4.8 图形的位似（第2课时） 课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版·九年级数学上册·第四章图形的相似4.8图形的位似（第2课时）平面直角坐标系中的位似变换O学习目标第四章·图形的相似①探究坐标关系在平面直角坐标系中，探究位似多边形对应顶点坐标之间的关系，体会从几何到代数的转化思想。②掌握坐标规律掌握以原点为位似中心、相似比为k时，位似图形对应点坐标的变化规律（同侧k、异侧−k）。③会画位似图形能利用坐标规律，在平面直角坐标系中画出一个图形关于原点位似的图形，并解决简单问题。2复习回顾与探究导入第四章·图形的相似位似三角形示意图OA′B′AB原图形△OA′B′位似图形△OAB一、知识回顾1.位似多边形如果两个相似多边形每组对应顶点的连线都经过同一个点，且每组对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比，那么这样的两个多边形叫做位似多边形。2.位似图形性质①对应点连线经过位似中心；②对应点到位似中心的距离之比等于相似比；③位似图形上对应线段平行（或在同一直线上）。思考与探究如果把位似中心放在平面直角坐标系的原点，位似图形对应点的坐标之间有什么关系？→让我们从几个具体例子出发，一起来探究。3探究一△OAB乘以2（同侧放大）4.8图形的位似（第2课时）第四章图形的相似xyO1234567891012345678A(3,0)B(2,3)C(6,0)D(4,6)原三角形△OAB放大后△OCD（×2）坐标变化：横纵坐标同乘2原顶点原坐标(x,y)新顶点新坐标(2x,2y)O(0,0)O(0,0)A(3,0)C(6,0)B(2,3)D(4,6)观察与结论把△OAB各顶点的横、纵坐标都乘以2，得到△OCD。①△OCD与△OAB位似；②位似中心是原点O；③相似比k=2，两图形在原点同侧。思考：如果把各坐标乘以−2，结果又会怎样？（图形还在第一象限吗？位似中心变了吗？）04探究二△OAB乘以−2（异侧放大）4.8图形的位似（第2课时）第四章图形的相似xyO12345−1−2−3−4−5−6−712345−1−2−3−4−5−6−7A(3,0)B(2,3)A′(−6,0)B′(−4,−6)原△OAB（第一象限）新△OA′B′（第三象限）坐标变化：横纵坐标同乘−2原顶点原坐标(x,y)新顶点新坐标(−2x,−2y)O(0,0)O(0,0)A(3,0)A′(−6,0)B(2,3)B′(−4,−6)对比：乘2vs乘−2•乘2：新图形在原点同侧（第一象限）•乘−2：新图形在原点另一侧（第三象限）•两种情形：位似中心都是原点，相似比都是2（即|−2|=2）。结论△OA′B′与△OAB位似；位似中心是原点O，相似比k=2；两图形关于原点中心对称，位似中心同侧/异侧由k的符号决定！05想一想四边形×½（同侧缩小）4.8图形的位似（第2课时）第四章图形的相似四边形ABCD各顶点坐标如下，将各顶点横、纵坐标都乘以12，画出新四边形并判断是否位似。xyO12345678912345678A(4,2)B(8,6)C(6,8)D(2,4)A′(2,1)B′(4,3)C′(3,4)D′(1,2)原四边形ABCD缩小后A′B′C′D′（×½）坐标变化：横纵坐标同乘½原顶点原坐标(x,y)新顶点新坐标(½x,½y)A(4,2)A′(2,1)B(8,6)B′(4,3)C(6,8)C′(3,4)D(2,4)D′(1,2)结论所得四边形A′B′C′D′与ABCD位似，位似中心为原点O，相似比12；对应点连线都经过原点O，且距离比=1:2；新图形与原图形在原点同侧（第一象限，缩小）（k=½>0，图形缩小但仍在原点同侧）再想一想：如果乘−½，图形会在哪里？（提示：注意符号−与绝对值|k|的区别）06再想一下四边形×(-1/2)（异侧缩小）4.8图形的位似（第2课时）第四章·第二节xyO2468-2-4-6246-2-4ABCDA′B′C′D′原四边形ABCD新四边形A′B′C′D′把四边形ABCD各顶点的横、纵坐标都乘以−1/2，新四边形与原图形位似吗？原顶点原坐标×(−1/2)A(4,2)(−2,−1)B(8,6)(−4,−3)C(6,8)(−3,−4)D(2,4)(−1,−2)观察结论：新四边形A′B′C′D′与原四边形ABCD位似；位似中心是原点O；相似比为1/2；新图形在原点另一侧（异侧缩小）。7规律归纳4.8图形的位似（第2课时）第四章·第二节回顾前面两次三角形、两次四边形的坐标变化，我们可以归纳出如下规律：①×2（同侧放大）xyOk=2>0，同侧，相似比2②×(−2)（异侧放大）xyOk=−2<0，异侧，相似比2③×1/2（同侧缩小）xyOk=1/2>0，同侧，相似比1/2④×(−1/2)（异侧缩小）xyOk=−1/2<0，异侧，相似比1/2规律：将一个多边形各顶点的横坐标、纵坐标同乘一个不为0的数k，所得到的图形与原图形位似；位似中心是坐标原点，相似比为|k|。当k>0时新图形与原图形在原点同侧当k<0时新图形与原图形在原点异侧（关于原点对称）8结论（定理）4.8图形的位似（第2课时）第四章·第二节把上述规律概括成下面的定理：定理在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点坐标的比等于k或−k。