2027届江苏省苏州市常熟市高三阶段测一检数学试题（含答案解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）高三阶段性抽测一数学2026.10注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效；3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（

）A． B． C． D．3．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．函数（，）的图象经过定点（

）A． B． C． D．5．火箭发射后的高度（单位：）为，则火箭在时的瞬时速度为（

）A． B． C． D．6．已知，，，则（

）A． B． C． D．7．已知，，则（

）A． B． C． D．8．若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（

）A． B．0 C． D．1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，为正实数，且，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最小值为2 D．的最小值为410．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为2B．的定义域是C．的图象的对称中心为，D．在区间上单调递增11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的单调递增区间为，B．满足方程的解有且仅有4个C．若方程有4个不等实根，则的取值范围是D．若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知幂函数的图象经过点，则实数的值为__________．13．已知曲线，则曲线过点的切线方程为________.14．已知函数的图象为，将关于直线对称得到函数的图象，已知，，则的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知集合，非空集合．(1)若，求，；(2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围．16．已知是函数的一个极值点．(1)求的值；(2)求函数在区间上的最大值与最小值．17．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．(1)求与的解析式；(2)求方程在区间内的所有实数解的和．18．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是，此结论可以推广为：函数的图象关于点（，）成中心对称图形的充要条件是．根据以上材料，解答下列问题．(1)求函数的对称中心；(2)已知函数．①解关于的不等式：；②若函数的最小值为6，求实数的值．19．已知函数．(1)若在定义域内单调，求实数的取值范围；(2)若函数在区间和上各有一个零点，分别记为，．①求证：；②若函数有三个零点，，，求证：．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．A【详解】因为，，所以.2．B【详解】扇形面积公式，其中为圆心角弧度数，为半径，已知，.3．A【分析】利用充分不必要条件判断即可.【详解】由可知，所以，所以充分性成立，当时，满足，但是不成立，所以必要性不成立，故选：A．4．C【分析】根据对数的运算性质进行求解即可.【详解】因为，所以该函数的图象经过定点.5．C【详解】由题设，则火箭在时的瞬时速度为.6．D【详解】函数是增函数，所以；函数是减函数，所以；函数是增函数，所以.所以.7．B【详解】已知，将等式两边同时平方得，则，即，解得．已知，则，所以，因此．则．8．A【分析】先利用所给函数递推关系式推导函数周期，再由奇函数的性质得到函数的中心对称关系，进而求出函数在指定点处的函数值，找出求和数列的周期规律，最后结合项数拆分计算求和式子的值.【详解】由①，将替换为得，②，②①，得，故是周期为的周期函数，在①中令，得。所以，设，为奇函数，则，即，令，则，即，函数关于点中心对称，令，得，结合，得，在①中令，得，故，代入①得，由，得，已知，由，令，得，结合，得，故，由，依次可得，，记，，，，，，数列每连续项之和为，，即有完整周期，余下两项，，，，，.9．AD【详解】，当且仅当时取等，所以的最大值为，A正确B错误；，当且仅当即时取等，所以的最小值为4，C错误D正确.10．ABD【详解】A：由正切函数的性质，的最小正周期，正确；B：由，则，故函数的定义域为，正确；C：令，则，故函数图象的对称中心为，错误；D：令，则，故时函数在区间上单调递增，正确.11．