n-k-1)

总和n-1TSS

回归分析的方差分析表(ANOVA）二、F与R2的关系§6模型的拟合优度检验---F检验一、模型形式及假设二、模型参数的OLS估计目标函数正规方程2026/11/471§7二元线性回归模型模型假设同多元模型2026/11/472正规方程正规方程矩阵形式系数矩阵进行变换令三、模型参数的抽样分布（以β1为例）2026/11/473这样有解方程2026/11/474期望方差2026/11/475交叉项期望值为零同理模型方差已知模型方差未知时，用其无偏估计量代替：2026/11/476四、模型检验1、系数检验2、拟合优度检验

3、方差分析表4、平方和的计算来源自由度df平方和SS均方MSF回归2RSSRMS=RSS/2F=RMS/EMS残差n-3ESSEMS=ESS/(n-3)

总和n-1TSS

一、点预测对于模型

给定样本以外的解释变量的观测值，可以得到被解释变量的预测值：它可以是总体均值E(Yf)

或个值Yf

的预测值。但严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。为了进行科学预测，还需求出预测值的置信区间，包括E(Yf)和Yf的置信区间。二、区间预测1、对预测期因变量期望值的情况2026/11/477§8多元线性回归模型的预测2、对预测期因变量当期值的情况2026/11/478第五章相关分析变量相关的概念相关系数的概念和计算相关系数与回归系数、样本拟合优度的关系以及相关系数的显著性检验偏相关系数与复相关系数的概念792026/11/4§1相关的概念一、概念:相关指两个或两个以上变量间的非确定性关系。二、类型：1、按强度分完全相关：变量间存在函数关系。高度相关（强相关）：变量间近似存在函数关系.弱相关：变量间有关系但不明显。零相关：变量间不存在任何关系。高度相关零相关弱相关2026/11/4802、按变量个数分:简单相关：指两个变量间相关多重相关（复相关和偏相关）：指三个或三个以上变量间的相关。3、按符号分：正相关、负相关、零相关4、按形式分：线性相关、非线性相关非线性相关

负相关2026/11/481三、相关系数：表示两个变量之间的线性相关程度。定义为：以样本方差和样本协方差估计X、Y的方差和协方差，样本相关系数为：2026/11/482

相关系数的取值范围：（1）当两个变量严格服从线性关系时，∣

∣=1；（2）当两个变量不存在线性关系时，

=0；（3）相关系数的一般取值范围是[-1，1]。当Cov(xt,yt)>0时，则

>0(正相关)；当Cov(xt,yt)<0时，则

<0(负相关)；若Cov(xt,yt)=0，则

=0(零相关)。四、相关分析与回归分析的关系1、区别：（1）回归分析强调变量间的因果关系，相关分析不关心因果关系。（2）相关分析中两变量关系具有对称性，但回归分析中两变量的关系具有指向性。（3）相关分析是对变量间不确定性依赖关系密切程度的度量，回归分析研究一个因变量对一个或多个解释变量的依赖关系，其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和预测前者的均值。2026/11/4832、联系：（1）样本相关系数与回归系数的关系（一元线性回归）（2）相关系数与决定系数的关系2026/11/484五、样本相关系数的显著性检验二、样本偏相关系数的计算思路：

§2偏相关系数2026/11/485以一阶偏相关系数为例，它与相应的简单相关系数的关系为:2026/11/486复相关系数：在研究y与多个变量x1,x2,…,xk之间的相关关系时，度量其中一个变量y与其它所有变量相关程度的指标。§2复相关系数2026/11/487样本复相关系数的计算思路：2026/11/488第六章异方差模型掌握异方差的含义及产生原因理解异方差性存在的后果掌握检验异方差的方法掌握处理和消除异方差的方法892026/11/4一、异方差的含义对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性(Heteroskedasticity)。矩阵形式异方差通常有三种表现形式：（1）递增型（2）递减型（3）复杂型