即：原图形上点(x,y)对应的位似图形上的点为(kx,ky)或(−kx,−ky)同侧位似（k>0）xyO原新位似图形与原图形在原点同侧对应点坐标：(x,y)→(kx,ky)（k>0，放大或缩小）异侧位似（k>0取负号）xyO原新位似图形与原图形在原点异侧对应点坐标：(x,y)→(−kx,−ky)（关于原点中心对称方向）说明：当k<0时，也可直接写成(kx,ky)，这与取−|k|的(−|k|x,−|k|y)完全一致。9例1四边形OABC位似作图4.8图形的位似（第2课时）二、同侧异侧与k/−k规律xyO−8−6−4−224688642−2−4−6−8ABCA′B′C′A″B″C″原四边形同侧×2异侧×(−2)解：四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(3,0)，B(4,4)，C(−2,3)。以原点O为位似中心，相似比为2:1，画四边形OABC的位似图形。同侧（k=2，横纵坐标同乘2）：O(0,0)A′(6,0)B′(8,8)C′(−4,6)（第一象限方向，与原图形同向）顺次连接O、A′、B′、C′即得同侧位似四边形。异侧（k=−2，横纵坐标同乘−2）：O(0,0)A″(−6,0)B″(−8,−8)C″(4,−6)（第三象限方向，与原图形异侧）顺次连接O、A″、B″、C″即得异侧位似四边形。两个位似图形都与原四边形位似，位似中心为原点O，相似比均为2。注意：相似比为2:1指新图形:原图形=2。k>0同侧，k<0异侧。10例2已知相似比求坐标4.8图形的位似（第2课时）二、同侧异侧与k/−k规律xyO−6−4−2246642−2−4−6ABCA′B′C′A″B″C″原图形同侧×⅓异侧×(−⅓)题目：在直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为：O(0,0)，A(6,0)，B(3,6)，C(−3,3)。以原点O为位似中心，相似比为13，画出四边形OABC的位似图形。解：同侧（横纵坐标同乘13）：A′(2,0)，B′(1,2)，C′(−1,1)顺次连接O、A′、B′、C′即得同侧位似图形。（在原图形与原点之间，图形缩小）异侧（横纵坐标同乘−13）：A″(−2,0)，B″(−1,−2)，C″(1,−1)顺次连接O、A″、B″、C″即得异侧位似图形。（在原点另一侧，关于原点与同侧图形对称）关键提醒缩小为原来的13，即相似比k=13；有两种画法（同侧与异侧），不可遗漏。11议一议四变换对比4.8图形的位似（第2课时）三、例与练习我们已经学习了四种图形变换：平移、轴对称、旋转和位似。它们在坐标系中的坐标规律各不相同，请完成下表：变换名称坐标变化规律（原(x,y)）图形大小方向/位置是否等形（全等）平移向右（左）平移a个单位：(x+a,y)向上（下）平移b个单位：(x,y+b)不变同向同形全等轴对称关于x轴对称：(x,−y)关于y轴对称：(−x,y)不变关于轴对称全等旋转绕原点旋转180°：(−x,−y)（即中心对称，关于原点对称）不变绕中心旋转全等位似以原点为位似中心，相似比为k：(kx,ky)或(−kx,−ky)改变同向(k>0)或反向(k<0)相似（不全等）结论：平移、轴对称、旋转都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，所得图形与原图形全等；位似是唯一改变图形大小的变换，所得图形与原图形相似。124.8图形的位似（第2课时）第三章图形的相似随堂练习113xyO12345−1123−1−2−3EFE′F′题目如图，△OEF的顶点坐标分别为O(0,0)，E(2,1)，F(2,−1)。以原点O为位似中心，相似比为2，在原点同侧把△OEF放大，求放大后△OE′F′各顶点的坐标。解：由题意，位似中心为原点O，相似比k=2，同侧放大，故将各顶点横纵坐标都乘以2：O(0,0)→O(0,0)E(2,1)→E′(2×2,1×2)=E′(4,2)F(2,−1)→F′(2×2,−1×2)=F′(4,−2)答案：O(0,0)，E′(4,2)，F′(4,−2)△OE′F′与△OEF位似，位似中心为原点，相似比为2。4.8图形的位似（第2课时）第三章图形的相似随堂练习214xyO12345−1−2−3−4−51234−1−2−3−4ABA′B′A″B″原线段AB同侧A′B′异侧A″B″题目已知点A(−2,4)、B(−4,2)，以原点为位似中心，将线段AB缩小为原来的12，有几种画法？求位似图形端点坐标。解：位似中心为原点，相似比为12，共有两种画法：画法一：同侧缩小（横纵坐标同乘12）A(−2,4)→A′(−1,2)B(−4,2)→B′(−2,1)A′B′与AB在原点同侧，位于第二象限。画法二：异侧缩小（横纵坐标同乘−12）A(−2,4)→A″(1,−2)B(−4,2)→B″(2,−1)A″B″与AB在原点异侧，位于第四象限。答案：共两种画法。同侧A′(−1,2)、B′(−2,1)；异侧A″(1,−2)、B″(2,−1)。4.8图形的位似（第2课时）第三章图形的相似课堂小结15本课知识要点回顾1坐标规律在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为k时，位似图形对应点的坐标比等于k或−k。即原图形上点(x,y)，位似图形上对应点为（kx,ky）或（−kx,−ky）。2同侧与异侧当k>0时，位似图形与原图形在原点同侧；当k<0时，位似图形与原图形在原点异侧（关于原点中心对称）。两种情况都是位似图形。记忆口诀：k正同侧、k负异侧，相似比始终为|k|。3四种图形变换对比已学图形变换：平移、轴对称、旋转、位似。前三种只改变图形位置，不改变大小形状；唯独位似可以改变图形的大小，它是相似变换的一种特殊形式。※平移：(x+a,y+b)；轴对称：(x