ACD【分析】利用导数分析当时，的单调性，由函数解析式，直接判断当时，的单调性，从而求得的单调递增区间，判断A；作出函数与函数的图象，判断方程的解，判断B；结合函数的图象，根据导数的几何意义求得的取值范围，判断C；分析可得函数恰有6个零点时，实数的取值范围，判断D.【详解】当时，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.当时，单调递减；当时，单调递增.所以函数的单调递增区间为，，所以A正确.由图象可知，满足方程的解有个，所以B错误.若方程有4个不等实根，则当时，与的图象有两个交点，此时，，，所以在处的切线方程为，当切线过点时，，所以，所以，即的取值范围是.所以C正确.若函数恰有6个零点，则方程恰有6个实数解，令，则与最多有个交点，最少有个交点.所以有两个不相等的实数根，不妨令，若，则方程，不成立，所以；所以，所以，所以，即实数的取值范围是.所以D正确.12．##0.5【详解】已知幂函数的图象经过点，将点代入幂函数中，可得，即，解得．13．和【分析】设过点P的切线与曲线相切于点Q，然后根据曲线在点Q处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果．【详解】由题干得,设曲线与过点的切线相切于点，设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为，则，解得或，则曲线过点处的切线方程为和.故答案为：和14．【分析】利用图象关于直线对称求出；将题设化为指数、对数不等式，构造辅助函数并利用导数证明关键不等式，再由正切函数的单调性求出上界并验证能否取等．【详解】设点在的图象上，则点在的图象上，故，解得，即（）．由，设，．原不等式化为，即．令，则.故，即．于是，由指数函数的单调性，得，即.因为且，由正切函数在上单调递增，得，即．当，时，有，等号成立．此时，因此最大值为．15．(1)，或(2)【分析】（1）先根据一元二次不等式解出集合，再利用集合的交补运算即可求解；（2）根据题意，得到，再结合集合的关系即可求解.【详解】（1）由于不等式，解得，所以，当时，集合，所以，或．（2）因为“”是“”的必要条件，所以．已知集合为非空集合，故，解得．因为，所以，解得，所以实数的取值范围是．16．(1)(2)最大值为，最小值为．【详解】（1）函数，定义域为．求导得：，因为是的一个极值点，所以，代入得：，解得，将代入导函数：，令，解得或．当时，，单调递减；当时，，单调递增；故是极小值点，所以．（2）由（1）可知：当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此在处取得上最大值，即．又，，，即，所以在上最小值为．综上：函数在上最大值为，最小值为．17．(1)，(2)【分析】(1)由图像的最值、周期、特殊点求三角函数解析式，平移时遵循“左加右减、仅对x作用”的规则;(2)三角方程区间内多解求和，先换元简化，结合正弦函数对称性判断解的分布与和，再回代计算原变量解的和.【详解】（1）设函数的最小正周期为，由图象得，，因为，由，解得，将点代入，得，又，解得，所以，将图象向左平移个单位长度，得．（2），．令，即．当时，，令．方程在区间内共有4个解，，，，画出在的函数图象，如图：满足，．由，，，解得，，所以．18．(1)(2)①②．【分析】(1)由得定义域，验证恒成立，判定为奇函数，故其对称中心为.(2)①化简，由将不等式化为，按、符号分段，利用区间单调性解得；②先得值域，换元化为，按相对值域的位置分类讨论最小值，得.【详解】（1）函数，令，解得，所以函数的定义域为．对任意，恒成立，所以是奇函数，故对称中心为．（2）化简，定义域为．由中心对称充要条件：，当时，，所以的对称中心为．任取，，．当时，，在单调递增；当时，，在单调递增．当时，；当时，．①不等式可以转化为，当，即时，由单调性得，解得，得；当，即无解；当，即，不等式恒成立；当，，，不等式不成立.综上，不等式解集为．②由上可知，值域为．令，则或．．当或时，在处取最小值，（舍去）；当时，无最小值；当时，在处取最小值，，解得．综上可得：．【点睛】本题考查中心对称条件的迁移应用与函数性质的综合，重点考查代数恒等变形、符号分段与分类讨论的能力.19．(1)(2)①当时，，令，得，．满足，，且．在递减，递增，递减．，零点，．由，得，故．要证，即证．在单调递减，，所以，即，不等式得证．②，设．令得；令得．所以在单调递增，在单调递减．又，所以在单调递增，在单调递减．设在处的切线：，记．，由在递增，得时，，，即．设与交于，则．设在处的切线：，记．，由在递减，得时，，，即．设与交于，则．于是．作过点，斜率为的直线：，设交于，则，所以．由与平行，水平，得．故，不等式得证．【分析】(1)对函数求导后，将“定义域内单调”转化为导数恒非正/恒非负的恒成立问题，通过分离参数结合基本不等式求函数最值，最终得到m的取值范围